Просмотр кода страницы Радиан

<br />[[Файл:Circle radians.gif|thumb|1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.]]
'''Радиа́н''' (русское обозначение: '''рад''', международное: '''rad'''; от {{lang-la|radius}} — луч, радиус) — угол, соответствующий [[Дуга окружности|дуге]], длина которой равна её радиусу<ref>{{книга |часть=Радиан |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=4 |год=1984 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. [[Единица измерения]] [[плоский угол|плоских углов]] в [[СИ|Международной системе единиц]] (СИ), а также в системах единиц [[СГС]] и [[МКГСС]]<ref>{{книга |автор= {{nobr|Деньгуб В. М.}}, {{nobr|Смирнов В. Г.}}|заглавие= Единицы величин. Словарь-справочник|ответственный= |ссылка= |место=М. |издательство=Издательство стандартов |год=1990 |том= |страниц=240 |страницы=98 |isbn= 5-7050-0118-5|ref= }}</ref>.

'''''Радианная мера''''' — угловая [[Единица измерения|мера]], в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. Для примера: прямой угол в градусной мере имеет 90 угловых градусов (по договоренности, это ниоткуда не следует). Тот самый угол в радианной мере имеет <math>\pi/2</math> радиан <math>\approx</math> 1,571 радиан.{{sfn|Выгодский|1965}}. Из определения следует, что величина [[полный угол|полного угла]] в радианной мере равна 2[[Пи (число)|{{math|π}}]] радиан (см. рис. справа). В градусной мере полный угол имеет 360 угловых градусов. 

Определить радианную меру можно и так: '''''радианная мера угла''''' — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной [[Центральный угол|угла]]. В геометрии для определения радианной меры угла используют [[Единичная окружность|единичную окружность]] с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла{{sfn|Гельфанд, Львовский, Тоом|2002|сс=7-8}}<ref>{{cite web |url= http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/angle.html|title= Measurement of Angles|author= David E. Joyce|date= |work= Dave's Short Trig Course|publisher= Clark University |accessdate=2015-09-08 |lang=en}}</ref>.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина [[Дуга окружности|дуги окружности]] радиуса {{math|''R''}} и угловой величины {{math|α}}, измеренной в радианах, равна {{math|α ∙ ''R''}}.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности ([[Метр|м]]) к длине её радиуса ([[Метр|м]]), угол в радианном измерении — величина [[безразмерная величина|безразмерная]].

== Радиан в Международной системе единиц (СИ) ==
В качестве единицы измерения плоских углов в [[СИ|Международной системе единиц]] (СИ) радиан был принят XI [[Генеральная конференция по мерам и весам|Генеральной конференцией по мерам и весам]] в [[1960 год]]у одновременно с принятием системы СИ в целом<ref>{{cite web|last=|first=|authorlink=|coautors=|datepublished=|url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|title=Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960)|format=|work=|publisher=[[ Международное бюро мер и весов]]|accessdate=2014-12-19|lang=en|archiveurl= |archivedate=}}</ref>. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная<ref>Производная единица измерения называется ''когерентной'', если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным ''единице''.</ref> безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — '''рад''', международное — '''rad'''<ref>{{Cite web |url=http://www.leotec.ru/upload/iblock/432/432b148f277da39bdd5df10e1cd52d2d.pdf |title=ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. |accessdate=2012-09-18 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121110154140/http://www.leotec.ru/upload/iblock/432/432b148f277da39bdd5df10e1cd52d2d.pdf |archivedate=2012-11-10 |deadlink=yes }}</ref>.

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является [[число]] [[1 (число)|один]]. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду<ref>{{cite web|url=http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/section2-2-3.html |title= Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one|author= |date=2006|work=SI Brochure: The International System of Units (SI) |publisher=[[ Международное бюро мер и весов]]|accessdate=2014-12-19|lang=en}}</ref>.

=== Кратные и дольные единицы ===
Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных [[Приставки СИ|приставок СИ]], однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется
набег [[Фаза колебаний|угловой фазы]]. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — [[Рад (единица измерения)|рад]].

{{Кратные и дольные единицы|радиан|рад|rad|3|6|3|9}}

== Связь радиана с другими единицами ==
[[Файл:Angle radian.svg|thumb|256px|right|Угол в 1 радиан.]]
Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

* 1 радиан = 1/({{math|2π}}) [[Оборот (единица измерения)|оборотов]] = 180/{{math|π}} [[Градус (геометрия)|градусов]] = 200/{{math|π}} [[Град (единица измерения)|градов]].

