Просмотр кода страницы Преобразование Фурье

{{Похожие буквы|F}}
'''Преобразование [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]]''' (символ '''ℱ''') — операция, сопоставляющая одной [[Функция (математика)|функции]] [[Вещественное число|вещественной переменной]] другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — [[гармонические колебания]] с разными частотами (подобно тому, как музыкальный [[аккорд]] может быть выражен в виде суммы [[Музыкальный звук|музыкальных звуков]], которые его составляют). 

Преобразование [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] функции <math>f</math> вещественной переменной является [[Интегральные преобразования|интегральным]] и задаётся следующей формулой:
: <math>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.</math>

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором [[коэффициент]]а перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

== Свойства ==
Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций [[Lp (пространство)#Пространство L²|класса <math>L_1(\R)</math>]], преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже [[обобщённая функция|обобщённых функций]]. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
* Преобразование Фурье является [[линейный оператор|линейным оператором]]:
: <math>\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.</math>
* Справедливо [[равенство Парсеваля]]: если <math>f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)</math>, то преобразование Фурье сохраняет <math>L_2</math>-норму:
: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,d\omega.</math>
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство <math>L_2(\R)</math>. [[Равенство Парсеваля]] будет при этом справедливо для всех <math>f\in L_2(\R)</math>.
* ''Формула обращения'':
: <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{ix\omega}\,d\omega</math>
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция <math>f</math> является достаточно гладкой. Если <math>f\in L_2(\R)</math>, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний <math>e^{i\omega x}</math> с частотами <math>\omega</math>, амплитудами <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\hat{f}(\omega)|</math> и фазовыми сдвигами <math>\arg \hat{f}(\omega)</math> соответственно.
{{якорь|Теорема Фурье о свёртке}}
* ''Теорема о свёртке'': если <math>f,\;g\in L_1(\R)</math>, тогда
: <math>\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}</math>, где
: <math>(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.</math>
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
* ''Преобразование Фурье и дифференцирование''. Если <math>f,\;f'\in L_1(\R)</math>, то
: <math>\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.</math>
Из этой формулы легко выводится формула для <math>n</math>-й производной:
: <math>\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.</math>
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
* ''Преобразование Фурье и сдвиг''.
: <math>\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(\omega).</math>
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой [[дельта-функция|дельта-функцией]] <math>\delta(x-x_0)</math>, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
* ''Преобразование Фурье и растяжение''.
: <math>\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(\omega/a).</math>
* ''Преобразование Фурье обобщённых функций''. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций ([[пространство Шварца]]):
: <math>S(\mathbb R):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\infty}0\right\}.</math>
Ключевым свойством этого пространства является то, что это [[инвариантное подпространство]] по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его [[двойственное пространство]] <math>S^*(\R)</math>. Это некоторое подпространство в пространстве всех [[обобщённая функция|обобщённых функций]] — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции <math>f\in S^*(\R)</math> её преобразованием Фурье называется обобщённая функция <math>\hat{f}\in S^*(\R)</math>, действующая на основные функции по правилу
: <math>\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.</math>
Например, вычислим преобразование Фурье [[дельта-функция|дельта-функции]]:
: <math>\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.</math>
Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>.

