Просмотр кода страницы Правильный многогранник

[[Файл:Platonic solids.jpg|thumb|300px|Платоновы тела]]
'''Правильный многогранник''' или '''плато́ново тело''' — это [[выпуклый многогранник]], состоящий из одинаковых [[правильный многоугольник|правильных многоугольников]] и обладающий пространственной симметрией.

== Определение ==
Многогранник называется '''правильным''', если:
# он выпуклый;
# все его грани являются равными [[правильный многоугольник|правильными многоугольниками]];
# в каждой его [[вершина многогранника|вершине]] сходится одинаковое число рёбер.

== Список правильных многогранников ==
В трёхмерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] существует всего пять правильных многогранников<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Тело геометрическое|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]],}}</ref> (упорядочены по числу граней):

{|class="standard sortable"
!Изображение
!Правильный многогранник
!Число вершин
!Число рёбер
!Число граней
!Число сторон у грани
!Число рёбер, примыкающих к вершине
!Тип пространственной симметрии
|- align="center"
|[[Файл:Tetrahedron.gif|50px]]
|[[Правильный тетраэдр|Тетраэдр]]|| 4 || 6 || 4
| 3 || 3 || T<sub>''d''</sub>
|- align="center"
|[[Файл:Hexahedron.gif|50px]]
|[[Куб (геометрия)|Гексаэдр]]||8 || 12 || 6
| 4 ||3|| O<sub>''h''</sub>
|- align="center"
|[[Файл:Octahedron.gif|50px]]
|[[Октаэдр]]|| 6 || 12 || 8
| 3 || 4 || O<sub>''h''</sub>
|- align="center"
|[[Файл:Dodecahedron.gif|50px]]
|[[Додекаэдр]]|| 20 || 30 || 12
| 5 || 3 || I<sub>''h''</sub>
|- align="center"
|[[Файл:Icosahedron.gif|50px]]
|[[Икосаэдр]]|| 12 || 30 || 20
| 3 || 5 || I<sub>''h''</sub>
|}

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».

== История ==
Правильные многогранники известны с древнейших времён.
Их орнаментные модели можно найти на [[резные каменные шары|резных каменных шарах]], созданных в период позднего [[неолит]]а, в [[Шотландия|Шотландии]], как минимум за 1000 лет до [[Платон]]а.
В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены [[Древняя Греция|древними греками]].
Некоторые источники (такие как [[Прокл Диадох]]) приписывают честь их открытия [[Пифагор]]у.
Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит [[Теэтет Афинский|Теэтету Афинскому]], современнику Платона.
В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии [[Платон]]а, в честь которого и получили название «платоновы тела».
Платон писал о них в своём трактате [[Тимей (Платон)|Тимей]] (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.
Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);
воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);
в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.
По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
[[Аристотель]] добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

[[Евклид]] дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге [[Начала Евклида|Начал]].
Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке.
Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.
В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.
Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида<ref>Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101</ref>.
Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном [[Иоганн Кеплер]] пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами [[Солнечная система|Солнечной системы]] (исключая Землю) и правильными многогранниками.
В книге «[[Mysterium Cosmographicum|Тайна мира]]», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ([[Меркурий (планета)|Меркурию]], [[Венера (планета)|Венере]], [[Земля|Земле]], [[Марс (планета)|Марсу]], [[Юпитер (планета)|Юпитеру]] и [[Сатурн (планета)|Сатурну]]).
Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб.
Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — [[законы Кеплера|законов Кеплера]], — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников ([[Тело Кеплера — Пуансо|тел Кеплера — Пуансо]]).

== Комбинаторные свойства ==
* [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого [[многогранник]]а [[Эйлерова характеристика|простым соотношением]]:
*: В + Г = Р + 2.

* Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

* Правильный многогранник может быть комбинаторно описан [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {''p'', ''q''}, где:
*: ''p'' — число рёбер в каждой грани;
*: ''q'' — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
: Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

:{|class="wikitable"
|-
!colspan=2 | Многогранник
!Вершины
!Рёбра
!Грани
![[Символ Шлефли]]
|-
|[[тетраэдр]]
|[[Файл:tetrahedron.svg|50px|Тетраэдр]]
|4||6||4||{3, 3}
|-
|[[куб|гексаэдр (куб)]]
|[[Файл:hexahedron.svg|50px|Гексаэдр (куб)]]
|8||12||6||{4, 3}
|-
|[[октаэдр]]
|[[Файл:octahedron.svg|50px|Октаэдр]]
|6||12||8||{3, 4}
|-
|[[додекаэдр]]
| [[Файл:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Додекаэдр]]
|20||30||12||{5, 3}
|-
|[[икосаэдр]]
|[[Файл:icosahedron.svg|50px|Икосаэдр]]
|12||30||20||{3, 5}
|}

* Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа ''p'' и ''q'', является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:
*: <math>p\Gamma = 2\mbox{P} = q\mbox{B}.</math>
: Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:
:: <math>\mbox{B} = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \mbox{P} = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \Gamma = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>
== Геометрические свойства ==

=== Углы ===
С каждым правильным многогранником связаны определённые [[угол|углы]], характеризующие его свойства. [[Двугранный угол]] между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>

Иногда удобнее пользоваться выражением через [[тангенс]]:

: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\theta}{2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)},</math>

где <math>h</math> принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине.
Дефект <math>\delta</math> при любой вершине правильного многогранника:

: <math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>

По теореме [[Декарт]]а, он равен <math>4\pi</math> делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен <math>4\pi</math>).

Трёхмерным аналогом плоского угла является [[телесный угол]]. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

: <math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.</math>

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (<math>4\pi</math> стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в [[стерадиан]]ах.
Константа <math>\varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math> — [[золотое сечение]].

