Просмотр кода страницы Парадокс Рассела

[[Файл:Bertrand Russell transparent bg.png|thumb|Бертран Рассел (1916)]]
[[Файл:Ernst Zermelo.jpeg|thumb|Эрнст Цермело]]
'''Парадокс Рассела''' ('''антиномия Рассела''', также '''парадокс Рассела — Цермело''') — открытый в [[1901 год]]у<ref>{{citation|url=https://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350|title=One hundred years of Russell's paradox|author=Godehard Link|page=350|year=2004|isbn=9783110174380}}.</ref> [[Рассел, Бертран Артур Уильям|Бертраном Расселом]] теоретико-множественный [[парадокс]] ([[антиномия (логика)|антиномия]]), демонстрирующий противоречивость логической системы [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]], являвшейся ранней попыткой формализации [[наивная теория множеств|наивной теории множеств]] [[Кантор, Георг|Георга Кантора]]. Был открыт ранее, но не опубликован [[Цермело, Эрнст|Эрнстом Цермело]].

На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является [[множество всех множеств]], так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом<ref name=СЛ/>.

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется '''''расселовским множеством'''''. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.
* С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
* Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.
В любом случае получается противоречие<ref name="СЛ">Антиномия Рассела // Словарь по логике. ''Ивин А. А., Никифоров А. Л.'' — М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. — 384 с. — ISBN 5-691-00099-3.<!--http://dic.academic.ru/dic.nsf/logic/21 --></ref>.

== Формулировка парадокса ==
Парадокс Рассела можно сформулировать в [[наивная теория множеств|наивной теории множеств]]. Следовательно, наивная теория множеств является [[Противоречивость теории|противоречивой]]. Противоречив фрагмент наивной теории множеств, который можно определить как [[Теория первого порядка|теорию первого порядка]] с бинарным отношением принадлежности <math>\in</math> и {{iw|схема выделения|схемой выделения||Axiom schema of specification}}: для каждой логической формулы <math>P(x)</math> с одной свободной переменной в наивной теории множеств есть аксиома
: <math>\exists y \forall x (x \in y \iff P(x))</math>.
Эта схема аксиом говорит, что для всякого условия <math>P(x)</math> существует множество <math>y,</math> состоящее из тех <math>x,</math> которые удовлетворяют условию <math>P(x)</math><ref name=Stanford />.

Этого оказывается достаточно, чтобы сформулировать парадокс Рассела следующим образом. Пусть <math>P(x)</math> есть формула <math>x \notin x.</math> (То есть <math>P(x)</math> означает, что множество <math>x</math> не содержит себя в качестве элемента, или, в нашей терминологии, является «обычным» множеством.) Тогда, по аксиоме выделения, найдётся множество <math>y</math> (расселовское множество) такое, что
: <math>\forall x (x \in y \iff x\notin x)</math>.
Так как это верно для любого <math>x,</math> то верно и для <math>x=y.</math> То есть
: <math> y \in y \iff y\notin y.</math>
Из этого следует, что в наивной теории множеств выводится противоречие<ref name=Stanford>{{Статья|автор=Andrew David Irvine, Harry Deutsch|заглавие=Russell's Paradox|ссылка=http://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/russell-paradox/|ответственный=Edward N. Zalta|издание=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|год=2014-01-01}}</ref>.

Парадокс не возник бы, если предположить, что расселовского множества не существует. Однако само такое предположение парадоксально: в [[канторовская теория множеств|канторовской теории множеств]] считается, что любое свойство определяет множество элементов, удовлетворяющих этому свойству. Так как свойство множества быть «обычным» выглядит корректно определённым, то должно существовать множество всех «обычных» множеств. Сейчас такая теория называется ''наивной теорией множеств''<ref name=autogenerated1>{{Из|МЭ|заглавие=Антиномия|автор=А. Г. Драгалин}}</ref><ref name=Gerasimov>{{Книга|автор=А. С. Герасимов.|заглавие=Курс математической логики и теории вычислимости|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/gerasimov-3ed-mccme.pdf|ответственный=|издание=Издание третье, исправленное и дополненное|место=Санкт-Петербург|издательство=ЛЕМА|год=2011|страницы=124—126|страниц=284|isbn=}}</ref>.

== Популярные версии парадокса ==
Существует несколько вариантов парадокса Рассела. В отличие от самого парадокса, они, как правило, не могут быть выражены на [[Формальный язык|формальном языке]].

