Просмотр кода страницы Полярная система координат

[[Файл:Polar graph paper.svg|thumb|right|300px|Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.]]
'''Полярная система координат''' — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой [[Прямоугольная система координат|декартовой]], или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения [[тригонометрия|тригонометрических]] уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью.
Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой.
Радиальная координата (обычно обозначается <math>r</math>) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или [[Азимут (геодезия)|азимутом]] и обозначается <math>\varphi</math>, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.<ref name="brown">{{cite book
 | last = Brown
 | first = Richard G.
 | editor = Andrew M. Gleason
 | year = 1997
 | title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis
 | publisher = McDougal Littell
 | location = Evanston, Illinois
 | isbn = 0-395-77114-5
}}</ref>

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от [[0 (число)|нуля]] до [[бесконечность|бесконечности]], а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

== История ==
Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном [[Гиппарх]] (190—120 гг до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел.<ref name="milestones">{{cite web
 |last        = Friendly
 |first       = Michael
 |title       = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization
 |url         = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 |accessdate  = 2006-09-10
 |deadlink    = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20010426083726/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 |archivedate = 2001-04-26
}}</ref> [[Архимед]] в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик [[Хаббаш аль-Хасиб]] (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения [[Кибла|Киблы]] — направления на [[Мекка|Мекку]]<ref>{{citation|title=Mathematics and the Divine |last=T. Koetsier|first=L. Bergmans|publisher=[[Elsevier]] |year=2005 |isbn=0444503285|page=169}}</ref>. Персидский астроном [[Аль-Бируни|Абу Райхан Бируни]] ([[973]]—[[1048]]) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в [[1025 год]]у, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию [[небесная сфера|небесной сферы]]<ref>''David A. King'' (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 1, pp. 128—184 [153], Routledge, London and New York</ref>.

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из [[Гарвард]]а Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»<ref name="coolidge">{{статья
|заглавие=The Origin of Polar Coordinates
|издание=[[American Mathematical Monthly]]
|том=59
|страницы=78—85
|ссылка=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html
|doi=10.2307/2307104
|язык=en
|автор={{Нп3|Coolidge, Julian|Coolidge, Julian||Julian Lowell Coolidge}}
|год=1952
|тип=journal}}
</ref>. [[Грегуар де Сен-Венсан]] и [[Кавальери, Бонавентура|Бонавентура Кавальери]] независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в [[1625 год]]у, напечатав свои труды в [[1647]]; а Кавальери напечатал свои труды в [[1635 год]]у, и исправленную версию в [[1653 год]]у. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. [[Паскаль, Блез|Блез Паскаль]] впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин [[параболические дуги|параболических дуг]].

В книге «Метод флюксий» ([[Английский язык|англ.]] ''Method of Fluxions,'' написана в [[1671 год]]у, напечатана в [[1736 год]]у) сэр [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («{{lang-en|Seventh Manner; For Spirals}}»), и девятью другими системами координат<ref>{{статья
|заглавие=Newton as an Originator of Polar Coordinates
|издание=[[American Mathematical Monthly]]
|том=56
|страницы=73—78
|doi=10.2307/2306162
|язык=en
|автор=Boyer, C. B.
|год=1949
|тип=journal}}
</ref>. В статье, опубликованной в [[1691 год]]у в журнале ''[[Acta eruditorum]]'', [[Бернулли, Якоб|Якоб Бернулли]] использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают [[Грегорио Фонтана]]. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в [[1816 год]]у [[Джордж Пикок|Джорджем Пикоком]]<ref>{{cite web
 |last        = Miller
 |first       = Jeff
 |title       = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
 |url         = http://members.aol.com/jeff570/p.html
 |accessdate  = 2006-09-10
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65TkzsbuI?url=http://lifestream.aol.com/
 |archivedate = 2012-02-15
 |deadlink    = no
}}</ref><ref>{{cite book
  | last = Smith
  | first = David Eugene
  | title = History of Mathematics, Vol II
  | publisher = Ginn and Co.
  | year = 1925
  | location = Boston
  | pages = 324 }}
</ref> Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил [[Клеро, Алекси Клод|Алекси Клеро]], а [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] был первым, кто разработал соответствующую систему<ref name="coolidge"/>.

