Просмотр кода страницы Полилогарифм

'''Полилогарифм''' — [[Специальные функции|специальная функция]], обозначаемая <math>\operatorname{Li}_s(z)</math> и определяемая как бесконечный [[степенной ряд]]
: <math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}, 
</math>
где ''s'' и ''z'' — [[Комплексное число|комплексные числа]], причём <math>|z|<1</math>. Для иных z делается обобщение с помощью [[Аналитическое продолжение|аналитического продолжения]].
<center>
{{Gallery
|title= [[Карта высот]] полилогарифма на комплексной плоскости
|width=130
|height=130
|lines=2
|File:Complex polylogminus3.jpg|<math>\operatorname{Li}_{-3}(z)</math>
|File:Complex polylogminus2.jpg|<math>\operatorname{Li}_{-2}(z)</math>
|File:Complex polylogminus1.jpg|<math>\operatorname{Li}_{-1}(z)</math>
|File:Complex polylog0.jpg|<math>\operatorname{Li}_{0}(z)</math>
|File:Complex polylog1.jpg|<math>\operatorname{Li}_{1}(z)</math>
|File:Complex polylog2.jpg|<math>\operatorname{Li}_{2}(z)</math>
|File:Complex polylog3.jpg|<math>\operatorname{Li}_{3}(z)</math>
}}
</center>

Частным случаем является <math>s=1</math>, при котором <math>\operatorname{Li}_{1}(z)=-\ln(1-z)</math>. Функции <math>\operatorname{Li}_{2}(z)</math> и <math>\operatorname{Li}_{3}(z)</math> получили названия [[дилогарифм]]а и [[трилогарифм]]а соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение
: <math>\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.</math>
Альтернативными определениями полилогарифма являются [[Интеграл Ферми — Дирака|интегралы Ферми — Дирака]] и [[Интеграл Бозе — Эйнштейна|Бозе — Эйнштейна]].

== Частные значения ==
[[Файл:Polylogarithm plot negative.svg|frame|right]]
: <math>\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2</math>
: <math>\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2</math>
: <math>\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \,,</math>
: <math>\operatorname{Li}_{1}(z)  = -\ln(1-z)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{0}(z)  = {z \over 1-z}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}</math>
: <math>\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.
</math>

