Просмотр кода страницы Постоянная Апери

{{Вещественные константы}}
'''Постоя́нная Апери́'''  ({{lang-en|Apéry's constant}}, {{lang-fr|Constante d'Apéry}}) — [[вещественное число]], обозначаемое <math>\zeta(3)</math> (иногда <math>\zeta_3</math>), которое равно сумме [[обратная величина|обратных]] к [[Куб (алгебра)|кубам]] целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]]:
: <math>\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots</math>.

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической [[десятичная дробь|десятичной дробью]]<ref name=Plouffe_digits>{{citation
 | author = Simon Plouffe 
 | authorlink = 
 | year = 
 | title = Zeta(3) or Apery constant to 2000 places 
 | journal = 
 | volume = 
 | pages =  
 | url= http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html 
 | language = English
 | doi=
 | format = HTML
 | accessdate = 2011-02-08}}</ref><ref>{{OEIS|id=A002117}}</ref>:

: <math>\displaystyle\zeta(3) = </math> 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 …

Названа в честь [[Апери, Роже|Роже Апери]], доказавшего в [[1978 год в науке|1978 году]], что <math>\zeta(3)</math> является [[иррациональное число|иррациональным числом]] ({{нп5|теорема Апери||en|Apéry's theorem}}<ref name=Apery>{{citation
 | author = Roger Apéry 
 | authorlink = 
 | year = 1979
 | title = Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)
 | journal = Astérisque
 | volume = 61
 | pages = 11–13
 | url = 
 | language = French
 | format = 
 | accessdate = }}</ref><ref name=Poorten>{{citation
 | author = A. van der Poorten 
 | authorlink = 
 | year = 1979
 | title = A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report 
 | journal = The Mathematical Intelligencer
 | volume = 1
 | pages = 195–203 
 | url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 | language = English
 | doi=10.1007/BF03028234 
 | format = PDF
 | accessdate = 2011-02-08}}</ref>). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием [[Многочлены Лежандра|многочленов Лежандра]]. Неизвестно, является ли постоянная Апери [[трансцендентное число|трансцендентным числом]].

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в [[1735 год в науке|1735 году]] [[Леонард Эйлер]]<ref name=Euler0>{{citation
 | author = Leonhard Euler
 | authorlink = Леонард Эйлер
 | year = 1741
 | title = Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735)
 | journal = Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae
 | volume = 8
 | pages = 173–204
 | url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf
 | language = Latin
 | format = PDF
 | accessdate = 2011-02-09}}</ref><ref name=Euler_Bell>{{citation
 | author = Leonhard Euler 
 | authorlink = Леонард Эйлер
 | year = translation by Jordan Bell, 2008 
 | title = Finding the sum of any series from a given general term
 | journal = arXiv:0806.4096
 | volume = 
 | pages = 
 | url = http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf
 | language = English
 | format = PDF
 | accessdate = 2011-02-09}}</ref> вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

== Приложения в математике и физике ==
[[Файл:Two loop diagram producing zeta3.png|thumb|right|250px|Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит <math>\zeta(3)</math>]]
В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная <math>\zeta(3)</math>, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных [[натуральные числа|положительных целых числа]] будут [[взаимно простые числа|взаимно просты]] — в том смысле, что при <math>N\to\infty</math> вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем <math>{\textstyle{N}}</math> (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к <math>1/\zeta(3)</math>.

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к [[аномальный магнитный момент|аномальному магнитному моменту]] [[электрон]]а в [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]]. Например, результат для двухпетлевой [[диаграммы Фейнмана]], изображённой на рисунке, даёт <math>6\zeta(3)</math> (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые [[виртуальные частицы]], а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы <math>k</math>). Другой пример — двумерная [[модель Дебая]].

== Связь с другими функциями ==
Постоянная Апери связана с частным значением [[полигамма-функция|полигамма-функции]] второго порядка:

: <math>\zeta(3) = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)</math>

и появляется в разложении [[гамма-функция|гамма-функции]] в [[ряд Тейлора]]:

: <math> \Gamma(1+\varepsilon) 
= e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 
+O(\varepsilon^4) \right]</math>,
где в виде <math>e^{-\gamma\varepsilon}</math> факторизуются вклады, содержащие [[Постоянная Эйлера — Маскерони|постоянную Эйлера — Маскерони]] <math>{\textstyle{\gamma}}</math>.