== Применения ==
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в [[физика|физике]], [[теория чисел|теории чисел]], [[комбинаторика|комбинаторике]], [[обработка сигналов|обработке сигналов]], [[теория вероятностей|теории вероятностей]], [[статистика|статистике]], [[криптография|криптографии]], [[акустика|акустике]], [[Океанология|океанологии]], [[оптика|оптике]], [[геометрия|геометрии]] и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как [[декомпозиция]] сигнала на [[частота|частоты]] и [[амплитуда|амплитуды]], то есть ''обратимый'' переход от ''временно́го пространства'' (time domain) в ''частотное пространство'' (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
* Преобразования являются [[линейный оператор|линейными операторами]] и, с соответствующей нормализацией, [[унитарный оператор|унитарными]] (свойство, известное как [[теорема Парсеваля]], или, в более общем случае, как [[теорема Планшереля]], или, в наиболее общем, как [[дуализм Понтрягина]]).
* Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
* Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются [[собственная функция|собственными функциями]] [[производная функции|дифференцирования]], что означает, что данное представление превращает линейные [[дифференциальное уравнение|дифференциальные уравнения]] с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе [[частота]] — [[консервативная величина]], поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
* По [[теорема о свёртке|теореме о свёртке]], преобразование Фурье превращает сложную операцию [[Свёртка (математический анализ)|свёртки]] в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение [[многочлен]]ов и [[умножение больших чисел]].
* Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма [[Быстрое преобразование Фурье|быстрого преобразования Фурье]] (БПФ, {{lang-en|FFT}}).

== Разновидности ==

=== Многомерное преобразование ===
Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве <math>\R^n</math>, определяется формулой
: <math>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx.</math>
Здесь <math>\omega</math> и <math>x</math> — векторы пространства <math>\R^n</math>, <math>x\cdot\omega</math> — их [[скалярное произведение]]. Обратное преобразование в этом случае задается формулой
: <math>f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\,d\omega.</math>
Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции <math>f</math> в линейную комбинацию ([[Принцип суперпозиции|суперпозицию]]) «плоских волн» вида <math>e^{ix\cdot\omega}</math> с амплитудами <math>\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}|\hat{f}(\omega)|</math>, частотами <math>\omega</math> и фазовыми сдвигами <math>\arg\hat{f}(\omega)</math> соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:
* Взятие ''частных производных'' под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:
: <math>\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).</math>
* Изменяется константа в теореме о свёртке:
: <math>\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.</math>
* Преобразование Фурье и сжатие координат:
: <math>\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a|^n\hat{f}(\omega|a|).</math>
* Более общо, если <math>A\colon \R^n\to\R^n</math> — обратимое [[линейное отображение]], то
: <math>\widehat{\left(f(Ax)\right)}=|\det(A)|^{-1}\hat{f}((A^T)^{-1}\omega).</math>

=== Ряды Фурье ===
{{Основная статья|Ряд Фурье}}
Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для <math>2\pi</math>-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) [[линейная комбинация|линейную комбинацию]] гармонических колебаний с ''целыми'' частотами:
: <math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\,e^{inx}.</math>
Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле [[обобщённая функция|обобщённых функций]]. Для любой <math>2\pi</math>-периодической функции имеем
: <math>\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).</math>
Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

=== Дискретное преобразование ===
{{Основная статья|Дискретное преобразование Фурье}}
Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает [[свёртка (математический анализ)|свёртку]] в поточечное умножение. Используется в [[цифровая обработка сигналов|цифровой обработке сигналов]] и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть <math>x_0,\;x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}</math> — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен <math>f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}</math>. Выберем какие-нибудь <math>n</math> точек на комплексной плоскости <math>z_0,\;z_1,\;\ldots,\;z_{n-1}</math>. Теперь многочлену <math>f(t)</math> мы можем сопоставить новый набор из <math>n</math> чисел: <math>f_0:=f(z_0),\;f_1:=f(z_1),\;\ldots,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})</math>. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел <math>f_0,\;f_1,\;\ldots,\;f_{n-1}</math> существует единственный многочлен <math>f(t)</math> степени не выше <math>n-1</math> с такими значениями в <math>z_0,\;\ldots,\;z_{n-1}</math> соответственно (см. [[Интерполяция]]).

Набор <math>\{f_k\}</math> и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора <math>\{x_k\}</math>. В качестве точек <math>z_k</math> обычно выбирают корни <math>n</math>-й степени из единицы:
: <math>z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}</math>.
Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно [[быстрое преобразование Фурье|быстро]]. Так, в то время как вычисление [[свёртка (математический анализ)|свёртки]] двух последовательностей длины <math>n</math> напрямую требует порядка <math>n^2</math> операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за <math>O(n\log n)</math> операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка <math>n</math> операций.