== Литература ==

* {{cite book | last= Abel | first= N.H. | author-link= Niels Henrik Abel | contribution= Note sur la fonction <math>\scriptstyle \psi x = x+ \frac{x^2}{2^2}+ \frac{x^3}{3^2}+ \cdots+ \frac{x^n}{n^2}+ \cdots</math> | language= French | contribution-url= http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf | format= PDF | editor1-last= Sylow | editor1-first= L. | editor2-last= Lie | editor2-first= S. | title= Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II | location= Christiania [Oslo] | publisher= Grøndahl & Søn | origyear= 1826 | year= 1881 | pages= 189–193 | ref= harv}} (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
* {{cite book | last1= Abramowitz | first1= M. | last2= Stegun | first2= I.A. | title= [[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | location= New York | publisher= Dover Publications | year= 1972 | isbn= 0-486-61272-4 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants |ссылка=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=66 |номер=218 |страницы=903—913 |doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор={{Нп3|Bailey, D.H.|Bailey, D.H.||David H. Bailey}}; {{Нп3|Borwein, P.B.|Borwein, P.B.||Peter Borwein}}; {{Нп3|Plouffe, S.|Plouffe, S.||Simon Plouffe}} |месяц=4 |год=1997}}
* {{cite arxiv | last1= Bailey | first1= D.H. | last2= Broadhurst | first2= D.J. | title= A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder | eprint=math.CA/9906134 |class=math.CA | date= June 20, 1999 | ref= harv}}
* {{cite book | last= Berndt | first= B.C. | title= Ramanujan's Notebooks, Part IV | location= New York | publisher= Springer-Verlag | year= 1994 | pages= 323–326 | isbn=0-387-94109-6 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=On the evaluation of Legendre's chi-function |jstor=2152987 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=59 |номер=199 |страницы=157—163 |doi=10.2307/2152987 |ref=harv |язык=en |автор=Boersma, J.; Dempsey, J.P. |год=1992 |тип=journal}}
* {{статья |заглавие=Special Values of Multiple Polylogarithms |издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |том=353 |номер=3 |страницы=907—941 |doi=10.1090/S0002-9947-00-02616-7 |ref=harv |язык=en |автор=Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. |год=2001 }}
* {{статья |заглавие=On Bose-Einstein functions |издание={{Нп3|Proceedings of the Physical Society|Proceedings of the Physical Society, Section A||Proceedings of the Physical Society}} |том=67 |номер=7 |страницы=632—636 |doi=10.1088/0370-1298/67/7/308 |ref=harv |язык=en |автор=Clunie, J. |год=1954 |тип=journal}}
* {{статья |заглавие=A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder |ссылка=http://www.expmath.org/expmath/volumes/1/1.html |издание=Experimental Mathematics |том=1 |номер=1 |страницы=25—34 |ref=harv |язык=und |автор=Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. |год=1992}}
* {{статья |заглавие=The functions of Schläfli and Lobatschefsky |издание=Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) |том=6 |номер=1 |страницы=13—29 |doi=10.1093/qmath/os-6.1.13 |ref=harv |язык=und |автор={{Нп3|Coxeter, H.S.M.|Coxeter, H.S.M.||Harold Scott MacDonald Coxeter}} |год=1935}}
* {{статья |заглавие=Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms |ссылка=http://www.ams.org/journals/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/S0002-9939-97-04102-6.pdf |издание={{Нп3|Proceedings of the American Mathematical Society}} |том=125 |номер=9 |страницы=2543—2550 |doi=10.1090/S0002-9939-97-04102-6 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Cvijovic, D.; Klinowski, J. |год=1997}}
* {{статья |заглавие=New integral representations of the polylogarithm function |ссылка=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/463/2080/897.full.pdf |издание=Proceedings of the Royal Society (London), Series A |том=463 |номер=2080 |страницы=897—905 |doi=10.1098/rspa.2006.1794 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Cvijovic, D. |год=2007}}
* {{cite book | last1= Erdélyi | first1= A. | author1-link= Arthur Erdélyi | last2= Magnus | first2= W. | last3= Oberhettinger | first3= F. | last4= Tricomi | first4= F.G. | title= Higher Transcendental Functions, Vol. 1 | location= New York | publisher= Krieger | year= 1981 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function |jstor=2005579 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=29 |номер=130 |страницы=582—599 |doi=10.2307/2005579 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Fornberg, B.; Kölbig, K.S. |год=1975}}
* {{cite web | author= GNU Scientific Library | url= http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117 | title= Reference Manual | year= 2010 | accessdate= 2010-06-13 | ref= |archiveurl=https://www.webcitation.org/67erx82WG|archivedate=2012-05-14}}
* {{cite book | last1= Gradshteyn | first1= I.S. | last2= Ryzhik | first2= I.M. | title= Tables of Integrals, Series, and Products | edition= 4th | location= New York | publisher= Academic Press | year= 1980 | isbn= 0-12-294760-6 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent |arxiv=math.NT/0506319 |издание={{Нп3|The Ramanujan Journal}} |том=16 |номер=3 |страницы=247—270 |doi=10.1007/s11139-007-9102-0 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Guillera, J.; Sondow, J. |год=2008}}
* {{cite arxiv | last= Hain | first= R.M. | title= Classical polylogarithms | eprint=alg-geom/9202022 |class=alg-geom | date= March 25, 1992 | ref= harv}}
* {{cite book | last1= Jahnke | first1= E. | last2= Emde | first2= F. | title= Tables of Functions with Formulae and Curves | edition= 4th | location= New York | publisher= Dover Publications | year= 1945 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=Note sur la série <math>\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}</math> |язык=French |ссылка=http://archive.numdam.org/item?id=BSMF_1889__17__142_1 |издание={{Нп3|Bulletin de la Société Mathématique de France}} |том=17 |страницы=142—152 |ref=harv |автор=Jonquière, A. |год=1889}}