== Графическое представление ==
[[Файл:Polar coordinates.svg|thumb|250px|Точка в полярной системе координат.]]
Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются <math>r</math> (радиальная координата, встречается вариант обозначения <math>\rho</math>) и <math>\varphi</math> (угловая координата, полярный угол, фазовый угол, азимут, [[позиционный угол]], иногда пишут <math>\theta</math> или <math>t</math>). Координата <math>r</math> соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата <math>\varphi</math> равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемому полярной осью системы координат)<ref name="brown"/>.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и всегда принимает неотрицательные значения <math>r\geqslant 0</math>. Полярный угол <math>\varphi</math> определен для любой точки плоскости, за исключением полюса <math>O</math>, и принимает значения <math>-\pi<\varphi\leqslant\pi</math>. Полярный угол измеряется в [[радиан]]ах и отсчитывается от полярной оси:

* в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;
* в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Например, точка с координатами <math>(3,\;60^\circ)</math> будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами <math>(3,\;-300^\circ)</math> будет нарисована на том же месте.

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка <math>(r,\;\varphi)</math> может быть представлена в виде <math>(r,\;\varphi\pm n\times 360^\circ)</math> или <math>(-r,\;\varphi\pm(2n+1)\times 180^\circ)</math>, где <math>n</math> — произвольное [[целое число]]<ref>{{cite web
 |url         = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf
 |title       = Polar Coordinates and Graphing
 |accessdate  = 2006-09-22
 |date        =[[2006-04-13]]
 |format      = PDF
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf
 |archivedate = 2012-02-15
 |deadlink    = yes
}}</ref>.

Для обозначения полюса используют координаты <math>(0,\;\varphi)</math>. Независимо от координаты <math>\varphi</math> точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём<ref>{{cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry |last=Lee |first=Theodore |coauthors=David Cohen, David Sklar |year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole |edition=Fourth Edition |isbn=0534402305}}</ref>. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений <math>r\geqslant 0</math>, а угол <math>\varphi</math> к интервалу <math>[0,\;360^\circ)</math> или <math>(-180^\circ,\;180^\circ]</math> (в радианах <math>[0,\;2\pi)</math> или <math>(-\pi,\;\pi]</math>)<ref>{{cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane) |first=Ian |last=Stewart |coauthors=David Tall |year=1983 |publisher=Cambridge University Press| isbn=0521287634}}</ref>.

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом <math>2\pi\;\mathrm{RAD}=360^\circ</math>. Выбор, как правило, зависит от области применения. В [[навигация|навигации]] традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики и почти во всех разделах математики используют [[радиан]]ы<ref>{{cite book
  | last = Serway
  | first = Raymond A. 
  | coauthors = Jewett, Jr., John W.
  | title =  Principles of Physics
  | publisher = Brooks/Cole—Thomson Learning
  | year = 2005
  | isbn = 0-534-49143-X }}</ref>.

=== Связь между декартовыми и полярными координатами ===
Пару полярных координат <math>r</math> и <math>\varphi</math> можно перевести в [[Прямоугольная система координат|Декартовы координаты]] <math>x</math> и <math>y</math> путём применения тригонометрических функций [[синус]]а и [[косинус]]а (при этом предполагается. что нулевой луч полярной системы координат совпадает с осью <math>x</math> декартовой системы):
: <math>x=r\cos\varphi,</math>
: <math>y=r\sin\varphi,</math>
в то время как две декартовы координаты <math>x</math> и <math>y</math> могут быть переведены в полярную координату <math>r</math>:
: <math>r^2=y^2+x^2</math> (по [[теорема Пифагора|теореме Пифагора]]).
Для определения угловой координаты <math>\varphi</math> следует принять во внимание два следующих соображения:
* Для <math>{r\equiv0}</math>, <math>\varphi</math> может быть произвольным действительным числом.
* Для <math>r\ne0</math>, чтобы получить уникальное значение <math>\varphi</math>, следует ограничиться интервалом в <math>2\pi</math>. Обычно выбирают интервал <math>[0,\;2\pi)</math> или <math>(-\pi,\;\pi]</math>.