Постоянная Апери также связана со значениями [[трилогарифм]]а <math>\mathrm{Li}_3(z)</math> (частный случай [[полилогарифм]]а <math>\mathrm{Li}_n(z)</math>):
: <math>\mathrm{Li}_3(1) = \zeta(3)</math>,
: <math>\mathrm{Li}_3\left(\tfrac12\right) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3)</math>.

== Представления в виде рядов ==
Некоторые другие ряды, члены которых [[обратная величина|обратны]] к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}
= \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right)</math>,
<!-- :<math>\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}</math> -->

: <math>\zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} 
= \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right)</math>.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего [[гармоническое число|гармонические числа]] <math>{\textstyle{H_k}}</math>:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2}</math>,

а также двукратная сумма:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)} </math>.

Для доказательства [[иррациональное число|иррациональности]] <math>\zeta(3)</math> [[Роже Апери]]<ref name=Apery/> пользовался представлением:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!}
= \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}}</math>,

где <math>{\textstyle{\binom{2k}{k}}=\frac{(2k)!}{k!^2}}</math> — [[биномиальный коэффициент]].

В [[1773 год]]у [[Леонард Эйлер]]<ref name=Euler>{{citation
 | author = Leonhard Euler
 | authorlink = Леонард Эйлер
 | year = 1773
 | title = Exercitationes analyticae
 | journal = Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae
 | volume = 17
 | pages = 173–204
 | url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf
 | language = Latin
 | format = PDF
 | accessdate = 2011-02-08}}</ref> привёл представление в виде ряда<ref name=Srivastava>{{citation
 |author      = H. M. Srivastava
 |year        = 2000
 |month       = December
 |title       = Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions
 |journal     = Taiwanese Journal of Mathematics
 |volume      = 4
 |issue       = 4
 |pages       = 569–598
 |publisher   = <!-- Mathematical Society of the Republic of China (Taiwan)-->
 |issn        = 1027-5487
 |oclc        = <!--36978119-->
 |url         = http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf
 |format      = PDF
 |accessdate  = 2011-02-08
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20110719181850/http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf
 |archivedate = 2011-07-19
}} {{Wayback|url=http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf |date=20110719181850 }}</ref> (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

: <math>\zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]</math>,

в котором значения [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] чётных аргументов могут быть представлены как <math>{\textstyle{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}/(2(2k)!)}}</math>, где <math>{\textstyle{B_{2k}}}</math> — [[числа Бернулли]].

[[Рамануджан]] дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя<ref name=Berndt>{{citation
 | author = Bruce C. Berndt
 | year = 1989
 | month = 
 | title = Ramanujan's notebooks, Part II
 | journal = 
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn = 978-0-387-96794-3
 | oclc =
 | url = https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3
 | format = 
 | accessdate = 2011-02-08
 }}</ref>:

: <math>\zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}</math>

{{нп5|Саймон Плафф||en|Simon Plouffe}} получил ряды другого типа<ref name=Plouffe98>{{citation
 | author = Simon Plouffe
 | year = 1998
 | month = 
 | title = Identities inspired from Ramanujan Notebooks II
 | journal = 
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = 
 | issn = 
 | oclc =
 | url = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html
 | format = HTML
 | accessdate = 2011-02-08
 }}</ref>

: <math>\zeta(3)= 14 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}
-\tfrac{11}{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}
-\tfrac{7}{2} 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; ,
</math>

а также аналогичные представления для других постоянных <math>\zeta(2n+1)</math>.

Были также получены другие представления в виде рядов, включая:

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}
\frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!}</math>

: <math>\zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
    \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
    {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\,
    \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}</math>

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(205k^2 + 250k + 77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^5}</math>

: <math>\zeta(3) = \tfrac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^3}</math>

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда<ref name=Broadhurst>{{citation
 | author = D. J. Broadhurst
 | year = 1998
 | month = 
 | title = Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)
 | journal =
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = arXiv (math.CA/9803067)
 | issn = 
 | oclc =
 | url = http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067
 | format = PDF
 | accessdate = 2011-02-08
 }}</ref>, которое даёт возможность вычислить произвольный [[бит]] постоянной Апери.

