Просмотр кода страницы Плоскость

{{другие значения}}
{{Falseredirect|Плоскостность}}
[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Две пересекающиеся плоскости]]
'''Пло́скость''' — одно из основных понятий [[геометрия|геометрии]]. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется [[аксиома]]ми геометрии.

'''Пло́скость''' — это [[поверхность]] или [[Фигура (геометрия)|фигура]], образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

== Некоторые характеристические свойства плоскости ==
* Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]];
* Две плоскости являются либо [[Параллельность|параллельными]], либо пересекаются по прямой.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
* Две прямые, [[Перпендикулярность|перпендикулярные]] одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
* Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
[[Файл:Normal vectors2.svg|thumb|left|Плоскость и два её нормальных вектора: n<sub>1</sub> и n<sub>2</sub>]]

== Уравнения плоскости ==
Впервые встречается у [[Клеро, Алекси Клод|А. К. Клеро]] ([[1731]]).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у [[Ламе, Габриэль|Г. Ламе]] ([[1816]]—[[1818]]).

Нормальное уравнение ввёл [[Гессе, Людвиг Отто|Л. О. Гессе]] ([[1861]]).

'''Плоскость''' — [[алгебраическая поверхность]] первого порядка: в [[декартова система координат|декартовой системе координат]] плоскость может быть задана [[уравнение]]м первой степени.

* ''Общее уравнение (полное) плоскости''

: <math>Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)</math>

где <math>A,B,C</math> и <math>D</math> — постоянные, причём <math>A,B</math> и <math>C</math> одновременно не равны нулю; в [[Вектор (математика)|векторной]] форме:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0</math>

где <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор точки <math>M(x,y,z)</math>, вектор <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). ''Направляющие [[косинус]]ы'' вектора <math>\mathbf{N}</math>:
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется ''неполным''. При <math>D=0</math> плоскость проходит через [[начало координат]], при <math>A=0</math> (или <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) П. параллельна оси <math>Ox</math> (соответственно <math>Oy</math> или <math>Oz</math>). При <math>A=B=0</math> (<math>A=C=0</math>, или <math>B=C=0</math>) плоскость параллельна плоскости <math>Oxy</math> (соответственно <math>Oxz</math> или <math>Oyz</math>).

* ''Уравнение плоскости в отрезках:''

: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>

где <math>a=-D/A</math>, <math>b=-D/B</math>, <math>c=-D/C</math> — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях <math>Ox, Oy</math> и <math>Oz</math>.

* ''Уравнение плоскости, проходящей через точку'' <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> '',перпендикулярной вектору нормали'' <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math>:

: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>

в векторной форме:

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>

* ''Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки'' <math>M(x_i,y_i,z_i)</math>, ''не лежащие на одной прямой'':

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0</math>

(смешанное произведение векторов), иначе

: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>

* ''Нормальное (нормированное) уравнение плоскости''

: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math>

в векторной форме:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math>

где <math>\mathbf{N^0}</math>- единичный вектор, <math>p</math> — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

(знаки <math>\mu</math> и <math>D</math> противоположны).

== Определение по точке и вектору нормали ==
В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, '''<math>r_0</math>''' является радиусом-вектором точки <math>P_0</math>, заданной на плоскости, и допустим, что '''n''' - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка <math>P</math> с радиусом-вектором '''r''' находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от <math>P_0</math> к <math>P</math>, перпендикулярен '''n'''.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек '''r''' таких, что:
: <math>\mathbf n\cdot (\mathbf r-\mathbf r_0)=0.</math> (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)
Развернув выражение, мы получим:
: <math> n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,</math>
что является знакомым нам уравнением плоскости.

'''Например:''' 
Дано: точка на плоскости <math>P(2,6,-3)</math> и вектор нормали <math>N(9,5,2)</math>.

Уравнение плоскости записывается так:

<math>9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0</math>

<math>-18 + 9x -30 + 5y + 6 + 2z = 0</math>

<math>9x + 5y + 2z - 42 = 0</math>

== Расстояние от точки до плоскости ==
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что [[расстояние]] от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
* '''Отклонение точки''' <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math> от плоскости заданной нормированным уравнением <math>(2)</math>
<center><math>\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;</math></center>
:: <math>\delta>0</math>,если <math>M_1</math> и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае <math>\delta<0</math>. Расстояние от точки до плоскости равно <math>|\delta|.</math>
* Расстояние <math>\rho</math> от точки <math>M_0(x_0, y_0, z_0)</math>, до плоскости, заданной уравнением <math>ax+by+cz+d=0</math>, вычисляется по формуле:
<center><math>\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math></center>

== Расстояние между параллельными плоскостями ==
* Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями <math>Ax+By+Cz+D_1=0</math> и <math>Ax+By+Cz+D_2=0</math>:
<center><math>d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math></center>
* Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями <math>\bar n (\bar r - \bar{r_1})=0</math> и <math>\bar n (\bar r - \bar{r_2})=0</math>:
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>

[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке ]]

== Связанные понятия ==
* '''Угол между двумя плоскостями.''' Если уравнения П. заданы в виде (1), то

: <math>\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};</math>

Если в векторной форме, то

: <math>\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.</math>

* '''[[Параллельность плоскостей|Плоскости параллельны]]''', если

: <math>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}</math> или <math>[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.</math> (Векторное произведение)

* '''Плоскости перпендикулярны''', если

: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>.  (Скалярное произведение)

* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}:

: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>

:где <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

* '''Связка плоскостей''' — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей<ref name="Vect"/>{{rp|224}}. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0,</math>

:где <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

== m-плоскость в пространстве <math>R^n</math> ==
Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство <math>K^n(V,P)</math>, над полем действительных чисел. В нём выбрана [[прямоугольная система координат]] <math>O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}</math>. ''m-плоскостью'' называется множество точек <math>\alpha</math>, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению <math> \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}.</math> <math>A_{nm}</math> - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, <math>\vec{t}</math> - вектор переменных, <math>\vec{d}</math> - радиус-вектор одной из точек плоскости.<br />
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:<br />
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> - векторное уравнение m-плоскости.<br />
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.
<p> (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> - нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> - вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br />
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> - общее уравнение плоскости. <br />
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br />
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br />
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. </p>

=== Примеры m-плоскостей ===
#Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
#Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

== См. также ==
* [[Прямая]]
* [[Сагиттальная плоскость]]
* [[Полуплоскость]]
* [[Пространство (математика)|Пространство]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{книга|автор=Ильин В.&nbsp;А., Позняк Э.&nbsp;Г.|заглавие= Аналитическая геометрия|место= М.|издательство= ФИЗМАТЛИТ|год= 2002|страниц= 240}}

== Ссылки ==
{{wiktionary|плоскость}}
{{commonscat-inline|Linear planes}}

[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Аксиоматические термины]]
[[Категория:Стереометрия]]