=== Парадокс лжеца ===
{{main|Парадокс лжеца}}
Парадокс Рассела связан с известным ещё с античных времён парадоксом лжеца, который заключается в следующем вопросе. Дано высказывание:{{начало цитаты}}
Данное высказывание — ложно.<br>
Истинно ли это высказывание или нет?{{конец цитаты}}
Легко показать, что это высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.

Рассел про этот парадокс писал<ref name=Russel/>:
{{начало цитаты}}
Это древняя загадка, к которой никто не относился более, чем как к шутке, пока не было обнаружено, что этот вопрос имеет отношение к таким важным и практическим задачам, как существование наибольшего [[Кардинальное число|кардинального]] или [[Ординальное число|ординального]] числа.
{{oq|en|
It is an ancient puzzle, and
nobody treated that sort of thing as anything but a joke until it
was found that it had to do with such important and practical
problems as whether there is a greatest cardinal or ordinal
number. }}
{{конец цитаты}}
Сам Рассел так объяснял парадокс лжеца. Чтобы говорить что-нибудь о высказываниях, надо сначала определить само понятие «высказывания», при этом не используя не определённых пока понятий. Таким образом, можно определить высказывания первого типа, которые ничего не говорят о высказываниях. Потом можно определить высказывания второго типа, которые говорят о высказываниях первого типа, и так далее. Высказывание же «данное высказывание — ложно» не попадает ни под одно из этих определений, и таким образом не имеет смысла<ref name=Russel/>.

=== Парадокс брадобрея ===
Рассел упоминает следующий вариант парадокса, сформулированный в виде загадки, которую ему кто-то подсказал<ref name=Russel>{{Книга|автор=[[Рассел, Бертран]]|заглавие=The Philosophy of Logical Atomism|ссылка=https://www.ualberta.ca/~francisp/NewPhil448/RussellPhilLogicalAtomismPears.pdf|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|pages=101—104|isbn=0-203-86477-8}}</ref>.{{начало цитаты}}
Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.<br>
Бреет ли брадобрей сам себя?{{конец цитаты}}
Любой ответ приводит к противоречию.
Рассел замечает, что этот парадокс не эквивалентен его парадоксу и легко решается<ref name=Russel/>. Действительно, точно так же, как парадокс Рассела показывает, что не существует расселовского множества, парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует. Разница состоит в том, что в несуществовании такого брадобрея ничего удивительного нет: не для любого свойства найдётся брадобрей, который бреет людей, обладающих этим свойством. Однако то, что не существует множества элементов, заданных некоторым вполне определённым свойством, противоречит наивному представлению о множествах и требует объяснения<ref name=Gerasimov/>{{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=17—18}}.

=== Вариант о каталогах ===
Наиболее близким по формулировке к парадоксу Рассела является следующий вариант его изложения<ref name=Gardner>{{Книга:Гарднер. А ну-ка, догадайся|22—23}}</ref>:{{начало цитаты}}
Библиографические каталоги — это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут описывать другие каталоги. Некоторые каталоги могут описывать даже сами себя.<br>
Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?{{конец цитаты}}
Парадокс возникает при попытке решить, должен ли этот каталог описывать сам себя. Несмотря на кажущуюся близость формулировок (это фактически парадокс Рассела, в котором вместо множеств используются каталоги), этот парадокс, так же, как и парадокс брадобрея, разрешается просто: такой каталог составить нельзя.

