Просмотр кода страницы Раздутие

[[Изображение:Blowup.png|thumb|400px|Окрестность точки в вещественной плоскости после раздутия. Красным цветом показана исключительная кривая. Синие прямые до раздутия проходили через раздутую точку. Каждая точка исключительной красной кривой соответствует единственной синей прямой. При стремлении к бесконечности вдоль двух направлений исключительной кривой синие прямые загибаются под противоположными углами, и видно, что [[бесконечно удалённая точка|на бесконечности]] они склеятся с перекруткой, образуя [[Лента Мёбиуса|лист Мёбиуса]].]]

'''Разду́тие'''<ref>[[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ю. С. Ильяшенко]], [[Яковенко, Сергей Юрьевич|С. Ю. Яковенко]]. Аналитическая теория дифференциальных уравнений, ISBN 978-5-4439-0230-2</ref><ref>[[Каледин, Дмитрий Борисович|Д. Б. Каледин]]. [http://imperium.lenin.ru/~kaledin/math/noc/alggm08.tex Введение в алгебраическую геометрию, лекция 8]</ref><ref>[[Городенцев, Алексей Львович|А. Л. Городенцев]]. [http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-3/1415/list.html Учебные материалы к моему курсу Алгебра — 2 (НМУ, 2014/15 учебный год, 2-й курс)]</ref> (называемое [[Тюрин, Андрей Николаевич|Тюриным]] ''сигма-процессом''<ref>А. Н. Тюрин. Сборник избранных трудов: В 3-х т. Том 3. Алгебраическая геометрия в топологии и физике. ISBN 5939725880</ref>, а [[Манин, Юрий Иванович|Маниным]] ''моноидальным преобразованием''<ref>Ю. И. Манин. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. ISBN 978-5-458-44779-9</ref>) — операция в [[Алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]]. В простейшем случае оно, грубо говоря, оно состоит в замене точки на множество всех прямых, проходящих через неё.

== Раздутие плоскости в точке ==
Пусть <math>\mathrm{P}^2</math> — [[проективная плоскость]], а <math>\check{\mathrm{P}^2}</math> — [[проективная двойственность|двойственная]] проективная плоскость, точки которой соответствуют прямым исходной плоскости. Точки декартова произведения <math>\mathrm{P}^2 \times \check{\mathrm{P}^2}</math> — это пары <math>(x, \ell)</math>, где <math>x</math> — точка плоскости, a <math>\ell</math> — прямая в той же плоскости. Условие <math>x \in \ell</math> того, что точка лежит на прямой, в координатных терминах описывается как зануление линейной формы на векторе, так что множество <math>\left\{(x,\ell) \colon x \in \ell\right\} \subset \mathrm{P}^2 \times \check{\mathrm{P}^2}</math> является [[алгебраическое многообразие|алгебраическим многообразием]]. Более того, поскольку произведение проективных пространств вкладывается в проективное пространство достаточно большой размерности при помощи [[вложение Сегре|вложения Сегре]], оно является также и проективным многообразием. Оно называется [[многообразие инцидентности|многообразием инцидентности]]. Обозначим его за <math>I</math>. Зафиксируем точку <math>x_0 \in \mathrm{P}^2</math>, рассмотрим многообразие <math>F_{x_0} = \{(x,\ell) \colon x_0 \in \ell\}</math> и его пересечение <math>F_{x_0} \cap I</math> с многообразием инцидентности. Рассмотрим ограничение проекции <math>\mathrm{P}^2 \times \check{\mathrm{P}^2} \to \mathrm{P}^2</math> на это пересечение. Если точка <math>x \in \mathrm{P}^2</math> отлична от точки <math>x_0</math>, то слой проекции над ней состоит из единственной точки <math>(x, \ell)</math>, где <math>\ell</math> — прямая, проходящая через точки <math>x</math> и <math>x_0</math>. С другой стороны, слой над самой точкой <math>x_0</math> состоит из всех прямых, которые через неё проходят. Многообразие <math>F_{x_0} \cap I</math> обозначается <math>\mathrm{Bl}_{x_0}(\mathrm{P}^2)</math> и называется '''раздутием''' плоскости <math>\mathrm{P}^2</math> в точке <math>x_0</math>. Таким образом, это раздутие отличается от плоскости тем, что одна из точек в нём заменена на прямую. В случае, когда проективная плоскость определена над полем [[комплексные числа|комплексных чисел]], проективная прямая является [[сфера Римана|сферой Римана]], что и объясняет название. Вклеивающаяся прямая называется '''исключительной кривой''' и традиционно обозначается <math>E_{x_0}</math>. Она отличается от обычных прямых тем свойством, что не допускает аналитических деформаций.