Для вычисления <math>\varphi</math> в интервале <math>[0,\;2\pi)</math>, можно воспользоваться такими уравнениями (<math>\mathrm{arctg}</math> обозначает обратную функцию к тангенсу):
: <math>\theta =
\begin{cases}
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}), &  x > 0, y \ge 0\\
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + 2\pi, &  x > 0, y < 0 \\
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi, & x < 0\\
\frac{\pi}{2}, &  x = 0,  y > 0\\
\frac{3\pi}{2}, & x = 0,  y < 0\\
- &  x = 0,  y = 0
\end{cases}</math>
Для вычисления <math>\varphi</math> в интервале <math>(-\pi,\;\pi]</math>, можно воспользоваться такими уравнениями:<ref>{{cite book|first=Bruce Follett |last=Torrence |coauthors=Eve Torrence |title=The Student's Introduction to Mathematica® |year=1999 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0521594618}}</ref>
: <math>\theta =
\begin{cases}
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}), &  x > 0\\
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi, &  x < 0 , y \ge 0\\
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) - \pi, & x < 0, y < 0\\
\frac{\pi}{2}, & x = 0,  y > 0\\
-\frac{\pi}{2}, & x = 0,  y < 0\\
- &  x = 0,  y = 0
\end{cases}</math>
Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение <math>y</math> к <math>x</math>, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции <code>atan</code>, определяющей [[арктангенс]] числа, ещё и дополнительную функцию <code>atan2</code>, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в [[Common Lisp]]), функция <code>atan</code> может получать значение координаты <math>x</math>.

== Уравнение кривых в полярных координатах ==
Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: [[полярная роза]], [[архимедова спираль]], [[Лемниската]], [[улитка Паскаля]] и [[кардиоида]].

=== Окружность ===
[[Файл:circle r=1.svg|thumb|right|Окружность, заданная уравнением <math>\scriptstyle{r(\varphi)=1}</math>.|180px]]
Общее уравнение окружности с центром в (<math>r_0,\;\theta</math>) и радиусом <math>a</math> имеет вид:
: <math>r^2-2rr_0\cos(\varphi-\theta)+r_0^2=a^2.</math>
Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например
: <math>r(\varphi)=a</math>
является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом <math>a</math>.<ref name="ping">{{cite web
 |first       = Johan
 |last        = Claeys
 |url         = http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 |title       = Polar coordinates
 |accessdate  = 2006-05-25
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65Tl13GSP?url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 |archivedate = 2012-02-15
 |deadlink    = yes
}}</ref>

=== Прямая ===
Радиальные [[Прямая|прямые]] (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением
: <math>\varphi=\theta,</math>
где <math>\theta</math> — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, <math>\theta=\mathrm{arctg}\,m</math> где <math>m</math> — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую <math>\varphi=\theta</math> в точке <math>(r_0,\;\theta)</math> определяется уравнением
: <math>r(\varphi)=r_0\sec(\varphi-\theta).</math>

=== Полярная роза ===
[[Файл:Rose 2sin(4theta).svg|thumb|right|Полярная роза задана уравнением <math>\scriptstyle{r(\varphi)=2\sin 4\varphi}</math>.|180px]]
[[Роза (плоская кривая)|Полярная роза]] — известная математическая [[кривая]], похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:
: <math>r(\varphi)=a\cos(k\varphi+\theta_0)</math>
для произвольной постоянной <math>\theta_0</math> (включая 0). Если <math>k</math> — целое число, то это уравнение будет определять розу с <math>k</math> лепестками для нечётных <math>k</math>, либо с <math>2k</math> лепестками для чётных <math>k</math>. Если <math>k</math> — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если <math>k</math> — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная <math>a</math> определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном <math>k</math> мы будем иметь <math>k</math>-лепестковую розу. Таким образом, уравнение <math>r(\varphi)=\cos(2\varphi)</math>
будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.
{{-}}

=== Спираль Архимеда ===
[[Файл:Spiral of Archimedes.svg|thumb|right|Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением <math>\scriptstyle{r(\varphi)=\varphi}</math> для <math>\scriptstyle{0<\theta<6\pi}</math>.|180px]]
[[Архимедова спираль]] названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика [[Архимед]]а. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:
: <math>r(\varphi)= a+b\varphi.</math>
Изменения параметра <math>a</math> приводят к повороту спирали, а параметра <math>b</math> — расстояния между витками, которое является [[Постоянная|константой]] для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для <math>\varphi>0</math> а другую для <math>\varphi<0</math>. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после [[коническое сечение|конического сечения]], и лучше других определяется именно полярным уравнением.
{{-}}

=== Конические сечения ===
[[Файл:Elps-slr.svg|thumb|right|250px|Эллипс.]]
Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:
: <math>r=\frac{\ell}{1-e\cos\varphi},</math>
где <math>e</math> — [[эксцентриситет]], а <math>\ell</math> — фокальный параметр. Если <math>e>1</math>, это уравнение определяет гиперболу; если <math>e=1</math>, то параболу; если <math>e<1</math>, то эллипс. Отдельным случаем является <math>e=0</math>, определяющее окружность с радиусом <math>\ell</math>.