=== Парадокс Греллинга — Нельсона ===
{{main|Парадокс Греллинга — Нельсона}}
Этот парадокс был сформулирован немецкими математиками {{iw|Курт Греллинг|Куртом Греллингом|de|Kurt Grelling}} и [[Нельсон, Леонард|Леонардом Нельсоном]] в 1908 году. Он фактически является переводом первоначального варианта парадокса Рассела, изложенного им в терминах логики предикатов (см. письмо к Фреге [[#письмо к Фреге|ниже]]), на нематематический язык.{{начало цитаты}}
Будем называть прилагательное ''рефлексивным'', если это прилагательное обладает свойством, определяемым этим прилагательным. Например, прилагательные «русское», «многосложное» — обладают свойствами, которые они определяют (прилагательное «русское» является русским, а прилагательное «многосложное» является многосложным), поэтому они являются рефлексивными, а прилагательные «немецкое», «односложное» — являются ''нерефлексивными''.<br>
Будет ли прилагательное «нерефлексивное» рефлексивным или нет?{{конец цитаты}}
Любой ответ приводит к противоречию<ref name=Gardner/><ref>{{Книга|автор=И. В. Ященко|заглавие=Парадоксы теории множеств|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.20.pdf|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Издательство Московского центра непрерывного математического образования|год=2012|страницы=5|страниц=|серия=Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 20|isbn=5-94057-003-8}}</ref>. В отличие от парадокса брадобрея, решение этого парадокса не такое простое. Нельзя просто сказать, что такого прилагательного («нерефлексивный») не существует, так как мы его только что определили. Парадокс возникает из-за того, что определение термина «нерефлексивный» некорректно само по себе. Определение этого термина зависит от ''значения'' прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово «нерефлексивный» само является прилагательным в определении, возникает [[порочный круг]]<ref>{{Книга|автор=J. Bell|заглавие=The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development|ссылка=https://books.google.com/books?id=Od_sCAAAQBAJ|издательство=Springer Science & Business Media|год=2012-12-06|страницы=200|страниц=260|isbn=9789401142090}}</ref>.

== История ==
Рассел, вероятно, открыл свой парадокс в мае или июне 1901 года<ref name=Link>{{Книга|автор=Godehard Link|заглавие=One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy|ссылка=https://books.google.com/books?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350|издательство=Walter de Gruyter|год=2004|страницы=350|страниц=672|isbn=9783110174380}}</ref>.
Согласно самому Расселу, он пытался найти ошибку в доказательстве Кантора того парадоксального факта (известного как [[парадокс Кантора]]), что не существует максимального [[Кардинальное число|кардинального числа]] (или же [[множество всех множеств|множества всех множеств]]). В результате Рассел получил более простой парадокс<ref>{{Книга|автор=Bertrand Russel|заглавие=Introduction to Mathematical Philosophy|ссылка=http://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=1920|страницы=136|страниц=|isbn=}}</ref>.
Рассел сообщил свой парадокс другим логикам, в частности [[Альфред Норт Уайтхед|Уайтхеду]]<ref>{{Книга|автор=Bertrand Russell|заглавие=My Philosophical Development|ссылка=https://books.google.com/books?id=XjncL40ZIR0C|ответственный=|издание=|место=|издательство=Psychology Press|год=1995|страницы=58|страниц=228|isbn=9780415136013}}</ref> и [[Пеано, Джузеппе|Пеано]]<ref name=frege/>. В своём письме к [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]] 16 июня 1902 года он писал, что обнаружил противоречие в «{{iw|Исчисление понятий, или подражающий арифметике формальный язык чистого мышления|Исчислении понятий|de|Begriffsschrift}}» — книге Фреге, опубликованной в 1879 году. Он изложил свой парадокс в терминах логики, а потом в терминах теории множеств, используя определение Фреге для [[функция (математика)|функции]]<ref name=frege>{{Книга|автор=Michael Beaney|заглавие=The Frege Reader|ссылка=https://books.google.com/books?id=4ktC0UrG4V8C&pg=PA253&hl=en|издательство=Wiley|год=1997-07-07|страницы=253|страниц=430|isbn=9780631194453}}</ref>:
{{anchor|письмо к Фреге}}{{начало цитаты}}
Я испытал трудности только в одном месте. Вы утверждаете (стр. 17), что функция может сама выступать в качестве неизвестного. Раньше я тоже так считал. Но теперь такой взгляд мне кажется сомнительным из-за следующего противоречия. Пусть ''w'' предикат: «быть предикатом, который не приложим к самому себе». Может ли ''w'' быть приложим к самому себе? Из любого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что ''w'' — не предикат. Аналогично не существует класса (как целого) тех классов, которые, взятые как целое, не принадлежат себе. Отсюда я заключаю, что иногда определённое множество не формирует целостного образования.
{{oq|de|
Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet<ref>{{Cite web|url=https://www.hs-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/19Jh/Frege/fre_brif.html|title=Briefwechsel mit Bertrand Russell|publisher=Bibliotheca Augustana|accessdate=2016-06-28}}</ref>.}}
{{конец цитаты}}