* {{статья |заглавие=On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation |издание=BIT |том=10 |страницы=38—74 |doi=10.1007/BF01940890 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. |год=1970}}
* {{статья |заглавие=Dilogarithm identities |arxiv=hep-th/9408113 |издание={{Нп3|Progress of Theoretical and Experimental Physics|Progress of Theoretical Physics Supplement||Progress of Theoretical and Experimental Physics}} |том=118 |страницы=61—142 |doi=10.1143/PTPS.118.61 |ref=harv |язык=en |автор=Kirillov, A.N. |год=1995 |тип=journal}}
* {{cite book | last= Lewin | first= L. | title= Dilogarithms and Associated Functions | location= London | publisher= Macdonald | year= 1958 | mr= 0105524 | ref= harv}}
* {{cite book | last= Lewin | first= L. | title= Polylogarithms and Associated Functions | location= New York | publisher= North-Holland | year= 1981 | isbn= 0-444-00550-1 | ref= harv}}
* {{cite book | last= Lewin | first= L. (Ed.) | title= Structural Properties of Polylogarithms | series= Mathematical Surveys and Monographs | volume= 37 | location= Providence, RI | publisher= Amer. Math. Soc. | year= 1991 | isbn= 0-8218-1634-9 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=The Riemann Zeta Function |издание=BIT |том=5 |страницы=138—141 |ref=harv |язык=und |автор=Markman, B. |год=1965}}
* {{статья |заглавие=The Dilogarithm Function for Complex Argument |ссылка=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2039/2807.full.pdf |издание=Proceedings of the Royal Society (London), Series A |том=459 |номер=2039 |страницы=2807—2819 |doi=10.1098/rspa.2003.1156 |ref=harv |язык=und |автор=Maximon, L.C. |год=2003}}
* {{статья |заглавие=The computation of Fermi-Dirac functions |издание=Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A |том=237 |номер=773 |страницы=67—104 |doi=10.1098/rsta.1938.0004 |ref=harv |язык=und |автор=McDougall, J.; Stoner, E.C. |год=1938}}
* {{статья |заглавие=Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen |язык=German |место=Halle – Leipzig, Germany |издательство=Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher |издание=Nova Acta Leopoldina |том=XC |номер=3 |страницы=121—212 |ref=harv |автор=Nielsen, N. |год=1909}}
* {{cite book | last1= Prudnikov | first1= A.P. | last2= Marichev | first2= O.I. | last3= Brychkov | first3= Yu.A. | title= Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions | location= Newark, NJ | publisher= Gordon and Breach | year= 1990 | isbn= 2-88124-682-6 | ref= harv}} (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
* {{статья |заглавие=Note on the Bose-Einstein integral functions |издание=Physical Review, Series 2 |том=83 |номер=3 |страницы=678—679 |doi=10.1103/PhysRev.83.678 |ref=harv |язык=und |автор=Robinson, J.E. |год=1951}}
* {{статья |заглавие=On function sum theorems connected with the series <math>\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}</math> |издание=Proceedings of the London Mathematical Society (2) |том=4 |номер=1 |страницы=169—189 |doi=10.1112/plms/s2-4.1.169 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Rogers, L.J. |год=1907}}
* {{cite book | last= Schrödinger | first= E. | authorlink= Erwin Schrödinger | title= Statistical Thermodynamics | edition= 2nd | location= Cambridge, UK | publisher= Cambridge University Press | year= 1952 | ref= harv}}
* {{статья |заглавие=On a function which occurs in the theory of the structure of polymers |jstor=1969153 |издание=Annals of Mathematics, Series 2 |том=46 |номер=1 |страницы=144—157 |doi=10.2307/1969153 |ref=harv |язык=en |тип=journal |автор=Truesdell, C. |год=1945}}
* {{cite arxiv | last= Vepstas | first= L. | year= 2007 | month= February | title= An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions | eprint=math.CA/0702243 |class=math.CA | ref= harv}}
* {{cite book | last1= Whittaker | first1= E.T. | author1-link= Edmund Taylor Whittaker | last2= Watson | first2= G.N. | author2-link= George Neville Watson | title= A Course of Modern Analysis | edition= 4th | location= Cambridge, UK | publisher= Cambridge University Press | year= 1952 | ref= harv}}
* {{cite web|last=Wood|first=D.C.|title=The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92*|url=http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110|format=PS|location=Canterbury, UK|publisher=University of Kent Computing Laboratory|year=1992|month=June|accessdate=2005-11-01|ref=harv|archiveurl=https://www.webcitation.org/67erxhMOj|archivedate=2012-05-14}}
* {{cite conference | last= Zagier | first= D. | author-link= Don Zagier | title= The dilogarithm function in geometry and number theory | booktitle= Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 | series= Studies in Mathematics | volume= 12 | location= Bombay | publisher= Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press | year= 1989 | pages= 231–249 | isbn= 0-19-562367-3 | ref= harv}} (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in ''Journal of Mathematical and Physical Sciences'' '''22''' (1988), pp. 131-145, and as Chapter I of {{harv|Zagier|2007}}.)
* {{cite book | last= Zagier | first= D. | contribution= The Dilogarithm Function | contribution-url= http://mathlab.snu.ac.kr/~top/articles/zagier.pdf | format= PDF | editor1-last= Cartier | editor1-first= P. | editor2-last= Julia | editor2-first= B. | editor3-last= Moussa | editor3-first= P. | editor4-last= Vanhove | editor4-first= P. | title= Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization | location= Berlin | publisher= Springer-Verlag | year= 2007 | pages= 3–65 | isbn= 978-3-540-30307-7 | ref= harv}}

== Ссылки ==
* {{mathworld | urlname= Polylogarithm | title= Polylogarithm}}
* {{mathworld | urlname= Dilogarithm | title= Dilogarithm}}

{{math-stub}}
{{rq|refless|style|topic=math}}

[[Категория:Специальные функции]]
[[Категория:Логарифмы]]