=== Оконное преобразование ===
{{Основная статья|Оконное преобразование Фурье}}
: <math>F(t,\;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\,d\tau,</math>
где <math>F(t,\;\omega)</math> даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала <math>f(t)</math> в окрестности времени <math>t</math>.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со [[спектр]]ом сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую [[оконная функция|оконную функцию]] <math>W</math>, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов окон. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют ''анализаторами спектра реального времени''. Основным их производителем является корпорация [[Keysight Technologies]] (США), [[Rohde & Schwarz]] (Германия), [[Tektronix]] (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, [[Mathcad]], [[Mathematica]], [[Maple]] и [[MATLAB]].

=== Другие варианты ===
[[Дискретное преобразование Фурье]] является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) [[дискретное во времени преобразование Фурье|дискретного во времени преобразования Фурье]] (DTFT), в котором <math>x_k</math> определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом [[спектр]] является непрерывным и периодическим. [[Дискретное во времени преобразование Фурье]] является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных [[абелева группа|абелевых топологических групп]], которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её [[дуальная группа|дуальную группу]]. Эта трактовка также позволяет сформулировать [[теорема о свёртки|теорему свёртки]], которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и [[Свёртка (математический анализ)|свёртками]]. См. также [[дуализм Понтрягина]].

== Интерпретация в терминах времени и частоты ==
В терминах обработки [[сигнал]]ов преобразование берёт представление функции сигнала в виде [[временной ряд|временны́х рядов]] и отображает его в [[частотный спектр]], где <math>\omega</math> — [[угловая частота]]. То есть оно превращает функцию [[время|времени]] в функцию [[частота|частоты]]; это [[ортогональная система|разложение]] функции на [[Гармонические колебания|гармонические составляющие]] на различных частотах.

Когда функция <math>f</math> является функцией времени и представляет физический [[сигнал]], преобразование имеет стандартную интерпретацию как [[спектр]] сигнала. [[Абсолютная величина]] получающейся в результате комплексной функции <math>F</math> представляет [[амплитуда|амплитуды]] соответствующих частот (<math>\omega</math>), в то время как [[фаза|фазовые сдвиги]] получаются как [[аргумент комплексного числа|аргумент]] этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа ''пространственных'' частот, также как для практически любых других функций.

== Важные формулы ==
Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье. <math>F(\omega)</math> и <math>G(\omega)</math> обозначают Фурье компоненты функций <math>f(t)</math> и <math>g(t)</math>, соответственно. <math>f</math> и <math>g</math> должны быть интегрируемыми функциями или [[обобщённая функция|обобщёнными функциями]].

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как <math>\sqrt{2\pi}</math>, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