Фреге получил письмо как раз в то время, когда завершил работу над вторым томом «Основных законов арифметики» ({{lang-de|Grundgesetze der Arithmetik}}). У Фреге не было времени исправить свою теорию множеств. Он лишь добавил приложение ко второму тому с изложением и своим анализом парадокса, которое начиналось с знаменитого замечания:
{{начало цитаты}}
Вряд ли с учёным может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена<ref>{{Книга|автор=Е. Синицын, О.Синицына|заглавие=Тайна творчества гениев|ссылка=http://www.s-genius.ru/vse_knigi/functin_compl_sc.htm|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=}}</ref>.
{{oq|de|
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte<ref>Gottlob Frege: ''Grundlagen der Arithmetik'', II, 1903, Anhang S. 253-261.</ref>.}}
{{конец цитаты}}
Далее Фреге предлагал следующий способ исправить свою теорию, чтобы избежать парадокса Рассела. Вместо аксиомы:
: <math>z \in \{x \colon P(x)\} \iff P(z)</math>,
которая говорила, что можно построить множество <math>\{x \colon P(x)\}</math> элементов, удовлетворяющих свойству <math>P(x),</math>
он предложил использовать следующую аксиому:
: <math>z \in \{x \colon P(x)\} \iff P(z)  \ \& \  (z \neq \{x \colon P(x)\}) </math>,
таким образом исключив возможность для множества быть элементом самого себя. Однако небольшая модификация парадокса Рассела доказывает, что и эта аксиома тоже приводит к противоречию: а именно, можно рассмотреть множество <math>R</math> всех [[Синглетон (математика)|синглетонов]] <math>\{y\}</math> таких, что <math>\{y\}\notin y</math>, тогда утверждение <math>\{R\} \in R</math> будет [[Антиномия (логика)|антиномией]]<ref>{{Книга|автор=John P. Burgess|заглавие=Fixing Frege|ссылка=https://books.google.com/books?id=qqdXsato74QC&pg=PA32|издательство=Princeton University Press|год=2005|страницы=32—33|страниц=276|isbn=0691122318}}</ref>.

Рассел опубликовал свой парадокс в своей книге «{{iw|Принципы математики|||The Principles of Mathematics}}» в 1903 году<ref name=Link/>.

[[Эрнст Цермело]] утверждал, что открыл этот парадокс, независимо от Рассела, и сообщил о нём до 1903 года [[Гильберт, Давид|Гильберту]] и другим<ref>{{Статья|автор=E. Zermelo|заглавие=Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung.|ссылка=https://eudml.org/doc/158340|язык=de|издание=Mathematische Annalen|год=1908|том=65|страницы=118—119|issn=0025-5831}}</ref>. Это подтвердил и Гильберт, написав Фреге 7 ноября 1903 года, что он знал об этом парадоксе. Гильберт писал: «я думаю Цермело нашёл его года 3—4 назад… Я нашёл другие ещё более убедительные противоречия ещё 4—5 лет назад». Кроме того, в 1978 году в бумагах [[Гуссерль, Эдмунд|Эдмунда Гуссерля]] была обнаружена формулировка этого парадокса, которую Цермело сообщил Гуссерлю 16 апреля 1902 года.
В этой формулировке доказывается, что множество ''M'', содержащее все свои подмножества в качестве элементов, приводит к противоречию. Для доказательства рассматривается подмножество ''M'', состоящее из множеств, которые не содержат себя сами<ref>{{Статья|автор=B. Rang and W. Thomas|заглавие=Zermelo's discovery of the "Russell Paradox"|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086081900021|язык=en|издание=Historia Mathematica|тип=|год=1981|месяц=|число=|том=8|номер=1|страницы=15—22|issn=|doi=10.1016/0315-0860(81)90002-1}}</ref>.