Пусть <math>C</math> — [[алгебраическая кривая]], проходящая через точку <math>x_0</math>. Теоретико-множественный прообраз <math>C</math> относительно проекции <math>\mathrm{Bl}_{x_0} \to \mathrm{P}^2</math> содержит исключительную кривую <math>E_{x_0}</math> и называется '''полным прообразом'''. Тем самым полный прообраз не является [[неприводимость|неприводимым]], даже если изначальная кривая была неприводимой. Однако если в качестве прообраза точки <math>x_0</math> брать только те пары <math>(x_0,\ell)</math>, где <math>\ell</math> — [[касательная]] к одной из ветвей кривой в этой точке, то прообраз неприводимой кривой будет неприводим. Такой прообраз называется '''собственным прообразом'''. Если <math>x_0</math> — [[гладкое многообразие|гладкая точка]] кривой, то собственный прообраз будет изоморфен самой кривой. Если же кривая имела особенность в этой точке, то собственный прообраз будет отличаться. Например, собственный прообраз [[декартов лист|декартовой кубики]] при раздутии в начале координат есть гладкая рациональная кривая.

== Сдутие кривых ==
[[Изображение:Shukhov_Tower_photo_by_Sergei_Arsenyev_2006.JPG|thumb|left|400px|Секции [[Шуховская башня|Шуховской башни]] — подмножества вещественных квадрик. Балки, из которых она составлена, являются кривыми, сдувающимися при проекции на плоскость из их перекрестья.]]
Заметим, что вышеописанная конструкция могла быть проделана в пределах [[аффинное многообразие|аффинной карты]]. Значит, можно говорить о раздутиях любой [[алгебраическая поверхность|алгебраической поверхности]] (или, более общо, [[комплексная поверхность|комплексной поверхности]]). Топологически раздутие устроено следующим образом: у точки <math>x_0</math> вырезается маленькая окрестность, выглядящая как четырёхмерный шар, и к его границе — [[3-сфера|трёхмерной сфере]] — приклеивается двумерная сфера при помощи [[расслоение Хопфа|отображения Хопфа]]. Раздутие вещественной поверхности состоит в вырезании небольшого диска и приклеивании к его границе, окружности, [[Лента Мёбиуса|ленты Мёбиуса]].

Заметим, что раздутие не является настоящим отображением, а лишь [[рациональное отображение|рациональным отображением]]: раздутие не определено корректно в раздуваемой точке. При этом обратная операция, называемая '''сдутием''' или '''стягиванием''', хорошо определена. Российский геометр [[Бондал, Алексей Игоревич|А. И. Бондал]] формулировал это следующим образом: ''«по определению, раздутие — это операция, противоположная сдутию»''.

Не любую рациональную кривую на поверхности можно сдуть. Например, на плоскости никакая кривая не допускает сдутия, поскольку небольшое изменение коэффициентов её уравнения даёт деформацию кривой, которых у исключительных кривых раздутий быть не может. {{нп3|Критерий Кастельнуово|Критерий||Castelnuovo's contraction theorem}} сдуваемости кривой на алгебраической поверхности был открыт [[Кастельнуово, Гвидо|Г. Кастельнуово]] и является одним из классических достижений [[Итальянская школа алгебраической геометрии|итальянской школы]].

{{теорема|1=Рациональная кривая на алгебраической поверхности сдуваема до гладкой точки тогда и только тогда, когда её [[нормальное расслоение]] изоморфно {{нп3|Тавтологическое расслоение|тавтологическому||Tautological bundle}}.|2=[[Кастельнуово, Гвидо|Г. Кастельнуово]].}}

Например, если раздуть на проективной плоскости две точки, то собственный прообраз проходящей через них прямой будет сдуваем. При его сдутии получается [[квадрика]]. Пучки прямых, проходящих через эти две точки, при таком преобразовании перейдут в два семейства [[линейчатая поверхность|прямых на квадрике]]. Обратное преобразование можно наглядно описать следующим образом. Рассмотрим квадрику <math>Q</math> в трёхмерном проективном пространстве и точку <math>x</math> на ней, а также какую-нибудь плоскость <math>\Pi</math>, не проходящую через <math>x</math>. Сопоставим точке <math>y \in Q</math> точку пересечения прямой <math>xy</math> с плоскостью <math>\Pi</math>. Чтобы эта операция была корректно определена в точке <math>x</math>, нужно сначала раздуть в ней квадрику. Проекция <math>\mathrm{Bl}_x(Q) \to \Pi</math> хорошо определена и взаимно-однозначна вне двух прямых на квадрике, проходящих через центр проекции. Таким образом, проекция сдувает эти прямые в две точки.

Критерий Кастельнуово полезен при {{нп3|классификация Энрикеса|классификации алгебраических поверхностей||Enriques–Kodaira classification}}: после всех возможных сдутий получается так называемая [[Программа минимальных моделей|минимальная модель]] алгебраической поверхности, такие поверхности расклассифицировать уже нетрудно. Также сдутия полезны в других вопросах алгебраической геометрии поверхностей: например, двумерная {{нп3|группа Кремоны|||Cremona group}} (группа рациональных преобразований проективной плоскости) порождается композициями раздутий и сдутий.

