Просмотр кода страницы Постоянная Гельфонда

'''Постоянная Гельфонда''' — [[трансцендентное число]] <math>e^\pi</math> (то есть ''[[e (число)|e]]'' [[возведение в степень|в степени]] ''[[Пи (число)|{{math|&pi;}}]]''). Названа в честь [[Гельфонд, Александр Осипович|Александра Осиповича Гельфонда]]. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов [[Седьмая проблема Гильберта|седьмой проблемы Гильберта]].

== Численное значение ==
Десятичное представление постоянной Гельфонда:
: <math>e^\pi \approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots</math>

Его приближённые значения можно получать<ref>{{книга
 |автор          =  Jonathan M. Borwein, David H. Bailey
 |часть          = 
 |заглавие       = Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century
 |оригинал       = 
 |ссылка         = 
 |ответственный  = 
 |издание        = 
 |место          = Wellesley, MA
 |издательство   = AK Peters
 |год            = 2003
 |том            = 
 |pages          = 137
 |allpages       = 350
 |серия          = 
 |isbn           = 978-1568812113
 |тираж          = 
}}</ref>, используя рекуррентно определённую последовательность
: <math>k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}},</math> где <math> k_0 = \frac{1}{\sqrt{2}},</math>
а именно следующее выражение:
: <math>e^\pi \approx \left(\frac{1}{4} k_n\right)^{-2^{1-n}}.</math>

При этом сходимость таких приближений к <math>e^{\pi}</math> достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой [[непрерывная дробь|непрерывной дроби]]<ref>{{OEIS|A058287}}</ref>: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

== Свойства ==
{{заготовка раздела}}

* <math>(e^\pi)^i = -1</math>

*<math>e^\pi=e^{(i\pi)^{-i}}=(-1)^{-i}</math>

* <math>e^\pi-\pi \approx 19,9990999...</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Постоянная Гельфонда — Шнайдера]] <math>(2^\sqrt{2})</math>

== Литература ==
* {{MathWorld|title=Gelfond’s Constant|urlname=GelfondsConstant}}
* {{PlanetMath|title=Gelfond’s Constant|urlname=GelfondsConstant}}
* {{книга
 |автор          = David Wells 
 |часть          = 
 |заглавие       = [[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]
 |оригинал       = 
 |ссылка         = 
 |ответственный  = 
 |издание        = 
 |место          = Middlesex, [[Великобритания|England]]
 |издательство   = Penguin Books
 |год            = 1987
 |том            = 
 |pages          = 81
 |allpages       = 229
 |серия          = 
 |isbn           = 978-0140080292
 |тираж          = 
}}
* {{книга
 |автор          = Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein
 |часть          = 
 |заглавие       = Pi: A Source Book
 |оригинал       = 
 |ссылка         = 
 |ответственный  = 
 |издание        = 
 |место          = [[Нью-Йорк|New York]]
 |издательство   = [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
 |год            = 1997
 |том            = 
 |pages          = 422
 |allpages       = 716
 |серия          = 
 |isbn           = 978-0387949246
 |тираж          = 
}}

{{math-stub}}
{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа}}

[[Категория:Математические константы]]
[[Категория:Трансцендентные числа]]
[[Категория:Положительные числа]]