== Комплексные числа ==
[[Файл:Imaginarynumber2.svg|thumb|right|265px|Пример комплексного числа <math>\scriptstyle{z}</math>, нанесённого на комплексную плоскость.]]
[[Файл:Euler's formula.svg|thumb|right|265px|Пример комплексного числа, нанесённого на график, с использованием [[формула Эйлера|формулы Эйлера]].]]
Каждое [[комплексное число]] может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число <math>z</math> может быть записано в прямоугольной форме так:
: <math>z=x+iy,</math>
где <math>i</math> — [[мнимая единица]], или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):
: <math>z=r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math>
и отсюда:
: <math>z=re^{i\varphi},</math>
где <math>e</math> — [[e (число)|число Эйлера]]. Благодаря [[формула Эйлера|формуле Эйлера]], оба представления эквивалентны<ref>
 {{cite book
 | last = Smith
 | first = Julius O.
 | title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)
 | accessdate = 2006-09-22
 | year = 2003
 | publisher = W3K Publishing
 | isbn = 0-9745607-0-7
 | chapter = Euler's Identity
 | chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
 }}
</ref> (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол <math>\varphi</math> задан в радианах)

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

* Умножение:
:: <math>r_0e^{i\varphi_0}\cdot r_1e^{i\varphi_1}=r_0r_1e^{i(\varphi_0+\varphi_1)}.</math>
* Деление:
:: <math>\frac{r_0e^{i\varphi_0}}{r_1e^{i\varphi_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0-\varphi_1)}.</math>
* Возведение в степень ([[формула Муавра]]):
:: <math>(re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi}.</math>

== В математическом анализе ==
Операции [[математический анализ|математического анализа]] тоже можно сформулировать, используя полярные координаты<ref>{{cite web |url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html |title=Areas Bounded by Polar Curves |author=Husch, Lawrence S. |accessdate=2006-11-25 |archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl1oOio?url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html |archivedate=2012-02-15 |deadlink=no }}</ref><ref>{{cite web |url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html |title=Tangent Lines to Polar Graphs |author=Lawrence S. Husch |accessdate=2006-11-25 |archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl2Egqc?url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html |archivedate=2012-02-15 |deadlink=no }}</ref>.

=== Дифференциальное исчисление ===
Справедливы следующие формулы:
: <math>r\frac{\partial}{\partial r}=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y},</math>
: <math>\frac{\partial}{\partial\varphi}=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}.</math>
Чтобы найти [[тангенс]] угла наклона [[касательная|касательной]] к любой данной точке полярной кривой <math>r(\varphi)</math> в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:
: <math>x=r(\varphi)\cos\varphi,</math>
: <math>y=r(\varphi)\sin\varphi.</math>
[[Частная производная|Дифференцируя]] оба уравнения по <math>\varphi</math> получим:
: <math>\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi,</math>
: <math>\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi.</math>
Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке <math>(r,\;r(\varphi))</math>:
: <math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.</math>

=== Интегральное исчисление ===
[[Файл:Polar coordinates integration region.svg|thumb|Область <math>\scriptstyle{R}</math>, которая образована полярной кривой <math>\scriptstyle{r(\varphi)}</math> и лучами <math>\scriptstyle{\varphi=a}</math> и <math>\scriptstyle{\varphi=b}</math>.]]
Пусть <math>R</math> — область, которую образуют полярная кривая <math>r(\varphi)</math> и лучи <math>\varphi=a</math> и <math>\varphi=b</math>, где <math>0<b-a<2\pi</math>. Тогда площадь этой области находится [[определённый интеграл|определённым интегралом]]:
: <math>\frac{1}{2}\int\limits_a^b[r(\varphi)]^2\,d\varphi.</math>
[[Файл:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|Область <math>\scriptstyle{R}</math> образована из <math>n</math> секторов (тут <math>\scriptstyle{n=5}</math>).]]
Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьём интервал <math>[a,\;b]</math> на произвольное число подынтервалов <math>n</math>. Таким образом, длина такого подынтервала <math>\Delta\varphi</math> равна <math>b-a</math> (полная длина интервала), разделённая на <math>n</math> (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала <math>i=1,\;2,\;\ldots,\;n</math> <math>\varphi_i</math> — средняя точка. Построим секторы с центром в полюсе, радиусами <math>r(\varphi_i)</math>, центральными углами <math>\Delta\varphi</math> и длиной дуги <math>r(\varphi_i)\Delta\varphi</math>. Поэтому площадь каждого такого сектора будет <math>\frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\Delta\varphi</math>. Отсюда, полная площадь всех секторов:
: <math>\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.</math>
Если число подынтервалов <math>n</math> увеличивать, то [[погрешность]] такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив <math>n\to\infty</math>, полученная [[Сумма (математика)|сумма]] станет интегральной. Предел этой суммы при <math>\Delta\varphi\to 0</math> определяет вышеописанный интеграл:
: <math>\lim_{\Delta\varphi\to 0}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_a^b[r(\varphi)]^2\,d\varphi.</math>