== Представления в виде интегралов ==
Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа
: <math>
\zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \!  \frac{x^2}{e^x-1}\, dx 
=\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \!  \frac{x^2}{e^x+1}\, dx 
</math>
или
: <math>\zeta(3) =\int\limits_0^1 \!  \frac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\, dx </math>
следующих из простейших интегральных определений [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]]<ref>Г. М. Фихтенгольц. ''Курс дифференциального и интегрального исчисления'' (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969</ref>, до достаточно сложных, таких, как
: <math>
\zeta(3)=\pi\!\!\int\limits_{0}^{\infty} \! 
\frac{\cos(2\,\mathrm{arctg}\,x)}{\left(x^2+1\right)\big[\mathrm{ch}\big(\frac{1}{2}\pi x\big)\big]^2}\, dx\qquad
</math> ([[Йенсен, Иоган Людвиг Виллиам Вальдемар|Иоган Йенсен]]<ref>Johan Ludwig William Valdemar Jensen. ''Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver''. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.</ref>),
: <math>
\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \!\!\int\limits_0^1  \frac{\ln(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy\qquad
</math> ({{нп5|Бёкерс, Фритс|Фритс Бёкерс|en|Frits Beukers}}<ref>F. Beukers ''A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)''. Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.</ref>),
: <math>
\zeta(3) =\,\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_0^1 \!  \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \qquad
</math> (Ярослав Благушин<ref name="iaroslav_06">[https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5 Iaroslav V. Blagouchine ''Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results.'' The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014.] [https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results PDF]</ref>).
Также связь постоянной Апери с производными [[Гамма-функция|гамма-функции]] (см. упр. 30.10.1<ref>М. А. Евграфов и др. ''Сборник задач по теории аналитических функций''. Наука, Москва, 1969</ref>):
: <math>
\zeta(3) = -\frac{1}{2}\Gamma'''(1)+\frac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- [\Gamma'(1)]^3 = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)\qquad
</math>
позволяет вывести большое количество интегральных представлений через известные интегральные формулы для [[Гамма-функция|гамма-функции]].