Очевидно, [[развернутый угол]] равен <math>180^\circ,</math> или <math>\frac{\pi \cdot r}{r}= \pi</math> радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из [[Градус, минута, секунда|градусов, минут и секунд]] в радианы и наоборот.

: {{math|a}}[°] = '''{{math|α}}'''[рад] × (360° / ({{math|2π}})) или {{math|'''α'''}}[рад] × (180° / {{math|π}}),

: {{math|'''α'''}}[рад] = {{math|a}}[°] : (180° / {{math|π}}) = {{math|a}}[°] × ({{math|π}} / 180°),

где '''{{math|α}}'''[рад] — угол в радианах, {{math|a}}[°] — угол в градусах.

1 рад (или <math>p^\circ</math>) = <math>\frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57{,}295779513^\circ \approx 57^\circ17'44{,}806''</math>(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

<math>p'</math> (или 1 рад в минутах) = <math>\frac{360^\circ \cdot 60'}{2\pi} \approx 3437{,}747'</math>

<math>p''</math> (или 1 рад в секундах) = <math>\frac{360^\circ \cdot 60' \cdot 60''}{2\pi} \approx 206264{,}8''.</math>

[[Файл:Degree-Radian Conversion.svg|thumb|450px|right|[[Номограмма]] для перевода радианы/градусы.]]

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 [[Град (единица измерения)|градов]] и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что<br />
<math>p^{\backprime \backprime}</math> (или ''1 рад'' в сотых долях «сантиграда») = <math>\frac{400 \cdot 100 \cdot 100}{2\pi} = 636620.</math><br /> Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:<br />
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (<math>\mathrm{rad}</math>) делаем именованное (<math>p^\circ, p', p''</math>) и поэтому должны ''множить'' на <math>p^\circ ~ (</math>или <math>p', p'')</math>;<br />
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо ''делить'' на <math>p^\circ ~ (</math>или <math>p', p''),</math> либо же умножать на перевёрнутую
дробь <math>\frac{1}{p^\circ} ~ (\frac{1}{p'}, \frac{1}{p''}).</math>

Пример 1. Перевести в радианы <math>5^\circ43'46''.</math>

<math>\boldsymbol{\alpha} [\mathrm{rad}] \eqcirc 5^\circ = \frac{5^\circ}{\displaystyle{p^\circ}} ~\mathrm{rad} = 0{,}0872_6</math><ref name="Лишки">Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.</ref>

<math>43' = \frac{43'}{p'} ~\mathrm{rad} = 0{,}0125_{08}</math><ref name="Лишки" />

<math>46'' = \frac{46''}{p''} ~\mathrm{rad} = 0{,}0002_{23}</math><ref name="Лишки" />

<math>\sum \approx 0{,}0999_9 ~\mathrm{rad}</math><ref name="Лишки" /> <math>= 0{,}1 ~\mathrm{rad}</math>

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,<br /> и однократного деления на <math>p^\circ :</math> (как правило, этот способ более точен)

<math>46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'</math>

<math>43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ</math>

<math>\sum = 5{,}\boldsymbol{7295}^\circ</math>

<math>5{,}7295^\circ = \frac{5{,}7295^\circ}{p^\circ} ~\mathrm{rad} = \frac{5{,}7295^\circ}{\displaystyle{57{,}295^\circ}} = 0{,}1 ~\mathrm{rad}</math>

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

<math>a [^\circ] \eqcirc 1 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = 1 \cdot 57{,}29578^\circ = 57{,}\boldsymbol{29578}^\circ</math>

<math>0{,}\boldsymbol{29578}^\circ \cdot 60' = 17{,}\boldsymbol{7468}'</math>

<math>0{,}\boldsymbol{7468}' \cdot 60'' = 44{,}807'' \approx 45''</math>

Итого <math>\approx 57^\circ 17'45''.</math>
<!-- TODO: добавить коэффициенты перевода из и в другие угловые единицы (обороты, тысячные …) -->

== Радианная мера в математическом анализе ==
При рассмотрении [[тригонометрические функции|тригонометрических функций]] в [[математический анализ|математическом анализе]] всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение '''рад''' ('''rad''') часто опускается. 