==== Обобщение ====
Используя декартовы координаты, площадь бесконечно малого элемента может быть вычислена как <math>dA=dx\,dy</math>. При переходе к другой системе координат в многократных интегралах необходимо использовать [[определитель Якоби]]:
: <math>J=\det\frac{\partial(x,\;y)}{\partial(r,\;\varphi)}=\begin{vmatrix}
  \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\
  \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\end{vmatrix}.</math>
Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен <math>r</math>:
: <math>J=\begin{vmatrix}
  \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
  \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=r.</math>
Следовательно, площадь элемента в полярных координатах можно записать так:
: <math>dA=J\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi.</math>
Теперь, функция, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:
: <math>\iint\limits_R f(r,\;\varphi)\,dA=\int\limits_a^b\int\limits_0^{r(\varphi)}f(r,\;\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.</math>
Здесь область <math>R</math>, как и в предыдущем разделе, такая, которую образуют полярная кривая <math>r(\varphi)</math> и лучи <math>\varphi=a</math> и <math>\varphi=b</math>.

Формула для вычисления площади, описанная в предыдущем разделе, получена в случае <math>f=1</math>. Интересным результатом применения формулы для многократных интегралов является [[Интеграл Эйлера — Пуассона]]:
: <math>\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi.</math>

=== [[Векторный анализ]] ===
Для полярных координат можно применить элементы [[Векторный анализ|векторного анализа]]. Любое [[векторное поле]] <math>\mathbf{F}</math> можно записать в полярной системе координат, используя [[единичный вектор|единичные векторы]]:
: <math>\mathbf{e}_r=(\cos\varphi,\;\sin\varphi)</math>
в направлении <math>\mathbf{r}</math>, и
: <math>\mathbf{e}_\varphi=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi);</math>
: <math>\mathbf{F}=F_r\mathbf{e}_r+F_\varphi\mathbf{e}_\varphi.</math>
Связь между декартовыми компонентами поля <math>F_x</math> и <math>F_y</math> и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:
: <math>F_x=F_r\cos\varphi-F_\varphi\sin\varphi;</math>
: <math>F_y=F_r\sin\varphi+F_\varphi\cos\varphi.</math>
Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, [[градиент]] скалярного поля <math>\Phi(r,\;\varphi)</math> записывается:
: <math>\mathrm{grad}\,\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial r}\mathbf{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}\mathbf{e}_\varphi.</math>

== Трёхмерное расширение ==
Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты.

=== Цилиндрические координаты ===
[[Файл:Cylindrical Coordinates.svg|thumb|right|250px|Точка <math>\scriptstyle{P}</math> начертана в цилиндрической системе координат.]]
{{main|Цилиндрическая система координат}}

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как Декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как <math>z</math>, образуя тройку координат <math>(\rho,\;\varphi,\;z)</math>.

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:
: <math>\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi; \\
y=\rho\sin\varphi; \\
z=z.\end{cases}</math>

=== Сферические координаты ===
[[Файл:Spherical with grid.svg|thumb|right|250px|Точка начертана в сферической системе координат.]]
{{main|Сферическая система координат}}

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты <math>\theta</math>, равным углу поворота от вертикальной оси <math>z</math> (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка <math>(r,\;\varphi,\;\theta)</math>, где <math>r</math> — расстояние от центра координат, <math>\varphi</math> — угол от оси <math>x</math> (как и в плоских полярных координатах), <math>\theta</math> — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта <math>\delta</math> является дополнением <math>\theta</math> и равна <math>\delta=90^\circ-\theta</math>, а долгота <math>l</math> вычисляется по формуле <math>l=\varphi-180^\circ</math><ref>{{cite web|url=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm|title=Spherical Coordinates|first=Frank|last=Wattenberg|year=1997|accessdate=2006-09-16|archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl2ecLu?url=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm|archivedate=2012-02-15|deadlink=yes}}</ref>.