{| class="wikitable"
!Многогранник
![[Двугранный угол]]<br />θ
!<math>\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}</math>
!Плоский угол между рёбрами при вершине
!Угловой дефект (δ)
!colspan = 2|[[Телесный угол]] при вершине (Ω)
!Телесный угол, стягиваемый гранью
|-
|[[тетраэдр]] || 70.53° || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || 60° || <math>\pi</math>
|<math>\arccos\left(\frac{23}{27}\right)</math>
|<math>\approx 0.551286</math>
|<math>\pi</math>
|-
|[[куб]] || 90° || 1 || 90° || <math>\pi\over 2</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\approx 1.57080</math>
|<math>2\pi\over 3</math>
|-
|[[октаэдр]] || 109.47° || √2 || 60°, 90° || <math>{2\pi}\over 3</math>
|<math>4\arcsin\left({1\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 1.35935</math>
|<math>\pi\over 2</math>
|-
|[[додекаэдр]] || 116.57° || <math>\varphi</math> || 108° || <math>\pi\over 5</math>
|<math>\pi - \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{11}\right)</math>
|<math>\approx 2.96174</math>
|<math>\pi\over 3</math>
|-
|[[икосаэдр]] || 138.19° || <math>\varphi^2</math> || 60°, 108° || <math>\pi\over 3</math>
|<math>2\pi - 5\arcsin\left({2\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 2.63455</math>
|<math>\pi\over 5</math>
|}

=== Радиусы, площади и объёмы ===
С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

* Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
* Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
* [[Вписанная сфера]], касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (<math>R</math>) и вписанной (<math>r</math>) сфер задаются формулами:
: <math>R = {a\over 2}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}</math>
: <math>r = {a\over 2}\cdot\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2},</math>
где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:
: <math>\rho = \frac{a\cos(\pi/p)}{2\sin(\pi/h)},</math>
где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:
: <math>{R\over r} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}.</math>

[[Площадь поверхности]] S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:
: <math>S = \left({a\over 2}\right)^2 \Gamma p\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}.</math>

[[Объём]] правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём [[пирамида (геометрия)#Правильная пирамида|правильной пирамиды]], основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:
: <math>V = {1\over 3}rS.</math>

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

{| class="wikitable"
|-
!Многогранник<br /><small>(''a'' = 2)</small>|| Радиус вписанной сферы (''r'') || Радиус срединной сферы (ρ) || Радиус описанной сферы (''R'') || Площадь поверхности (''S'') || Объём (''V'')
|-
|[[тетраэдр]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>
|-
|[[куб]] || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24</math> || <math>8</math>
|-
|[[октаэдр]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{8\sqrt 2}{3}</math>
|-
|[[додекаэдр]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> || <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>
|-
|[[икосаэдр]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}{3}</math>
|}

Константы φ и ξ задаются выражениями
: <math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

== В больших размерностях ==
{{main|Правильные многомерные многогранники}}

* Всего существует 6 [[Правильные четырёхмерные многогранники|правильных четырёхмерных многогранников]]:
{| class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center;"
|-
| [[Файл:Stereographic polytope 5cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 8cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 16cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 24cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 120cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 600cell.png|105px]]
|}
* Во всех пространствах размерности ''n'' > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: ''n''-мерный [[симплекс]], ''n''-мерный октаэдр ([[гипероктаэдр]]) и ''n''-мерный куб ([[гиперкуб]]).

== См. также ==
* [[Правильный многоугольник]]
* [[Полуправильный многогранник]]
* [[Многогранник Джонсона]]
* [[Звёздчатый многогранник]]
* [[Двойственный многогранник]]
* [[Правильные многомерные многогранники]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{навигация|Тема=Платоновы тела}}
* {{статья |автор=Смирнов Е. Ю. |заглавие=Группы Кокстера и правильные многогранники |издание=Летняя школа «Современная математика» |место=Дубна |год=2008 |ссылка=http://www.mccme.ru/dubna/2008/material.htm}}
* {{MathWorld |urlname=PlatonicSolids |title=Platonic Solids}}
* {{статья |автор= |заглавие=Фанаты математики/геометрия |ссылка=http://www.mathsisfun.com/geometry/}}{{ref-en}}
* {{статья |автор= |заглавие=Бумажные модели правильных многогранников |ссылка=http://www.korthalsaltes.com/}}{{ref-en}}
* {{статья |автор= |заглавие=Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела |ссылка=http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/}}{{ref-en}}
* {{статья |автор= |заглавие=Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо |ссылка=http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/background.html}}{{ref-en}}
* {{книга 
|автор= [[Веннинджер, Магнус|М. Веннинджер]]. 
|заглавие=Модели многогранников
|год=1974
|город=Москва
|издательство=Мир
|страниц = 236}}
* {{книга 
|автор= Гончар В. В.
|заглавие=Модели многогранников
|год=1997
|город=Москва
|издательство=Аким
|страниц = 64
|isbn = 5-85399-032-2
|ссылка=http://jorigami.ru/Ori_book_shelfs/Joribook_1330_rus.htm}}
* {{книга 
|автор= Гончар В. В., Гончар Д. Р.
|заглавие=Модели многогранников
|год=2010
|город=Ростов-на-Дону
|издательство=Феникс
|страниц = 143
|isbn = 978-5-222-17061-8
|ссылка=http://jorigami.ru/Ori_book_shelfs/Joribook_1810_rus.htm}}

{{Многогранники|nocat=1}}

[[Категория:Правильные многогранники|*]]
[[Категория:Комбинаторная геометрия]]