Просмотр кода страницы Преобразование Меллина

'''Преобразование Меллина''' — [[Интегральные преобразования|преобразование]], которое можно рассматривать как [[Мультипликативная группа#Мультипликативная запись|мультипликативную версию]] [[Обращение интеграла Лапласа|двустороннего преобразования Лапласа]]. Это интегральное преобразование тесно связано с [[Ряд Дирихле|теорией рядов Дирихле]] и часто используется в [[Теория чисел|теории чисел]] и в теории [[Асимптотическое разложение|асимптотических разложений]]. Преобразование Меллина тесно связано с [[преобразование Лапласа|преобразованием Лапласа]] и [[преобразование Фурье|преобразованием Фурье]], а также теорией [[Гамма-функция|гамма-функций]] и теорией [[Специальные функции|смежных специальных функций]].

Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика [[Меллин, Ялмар|Ялмара Меллина]].

== Определение ==
Прямое преобразование Меллина задаётся формулой:
: <math>\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int \limits _0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx</math>.
Обратное преобразование — формулой:
: <math>\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int \limits _{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds</math>.

Предполагается, что интегрирование происходит в [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями {{нп3|Теорема обратного преобразования Меллина|теоремы обратного преобразования Меллина|en|Mellin inversion theorem}}.

== Связь с другими преобразованиями ==
[[Обращение интеграла Лапласа|Двусторонний интеграл Лапласа]] может быть выражен через преобразование Меллина:
: <math> \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)</math>.
И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:
: <math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s).</math>

[[Преобразование Фурье]] может быть выражено через преобразование Меллина формулой:
: <math>\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is)</math>.
Обратно:
: <math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(is)</math>.

Преобразование Меллина также связывает [[интерполяционные формулы Ньютона]] или [[биномиальные преобразования]] с [[Производящая функция последовательности|производящей функцией последовательности]] с помощью [[Цикл Пуассона — Меллина — Ньютона|цикла Пуассона — Меллина — Ньютона]].

== Примеры ==

=== Интеграл Каэна — Меллина ===
Если:
* <math>c>0,</math>
* <math>\Re(y)>0,</math>
* <math>y^{-s}</math> на {{нп3|Главная ветвь|главной ветви|en|Principal branch}},
то<ref>{{статья |заглавие=Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes |издание=[[Acta mathematica|Acta Mathematica]] |том=41 |номер=1 |страницы=119—196 |doi=10.1007/BF02422942 |язык=en |тип=journal |автор=Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. |год=1916}} ''(See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.)''</ref>
: <math>e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}\int \limits _{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds</math>,
:: где
::: <math>\Gamma(s)</math> — [[гамма-функция]].

Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика {{нп2|Каэн, Эжен|Эжена Каэна|fr|Eugène Cahen}}.

== Преобразование Меллина для лебегова пространства ==
В [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для [[Lp (пространство)|лебегова пространства]] <math>L^2(0,\infty)</math> любая фундаментальная полоса включает в себя <math>\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}</math>. В связи с этим возможно задать [[линейный оператор]] <math>\tilde{\mathcal{M}}</math> как:
: <math>\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits _0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx</math>.
То есть:
: <math>\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is)</math>.

Обычно этот оператор обозначается <math>\mathcal{M}</math> и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение <math>\tilde{\mathcal{M}}</math>.

{{нп3|Теорема обратного преобразования Меллина|теоремы обратного преобразования Меллина|en|Mellin inversion theorem}} показывает, что
: <math>\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}\int \limits _{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds. </math>

Кроме того, этот оператор [[Изометрия (математика)|изометричен]], то есть
: <math>\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}</math> для <math>\forall f\in L^2(0,\infty)</math>.
Это объясняет коэффициент <math>\frac {1} {\sqrt{2\pi}}</math>

== Связь с теорией вероятностей ==
В [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения [[Случайная величина|случайных величин]]<ref>Galambos, Simonelli, 2004, стр. 15</ref>.

Если:
* <math>D=\{s:a \leqslant \Re(s) \leqslant b\},</math>
* <math>a \leqslant 0 \leqslant b,</math>
* <math>X</math> — случайная величина,
* <math>X^{+}= \max\{X,0\},</math>
* <math>X^{-}=\max\{-X,0\},</math>
то преобразование Меллина определяется как:
: <math>\mathcal{M}_X(s) = \int \limits _0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + i \int \limits _0^\infty x^s dF_{X^-}(x),</math>
:: где <math>i</math> — [[мнимая единица]].

Преобразование Меллина <math>\mathcal{M}_X(it)</math> случайной величины <math>X</math> однозначно определяет её функцию распределения <math>F_x</math>.

== Применение ==
Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для [[Теория распознавания образов|распознавания образов]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{cite book
  | last1 = Galambos  | first1 = Janos
  | last2 = Simonelli | first2 = Italo
  | year = 2004
  | title = Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions
  | publisher = Marcel Dekker, Inc.
  | isbn = 0-8247-5402-6
  | ref = harv }}
* {{cite book |last=Paris |first=R. B. |last2=Kaminski |first2=D. |title=Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals |location= |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn= }}
* {{cite book |first=A. D. |last=Polyanin |first2=A. V. |last2=Manzhirov |title=Handbook of Integral Equations |publisher=CRC Press |location=Boca Raton |year=1998 |isbn=0-8493-2876-4 }}
* {{статья |заглавие=Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums |издание={{Нп3|Theoretical Computer Science (журнал)|Theoretical Computer Science||Theoretical Computer Science (journal)}} |том=144 |номер=1—2 |страницы=3—58 |язык=en |автор=Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. |год=1995 }}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* {{springer|title=Mellin transform|id=p/m063380}}
* {{mathworld|urlname=MellinTransform|title=Mellin Transform}}

== Ссылки ==
* Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, ''[http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.]''
* Antonio Gonzáles, Marko Riedel ''[http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_thread/thread/cfcc11fbd5eeaa48/eab2e1423902ced1#eab2e1423902ced1 Celebrando un clásico], newsgroup es.ciencia.matematicas''
* Juan Sacerdoti, ''[http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Eu00.pdf Funciones Eulerianas]'' (in Spanish).
* [http://dlmf.nist.gov/2.5 Mellin Transform Methods], [[Digital Library of Mathematical Functions]], 2011-08-29, [[National Institute of Standards and Technology]]
* Antonio De Sena and Davide Rocchesso, ''[http://www.di.univr.it/documenti/ArticoloConferenza/allegato/allegato082603.pdf A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX]''

{{перевести|pt|Transformada de Mellin}}
{{внешние ссылки}}
{{Интегральные преобразования}}

[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Интегральные преобразования]]