{| class="wikitable"
! !! Функция !! Образ !! Примечания
|-
| 1 || <math>af(t)+bg(t)</math> || <math>aF(\omega)+bG(\omega)</math> || Линейность
|-
| 2 || <math>f(t-a)</math> || <math>e^{-i\omega a}F(\omega)</math> || Запаздывание
|-
| 3 || <math>e^{iat}f(t)</math> || <math>F(\omega-a)</math> || Частотный сдвиг
|-
| 4 || <math>f(at)</math> || <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> || Если <math>a</math> большое, то <math>f(at)</math> сосредоточена около 0 и <math>|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> становится плоским
|-
| 5 || <math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}</math> || <math>(i\omega)^n F(\omega)</math> || Свойство преобразования Фурье от <math>n</math>-й производной
|-
| 6 || <math>t^n f(t)</math> || <math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}</math> || Это обращение правила 5
|-
| 7 || <math>(f*g)(t)</math> || <math>\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)</math> || Запись <math>f*g</math> означает [[Свёртка (математический анализ)|свёртку]] <math>f</math> и <math>g</math>. Это правило — [[теорема о свёртке]]
|-
| 8 || <math>f(t)g(t)</math> || <math>\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}</math> || Это обращение 7
|-
| 9 || <math>\delta(t)</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\delta(t)</math> означает [[Дельта-функция|дельта-функцию]] Дирака
|-
| 10 || <math>1</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)</math> || Обращение 9. 
|-
| 11 || <math>t^n</math> || <math>i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)</math> || Здесь, <math>n</math> — [[натуральное число]], <math>\delta^{(n)}(\omega)</math> — <math>n</math>-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых [[многочлен]]ов
|-
| 12 || <math>e^{iat}</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)</math> || Следствие 3 и 10
|-
| 13 || <math>\cos(at)</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}</math> || Следствие 1 и 12 с использованием [[формула Эйлера|формулы Эйлера]] <math>\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)</math>
|-
| 14 || <math>\sin(at)</math> || <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}</math> || Также из 1 и 12
|-
| 15 || <math>\exp(-at^2)</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)</math> || Показывает, что [[Нормальное распределение|функция Гаусса]] <math>\exp(-t^2/2)</math> совпадает со своим изображением
|-
| 16 || <math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)</math> || <math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)</math> || Прямоугольная функция — идеальный [[фильтр нижних частот]] и функция [[sinc]](x) — её временной эквивалент
|-
| 17 || <math>\frac{1}{t}</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math> || Здесь <math>\sgn(\omega)</math> — функция [[sgn]]. Это правило согласуется с 6 и 10
|-
| 18 || <math>\frac{1}{t^n}</math> || <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math> || Обобщение 17
|-
| 19 ||<math>\sgn(t)</math> || <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}</math> || Обращение 17
|-
| 20 || <math>\sqrt{2\pi}\theta(t)</math> || <math>\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)</math> || Здесь <math>\theta(t)</math> — [[функция Хевисайда]]. Следует из правил 1 и 19
|}

== См. также ==
* [[Ортогональные функции]]
* [[Дискретное преобразование Фурье над конечным полем]]
* [[Вейвлет]]
* [[Чирплет]]
* [[Преобразование Гильберта — Хуанга]]
* [[Гильбертово пространство]]

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]
|заглавие = Математический анализ
|место=М.
|издательство=[[Физматлит]]
|год=1984
|страниц=544
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = Афонский А. А., Дьяконов В. П.
|заглавие = Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики
|ответственный = Под ред. проф. В. П. Дьяконова
|место = М.
|издательство = СОЛОН-Пресс
|год = 2009
|страницы = 248
|isbn = 978-5-913-59049-7
}}
* {{книга
|автор = Дьяконов В. П.
|заглавие = MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров
|место = М.
|издательство = СОЛОН-Пресс
|год = 2005
|страницы = 576
|isbn = 5-980-03206-1
}}
* {{книга
|автор = Сергиенко А. Б.
|заглавие = Цифровая обработка сигналов
|издание = 2-е изд
|место = СПб.
|издательство = Питер
|год = 2006
|страницы = 751
|isbn = 5-469-00816-9
}}
* {{книга
|автор = М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов.
|заглавие = Спектральные преобразования в MatLab
|место = СПб.
|год = 2007
|страницы = 160
|isbn = 978-5-983-40121-1
}}

== Ссылки ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-inttrans.htm Интегральные преобразования] EqWorld: Мир математических уравнений
* [https://web.archive.org/web/20051110234448/http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=6WA23CFB0C.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.en Online Computation of the transform or inverse transform]
* [http://ru.yasno.tv/article/math/48-preobrazovaniye-furie-kulinariya-v-pomoshch «Преобразование Фурье»] — перевод статьи [http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained]{{ref-en}}
* ''Рональд Н. Брейсуэлл''. [http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Fourier.htm Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989, стр. 48–56]

{{rq|sources|refless}}

{{Интегральные преобразования}}
{{методы сжатия}}
{{Производные буквы F|nocat=1}}
{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Преобразование Фурье| ]]
[[Категория:Гармонический анализ]]
[[Категория:Интегральные преобразования]]