== Варианты решения ==
В парадоксе Рассела нет ошибки: он действительно доказывает противоречивость наивной теории множеств. Чтобы избавиться от противоречия, нужно исправить теорию множеств, так, чтобы она не допускала расселовское множество. Это можно сделать несколькими способами. Наиболее естественным путём является запрещение тем или иным способом множеств, которые могут содержать себя в качестве элемента. Таким образом будет запрещено и [[множество всех множеств]] (по крайней мере, совокупность всех множеств не будет сама являться множеством){{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=18}}. Однако необходимо иметь в виду, что, с одной стороны, просто одного запрещения множеству иметь себя в качестве элемента недостаточно, чтобы избавиться от противоречия (как показала первая попытка Фреге исправить свою систему). С другой стороны, само по себе разрешение множествам включать себя в качестве элемента не приводит к противоречиям. Например, ничто не мешает создать каталог, который будет включать в себя все каталоги, в том числе описывать самого себя. Многие языки программирования позволяют [[Контейнер (программирование)|контейнерам]] включать себя в качестве элемента<ref>{{Cite web|url=https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/util/Collection.html|title=Collection (Java Platform SE 8 )|author=|work=|date=|publisher=Оracle|accessdate=2016-09-23}}</ref>. Существуют логические системы, свободные от парадоксов типа расселовских, которые позволяют множествам содержать себя (например, {{Iw|New Foundations}} [[Куайн, Уиллард Ван Орман|У. В. О. Куайна]]){{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=180}}.

Ниже приведены несколько из возможных подходов к построению системы аксиом, свободной от расселовских парадоксов.

=== Теория типов Рассела ===
Первым, кто предложил теорию, свободную от парадокса Рассела, был сам Рассел. Он разработал теорию типов, первая версия которой появилась в книге Рассела «{{iw|Принципы математики|||The Principles of Mathematics}}» в 1903 году<ref>{{Статья|автор=Суровцев, Валерий Александрович|заглавие=О простой теории типов Б. Рассела (предисловие к публикации)|ссылка=http://cyberleninka.ru/article/n/o-prostoy-teorii-tipov-b-rassela-predislovie-k-publikatsii|издание=Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология|год=2008|выпуск=1 (2)|issn=1998-863X}}</ref>. В основе этой теории лежит следующая идея: простые объекты в этой теории имеют тип 0, множества простых объектов имеют тип 1, множества множеств простых объектов имеют тип 2 и так далее. Таким образом, ни одно множество не может иметь себя в качестве элемента. Ни [[множество всех множеств]], ни расселовское множество не могут быть определены в этой теории.
Аналогичная иерархия вводится для высказываний и свойств. Высказывания о простых объектах принадлежат типу 1, высказывания о свойствах высказываний типа 1 принадлежат типу 2 и так далее. В общем, функция по определению принадлежит типу более высокому, чем переменные, от которых она зависит. Такой подход позволяет избавиться не только от парадокса Рассела, но и многих других парадоксов, включая парадокс лжеца ([[#Парадокс лжеца|см. выше]]), парадокс Греллинга — Нельсона, [[парадокс Бурали-Форти]].
Рассел и Уайтхед показали, как свести к аксиомам теории типов всю математику, в своём трёхтомном труде «[[Principia Mathematica]]», выпущенном в 1910—1913 годах<ref name=Клайн>[http://scisne.net/a-1357?pg=14 X. Логицизм против интуиционизма] // {{Source|Q6786880}}</ref>.

Однако такой подход встретил трудности. В частности, возникают проблемы при определении таких понятий, как [[точная верхняя грань]] для множеств вещественных чисел. По определению точная верхняя грань есть наименьшая из всех верхних граней. Следовательно, при определении точной верхней грани используется множество вещественных чисел. Значит, точная верхняя грань является объектом более высокого типа, чем вещественные числа. А значит, сама не является вещественным числом.
Чтобы избежать этого, пришлось вводить так называемую {{iw|аксиома сводимости|аксиому сводимости||Axiom of reducibility}}. Из-за её произвольности аксиому сводимости отказывались принимать многие математики, да и сам Рассел называл её дефектом своей теории. Кроме того, теория оказалась очень сложной. В итоге она не получила широкого применения<ref name=Клайн/>.

=== Теория множеств Цермело — Френкеля ===
{{main|Теория множеств Цермело — Френкеля}}
Самым известным подходом к аксиоматизации математики является теория множеств Цермело — Френкеля (ZF), которая возникла как расширение {{iw|Теория множеств Цермело|теории Цермело|en|Zermelo set theory}} (1908).
В отличие от Рассела, Цермело сохранил логические принципы, а изменил только аксиомы теории множеств{{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=175}}.
Идея этого подхода заключается в том, что допускается использовать только множества, построенные из уже построенных множеств при помощи определённого набора аксиом<ref name=Gerasimov/>.
Так, например, одна из аксиом Цермело говорит, что можно построить [[булеан|множество всех подмножеств]] данного множества ([[аксиома булеана]]).
Другая аксиома ({{iw|схема выделения|||Axiom schema of specification}}) говорит, что из каждого множества можно выделить подмножество элементов, обладающих данным свойством.
В этом состоит главное отличие теории множеств Цермело от наивной теории множеств: в наивной теории множеств можно рассмотреть множество всех элементов, обладающих данным свойством,
а в теории множеств Цермело — только выделить подмножество из уже построенного множества.
В теории множеств Цермело нельзя построить [[множество всех множеств]]. Таким образом и расселовское множество там построить нельзя{{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=18}}.