При малых углах [[синус]] и [[тангенс]] угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее <math>0{,}1 ~ \mathrm{rad} ~ ( 5^\circ43'{,}77 )</math>, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше <math>0{,}01 ~ \mathrm{rad} ~ ( 0^\circ34'{,}38 )</math>, — то до шестого знака после запятой<ref>
{{nbsp}}<math> \sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100 </math> 
: <math> \operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100 </math> (точность нарушается в четвертом знаке после запятой) 
: <math> \sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000 </math> 
: <math> \operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000 </math> (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)<br /> Именно поэтому промежутки шкал(ы) на [[Счётная линейка|счётной линейке]] имеют пределы <math>5^\circ43'{,}77 ~ ( \approx 5^\circ43'46'' )</math> и <math>0^\circ34'{,}38 ~ ( \approx 0^\circ34'23'' )</math>; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки ({{книга|автор=Панов Д. Ю.|заглавие=Счётная линейка|издание=25-е изд|место=М.|издательство=изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы)|год=1982|страниц=176}})</ref>:

: <math>\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.</math>

== История ==
Первое использование радиана вместо [[Градус (геометрия)|углового градуса]] обычно приписывают [[Котс, Роджер|Роджеру Котсу]] (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной<ref>{{cite web|url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html | title = Biography of Roger Cotes | work=The MacTutor History of Mathematics |date = 2005-02 | last1= O'Connor|first1= J. J. |first2= E. F. |last2=Robertson}}</ref>. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, [[Ал-Каши|Аль-Каши]] использовал единицу измерения, названную им «''часть диаметра''», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы<ref>{{cite book|first=Paul|last= Luckey|editor-first=A. |editor-last=Siggel|location=Berlin|publisher= Akademie Verlag| origyear=Translation of 1424 book|year=1953| title=Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi|trans_title=Treatise on the Circumference of al-Kashi| number=6|pages= 40}}</ref>.

Термин «''радиан''» впервые появился в печати [[5 июня]] [[1873 год в науке|1873 года]] в экзаменационных билетах, составленных [[Томсон, Джеймс (инженер)|Джеймсом Томсоном]] из [[Университет Квинс (Белфаст)|Университета Квинса]] в [[Белфаст]]е. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как [[Томас Мьюр]] из [[Сент-Эндрюсский университет|Сент-Эндрюсского университета]] в 1869 году колебался в выборе между терминами «''рад''», «''радиал''» и «''радиан''». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»<ref>{{cite book| author-link=Florian Cajori|first=Florian|last= Cajori| year=1929| title=History of Mathematical Notations| volume= 2|pages= 147–148| isbn=0-486-67766-4}}</ref><ref>{{статья |издание=Nature |том=83 |страницы=156 |doi=10.1038/083156a0 |заглавие=The Term "Radian" in Trigonometry |номер=2110 |bibcode=1910Natur..83..156M |язык=en |автор=Muir, Thos. |год=1910 }}{{статья |издание=Nature |том=83 |страницы=217 |doi=10.1038/083217c0 |заглавие=The Term "Radian" in Trigonometry |номер=2112 |bibcode=1910Natur..83..217T |язык=en |автор=Thomson, James |год=1910 }}{{статья |издание=Nature |том=83 |страницы=459—460 |doi=10.1038/083459d0 |заглавие=The Term "Radian" in Trigonometry |номер=2120 |bibcode=1910Natur..83..459M |язык=en |автор=Muir, Thos. |год=1910 }}</ref><ref>{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/r.html|date=2009-11-23| accessdate=2011-09-30|last=Miller|first=Jeff |title= Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics}}</ref>.

== См. также ==
* [[Град, минута, секунда]]
* [[Градус, минута, секунда]]
* [[Оборот (единица измерения)]]
* [[Парсек]]
* [[Стерадиан]]
* [[Тысячная (угол)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Выгодский М. Я.|заглавие=Справочник по элементарной математике|издательство=Наука|год=1965|страницы=340—343|страниц=424|ref=Выгодский}}
* {{книга|автор=[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]], Львовский С. М., Тоом А. Л.|ссылка=http://ilib.mccme.ru/pdf/tr.pdf|заглавие=Тригонометрия|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2002|страницы=7—8|страниц=199|isbn=5-94057-050-X|ref=Гельфанд, Львовский, Тоом}}

{{внешние ссылки}}
{{перевести|en|Radian}}
{{Единицы СИ}}

[[Категория:Единицы измерения плоских углов]]
[[Категория:Безразмерные параметры]]
[[Категория:Единицы измерения отношения величин]]
[[Категория:Естественные системы единиц]]
[[Категория:Производные единицы СИ]]