== Вычисление десятичных цифр ==
Число известных значащих цифр постоянной Апери <math>\zeta(3)</math> значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов<ref name=gourdon_html>{{citation
 | author = X. Gourdon & P. Sebah
 | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html 
 | title = Constants and Records of Computation
 | format = HTML
 | publisher = numbers.computation.free.fr
 | accessdate = 2011-02-08}}</ref>.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''Число известных значащих цифр постоянной Апери <math>\zeta(3)</math>'''
! Дата || Количество значащих цифр || Авторы вычисления
|-
| 1735 || 16 || [[Леонард Эйлер]]<ref name=Euler0/><ref name=Euler_Bell/> <!--[[Лежандр, Адриен Мари|Адриен Мари Лежандр]]-->
|-
| 1887 || 32 || [[Стилтьес, Томас Иоаннес|Томас Иоаннес Стилтьес]]
|-
| 1996 || {{nts|520,000}} || ''Greg J. Fee'' & ''Simon Plouffe''
|-
| 1997 || {{nts|1,000,000}} || ''Bruno Haible'' & ''Thomas Papanikolaou''
|-
| 1997, май || {{nts|10,536,006}} || ''Patrick Demichel''
|-
| 1998, февраль || {{nts|14,000,074}} || ''Sebastian Wedeniwski''
|-
| 1998, март || {{nts|32,000,213}} || ''Sebastian Wedeniwski''
|-
| 1998, июль || {{nts|64,000,091}} || ''Sebastian Wedeniwski''
|-
| 1998, декабрь || {{nts|128,000,026}} || ''Sebastian Wedeniwski''<ref name=Wedeniwski>{{citation
 | author = Sebastian Wedeniwski
 | year = 2001
 | month = 
 | title = The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places
 | journal =
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = Project Gutenberg
 | issn = 
 | oclc =
 | url = 
 | format = 
 | accessdate = 2008-05-18
 }}</ref>
|-
| 2001, сентябрь || {{nts|200,001,000}} || ''Shigeru Kondo'' & ''Xavier Gourdon''
|-
| 2002, февраль || {{nts|600,001,000}} || ''Shigeru Kondo'' & ''Xavier Gourdon''
|-
| 2003, февраль || {{nts|1,000,000,000}} || ''Patrick Demichel'' & ''Xavier Gourdon''
|-
| 2006, апрель || {{nts|10,000,000,000}} || ''Shigeru Kondo'' & ''Steve Pagliarulo''<ref name=Gourdon_Sebah>{{citation
 | author = Xavier Gourdon & Pascal Sebah
 | year = 2003
 | month = 
 | title = The Apéry's constant: ζ(3)
 | journal =
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = 
 | issn = 
 | oclc =
 | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html
 | format = HTML
 | accessdate = 2011-02-08
 }}</ref>
|-
| 2009, январь || {{nts|15,510,000,000}} || ''Alexander J. Yee'' & ''Raymond Chan''<ref name=Yee_Chan>{{citation
 | author = Alexander J. Yee & Raymond Chan
 | year = 2009
 | month = 
 | title = Large Computations
 | journal =
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = 
 | issn = 
 | oclc =
 | url = http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html
 | format = HTML
 | accessdate = 2011-02-08
 }}</ref>
|-
| 2009, март || {{nts|31,026,000,000}} || ''Alexander J. Yee'' & ''Raymond Chan''<ref name=Yee_Chan/>
|-
| 2010, сентябрь || {{nts|100,000,001,000}} || ''Alexander J. Yee''<ref name="Yee">{{citation
 | author = Alexander J. Yee 
 | year = 2015
 | month = 
 | title = Zeta(3) — Apery's Constant
 | journal =
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = 
 | issn = 
 | oclc =
 | url = http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/
 | format = HTML
 | accessdate = 2018-11-24
 }}</ref>
|-
| 2013, сентябрь || {{nts|200000001000}} || ''Robert J. Setti''<ref name="Yee" />
|-
| 2015, август || {{nts|250000000000}} || ''Ron Watkins''<ref name="Yee" />
|-
| 2015, декабрь || {{nts|400000000000}} || ''Dipanjan Nag''<ref name="Yee" />
|-
| 2017, август || {{nts|500,000,000,000}} || ''Ron Watkins''<ref name="Yee" />
|}

== Другие значения дзета-функции в нечётных точках ==
Существует много исследований, посвящённых другим значениям [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] в нечётных точках <math>\zeta(2n+1)</math> при <math>n>1</math>. В частности, в работах {{нп5|Зудилин, Вадим Валентинович|Вадима Зудилина|en|Wadim Zudilin}} и Тангая Ривоаля показано, что [[иррациональное число|иррациональными]] является бесконечное множество чисел <math>\zeta(2n+1)</math><ref name=Rivoal>{{Citation
 |author=T. Rivoal 
 |title=La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs 
 |journal=Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 
 |volume=331 
 |year=2000 
 |pages=267–270}}</ref>, а также что по крайней мере одно из чисел <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, или <math>\zeta(11)</math> является иррациональным<ref name=Zudilin>{{статья
 |автор=В. В. Зудилин 
 |заглавие=Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально 
 |издание=[[УМН]]
 |год=2001
 |том=56
 |выпуск=4(340)
 |страницы=149–150
 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn427}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания|широкие}}

== Ссылки ==
* {{книга |автор=Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин |часть=I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) |заглавие=Введение в теорию чисел |серия=Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». |издательство=ВИНИТИ |год=1990 |том=49 |страниц=341 |страницы=83—89 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/intf147}}
* {{citation|author=V. Ramaswami|title=Notes on Riemann's ζ-function|year=1934|journal=J. London Math. Soc.|volume=9|pages=165–169|url=http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf |doi=10.1112/jlms/s1-9.3.165}}
* {{mathworld|title=Apéry's constant|urlname=AperysConstant}}

{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа}}

[[Категория:Математические константы|Апери]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Числа с собственными именами]]
[[Категория:Положительные числа]]
[[Категория:Иррациональные числа]]