=== Классы ===
Иногда в математике бывает полезно рассматривать все множества как единое целое, например, чтобы рассматривать совокупность всех [[Группа (математика)|групп]]. Для этого теория множеств может быть расширена понятием [[Класс (математика)|класса]], как, например, в системе [[Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя|Неймана — Бернайса — Гёделя]] (NBG). В этой теории совокупность всех множеств является ''классом''. Однако, этот класс не является множеством и не является элементом никакого класса, что позволяет избежать парадокса Рассела{{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=139}}.

Более сильной системой, позволяющей брать [[квантор]]ы по классам, а не только по множествам, является, например, {{iw|теория множеств Морса — Келли|||Morse–Kelley set theory}} (MK)<ref>{{Книга|автор=Monk, J.D.|заглавие=Introduction to Set Theory|издательство=McGraw-Hill|год=1969|страниц=193}}</ref>.
В этой теории основным понятием является понятие ''класса'', а не ''множества''. Множествами в этой теории считаются такие классы, которые сами являются элементами каких-то классов<ref>{{Книга|автор=Abhijit Dasgupta|заглавие=Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets|ссылка=https://books.google.com/books?id=u06-BAAAQBAJ&pg=PA396|издательство=Springer Science & Business Media|год=2013-12-11|страницы=396|страниц=434|isbn=9781461488545}}</ref>.
В этой теории формула <math>z\in \{x \colon  P(x)\}</math> считается эквивалентной формуле
: <math>P(z) \ \& \ \exists y. z\in y</math>.
Так как <math>\exists y. z\in y</math> в этой теории значит, что класс <math>z</math> является ''множеством'', эту формулу надо понимать как то, что <math>\{x \colon  P(x)\}</math> является классом всех ''множеств'' (а не классов) <math>z</math>, таких что <math>P(z)</math>.
Парадокс Рассела в этой теории разрешается тем, что не любой класс является множеством<ref>{{Книга|автор=Келли, Дж.Л.|заглавие=Общая топология|издательство=Наука|год=1968|страниц=383|ссылка=http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Algebroicheskie_mnogobraziy_topologia/Kelli1968ru.pdf|страницы=327-328,333}}</ref>.

Можно пойти дальше и рассматривать совокупности классов — {{iw|Конгломерат (теория множеств)|конгломераты||Conglomerate (set theory)}}, совокупности конгломератов и так далее<ref name="joyofcats1">{{cite book|author=Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker|year=1990|title=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats|publisher=Dover Publications|pages=15-16|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|isbn=978-0-486-46934-8}}</ref>.

== Влияние на математику ==

=== Аксиоматизация математики ===
Парадокс Рассела, вместе с другими математическими антиномиями<ref name=autogenerated1 />, открытыми в начале XX века, стимулировал пересмотр оснований математики, результатом которого явилось построение аксиоматических теорий для обоснования математики, некоторые из которых упомянуты выше.

Во всех построенных новых аксиоматических теориях парадоксы, известные к середине XX века (в том числе парадокс Рассела), были устранены<ref>''M. Foreman, A. Kanamori.'' Handbook of Set Theory.</ref>. Однако доказать, что новые подобные парадоксы не могут быть обнаружены в будущем (в этом состоит проблема непротиворечивости построенных аксиоматических теорий), оказалось, в современном понимании этой задачи, невозможно<ref>''П. С. Новиков'' Аксиоматический метод. Математическая энциклопедия.</ref><ref>''D.C. Goldrei.'' Classic Set Theory: A Guided Independent Study</ref> (см. [[Теоремы Гёделя о неполноте]]).