На алгебраической поверхности можно раздуть лишь конечное число точек. Тем не менее, можно имитировать раздутие плоскости во ''всех'' точках, рассмотрев пределы [[решётка Нерона — Севери|решёток Нерона — Севери]] по всевозможным раздутиям. Получающийся объект называется [[Пространство Пикара — Манина|пространством Пикара — Манина]]. Это бесконечномерное [[пространство Минковского]], на котором действует группа Кремоны. Французские геометры [[Канта, Серж|С. Канта]] и [[Лами, Стефан|С. Лами]] доказали, рассмотрев это действие, что группа Кремоны не является [[простая группа|простой]].<ref>S. Cantat, S. Lamy. [https://arxiv.org/abs/1007.0895 Normal subgroups in the Cremona group (long version)], [[Acta Mathematica]] 210, p. 31-94, 2013</ref>

== Раздутие схем ==
Наиболее плодотворное описание раздутий в больших размерностях даётся в [[Схема (математика)|теории схем]]. Например, если <math>X</math> — проективная схема, a <math>\mathcal{I}</math> — [[когерентный пучок]] идеалов на ней, то '''раздутием схемы в идеале''' называется схема <math>\mathrm{Bl}_{\mathcal{I}}(X)</math> вместе с отображением схем <math>\pi \colon \mathrm{Bl}_{\mathcal{I}}(X) \to X</math> таким, что, во-первых, пучок <math>\pi^{-1}(\mathcal{I})\cdot\mathcal{O}_{\mathrm{Bl}_{\mathcal{I}}(X)}</math> [[обратимый пучок|обратим]], а во-вторых, любой морфизм <math>f \colon Y \to X</math> такой, что пучок <math>f^{-1}(\mathcal{I})\cdot\mathcal{O}_Y</math> обратим, единственным образом пропускается через морфизм <math>\pi</math>. Это [[универсальное свойство]] определяет раздутие единственным образом. Явно раздутие определяет [[конструкция Proj]] как <math>\mathrm{Proj} \bigoplus_{i=0}^{+\infty}\mathcal{I}^i</math>. Когда говорят о '''раздутии в замкнутой подсхеме''', имеют в виду раздутие в пучке идеалов, который определяет эту подсхему. Подсхема, в которой происходит раздутие, называется '''центром раздутия'''. Подмногообразие, появляющееся после раздутия, всегда будет [[Дивизор (алгебраическая геометрия)|дивизором]], называемым '''исключительным дивизором'''.

Это определение позволяет раздувать в любой замкнутой подсхеме. Если схема была гладким многообразием, а центр раздутия — её гладким подмногообразием, то, что происходит топологически, можно описать как вырезание малой окрестности центра раздутия и вклеивание проективизации его нормального расслоения, которое на каждом слое выглядит как обобщённое расслоение Хопфа. При раздутии в гладком центре в коразмерности один ничего не происходит. Если же центр не был гладким подмногообразием, то многообразие, вообще говоря, поменяется. Примером могут служить раздутия негладких кривых в особых точках, описанные выше геометрически. Раздутие схемы <math>X</math> во всей схеме <math>X</math> является пустой схемой. В этом случае проблема с терминологией, артикулированная Бондалом, стоит особенно остро: «отображение» раздутия не определено даже локально, а отображение сдутия является тавтологическим включением пустой подсхемы.

Раздутия с центрами в подмногообразиях широко используются в алгебраической геометрии. Так, [[Исковских, Василий Алексеевич|В. А. Исковских]] использовал раздутия при классификации трёхмерных [[многообразие Фано|многообразий Фано]] индекса 1 с [[группа Пикара|группой Пикара]], изоморфной <math>\mathbb{Z}</math>.<ref>В. А. Исковских. [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=1609&option_lang=rus Двойная проекция из прямой на трёхмерных многообразиях Фано первого рода], [[Математический сборник|Матем. сб.]], 1989, том 180, номер 2, страницы 260—278</ref> Непроективное {{нп3|пример Хиронаки|многообразие Хиронаки||Hironaka's example}} получается последовательными раздутиями точек и кривых в трёхмерном проективном многообразии и последующим склеиванием.

== В массовой культуре ==
Раздутия иногда являются предметом [[Математический юмор|математических шуток]], в первую очередь из-за своего неформального названия. В англоязычной традиции раздутия называются {{lang-en|[[:wikt:en:blow-up|blow-up]]}}, что также может быть переведено как «взрыв» (это слово используется в математическом английском и в других контекстах — например, для описания решений [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], уходящих на бесконечность за конечное время). Таким образом, выражение «раздуть плоскость в восьми точках» ({{lang-en|blow up eight points on a plane}}) может быть также переведено как «взорвать восемь точек в самолёте». Эта неоднозначность является предметом популярной в математическом сообществе [[Городская легенда|городской легенды]] об алгебраический геометрах, задержанных в аэропорту за обсуждением раздутий.<ref>[https://mathoverflow.net/a/53738 Mathematical «urban legends»], [[MathOverflow]]</ref>

В русскоязычной математической культуре иногда обыгрывается сходство слов {{lang-en|blow-up}} и {{lang-en|[[:wikt:en:blowjob|blowjob]]}}.<ref>[https://vk.com/wall-105504572_167 Подслушано вне матфака | IUM], неофициальная страница [[Независимый Московский университет|НМУ]] в сети [[ВКонтакте]]</ref>

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Алгебраическая геометрия]]