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:
: <math>\begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\varphi; \\
y=r\sin\theta\sin\varphi; \\
z=r\cos\theta.\end{cases}</math>

=== Обобщение на n измерений ===
Полярную систему координат можно расширить на случай <math>n</math>-мерного пространства. Пусть <math>x_i\in\mathbb{R}</math>, <math>i=1,\;\ldots,\;n</math> — координатные векторы <math>n</math>-мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в <math>n</math>-мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора <math>x\in\mathbb{R}^n</math> от координатной оси <math>x_{i+2}</math>.

Для перевода обобщённых <math>n</math>-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:
: <math>\begin{array}{lcr}
x_1 & = & r\cos\varphi\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\  
x_2 & = & r\sin\varphi\sin\vartheta_1\sin\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\
x_3 & = & r\cos\vartheta_1\sin\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\  
x_4 & = & r\cos\vartheta_2\ldots\sin\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\
\ldots & \ldots & \ldots\qquad\qquad\qquad \\ 
x_{n-1} & = & r\cos\vartheta_{n-3}\sin\vartheta_{n-2}; \\
x_n & = & r\cos\vartheta_{n-2}.\end{array}</math>
Как можно показать, случай <math>n=2</math> соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а <math>n=3</math> — обычной сферической системе координат.

[[Якобиан]] преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:
: <math>\det\frac{\partial(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{\partial(r,\;\varphi,\;\vartheta_1,\;\ldots,\;\vartheta_{n-2})}=r^{n-1}\sin\vartheta_1(\sin\vartheta_2)^2\ldots(\sin\vartheta_{n-2})^{n-2},</math>
где <math>n</math>-мерный элемент объёма имеет вид:
: <math>dV=r^{n-1}\sin\vartheta_1(\sin\vartheta_2)^2\ldots(\sin\vartheta_{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi\,d\vartheta_1\ldots d\vartheta_
{n-2}=</math>
:: <math>=r^{n-1}\,dr\,d\varphi\prod\limits_{j=1}^{n-2}(\sin\vartheta_j)^j\,d\vartheta_j.</math>

== Применение ==
Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

=== [[Позиционирование]] и [[навигация]] ===
Полярную систему координат часто применяют в [[навигация|навигации]], поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу<ref>{{cite web |url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html |title=Aircraft Navigation System |accessdate=2006-11-26 |first=Sumrit |last=Santhi |archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl3UH91?url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html |archivedate=2012-02-15 |deadlink=no }}</ref>. Так, [[самолёт]], летящий 5 морских миль на восток можно описать как [[самолёт]], летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро)<ref>{{cite web |url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf |format=PDF |title=Emergency Procedures |type=pdf |accessdate=2007-01-15 |archiveurl=https://www.webcitation.org/65Tl55K3e?url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf |archivedate=2012-02-15 |deadlink=no }}</ref>.

=== [[Моделирование]] ===
[[Файл:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|thumb|Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах.]]
Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности [[микрофон]]ов, определяемую отношением чувствительности <math>M_\alpha</math> при падении звуковой волны под углом <math>\alpha</math> относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности:
: <math>\varphi=\frac{M_\alpha}{M_0}.</math>

== См. также ==
* [[Системы координат в элементарной математике]]
* [[Системы координат]]

== Примечания ==
{{примечания}}
{{refbegin}}
{{refend}}

== Литература ==
* ''Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.'' [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/%27%27Bibliotechka_fiziko-matematicheskoy_shkoly%27%27/%27%27BFMSh._Matematika%27%27,v.01.(1973).%5Bdjv%5D.zip Метод координат.]{{Недоступная ссылка|date=Август 2018 |bot=InternetArchiveBot }} Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50.

== Ссылки ==
* {{dmoz|Science/Math/Software/Graphing|Программы для рисования графиков}}

{{внешние ссылки}}
{{Системы координат}}

[[Категория:Системы координат]]