=== Интуиционизм ===
Параллельно возникло новое течение в математике, называемое [[интуиционизм]]ом, основателем которого является [[Брауэр, Лейтзен Эгберт Ян|Л. Э. Я. Брауэр]]. Интуиционизм возник независимо от парадокса Рассела и других антиномий. Однако открытие антиномий в теории множеств усилило недоверие интуиционистов к логическим принципам и ускорило формирование интуиционизма<ref name=Клайн/>. Основной тезис интуиционизма говорит, что для доказательства существования некоторого объекта необходимо предъявить способ его построения{{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=250}}. Интуиционисты отвергают такие абстрактные понятия, как множество всех множеств. Интуиционизм отрицает [[закон исключенного третьего]], впрочем, необходимо отметить, что закон исключенного третьего не нужен для вывода противоречия из антиномии Рассела или любой другой (в любой [[Антиномия#Антиномии в логике|антиномии]] доказывается, что <math>A</math> влечёт отрицание <math>A</math> и отрицание <math>A</math> влечёт <math>A,</math> однако из <math>(A\Rightarrow \neg A) \& (\neg A\Rightarrow A)</math> даже в [[Интуиционистская логика|интуиционисткой логике]] следует противоречие){{sfn|Френкель, Бар-Хиллел|1966|с=17}}. Стоит также отметить, что в более поздних аксиоматизациях интуиционисткой математики были обнаружены парадоксы, аналогичные расселовскому, как, например, {{iw|парадокс Жирара|||Girard's paradox}} в первоначальной формулировке {{iw|интуиционистская теория типов|интуиционистской теории типов||Intuitionistic type theory}} [[Мартин-Лёф, Пер|Мартина-Лёфа]]<ref name=Girard/>.

[[Файл:Diagonal argument 01 svg.svg|thumb|<small>'''Диагональный аргумент Кантора''': Каждое множество записывается как последовательность 0 и 1, где 1 на месте <math>x</math> значит, что <math>x</math> является элементом множества. Красным выделена последовательность на диагонали. Последовательность <math>s</math> является дополнением этой последовательности: <math>s(x)=1-s_x(x)</math>. Тогда <math>s</math> отличается от всех <math>s_x</math> хотя бы в одном месте (а именно — в месте <math>x</math>).</small>]]

=== Диагональный аргумент (самоприменимость) ===
{{main|Диагональный аргумент}}
Несмотря на то что рассуждения Рассела приводят к парадоксу, основная идея этого рассуждения часто используется в доказательстве математических теорем.
Как было уже сказано выше, Рассел получил свой парадокс, анализируя [[Парадокс Кантора|доказательство Кантора]] о несуществовании наибольшего [[Кардинальное число|кардинального числа]]. Этот факт противоречит существованию множества всех множеств, так как его [[Мощность множества|мощность]] должна быть максимальной. Тем не менее, по [[Теорема Кантора|теореме Кантора]], множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе:
 
: Пусть есть [[взаимнооднозначное соответствие]], которое каждому элементу <math>x</math> множества <math>X</math> ставит в соответствие подмножество <math>s_x</math> множества <math>X.</math> Пусть <math>d</math> будет множеством, состоящим из элементов <math>x</math> таких, что <math>x\in s_x</math> (''диагональное множество''). Тогда дополнение этого множества <math>s=\overline d</math> не может быть ни одним из <math>s_x.</math> А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.

Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое)<ref>{{Citation |surname=Gray|given=Robert|year=1994 |url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf |title=Georg Cantor and Transcendental Numbers|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=101|pages=819–832 |doi=10.2307/2975129}}</ref>.

[[Парадокс Кантора]] получается, если применить этот аргумент к множеству всех множеств.
Фактически расселовское множество есть диагональное множество Кантора <math>s</math><ref>{{Книга|автор=N. Griffin|часть=The Prehistory of Russell's Paradox|заглавие=One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy|ссылка=https://books.google.com/books?id=nMfAdizANuYC&pg=PA362-363|ответственный=edited by Godehard Link|издательство=Walter de Gruyter|год=2004|страницы=522|страниц=673|isbn=9783110199680}}</ref>.
Диагональный аргумент использовался до Рассела и Кантора (он употреблялся ещё в работе<ref>{{Citation |surname=Du Bois-Reymond|given=Paul|year=1875 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002243067|title=Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösungen von Gleichungen|journal=Mathematische Annalen|volume=8|pages=363–414|doi=10.1007/bf01443187}}</ref> [[Дюбуа-Реймон, Поль Давид Густав|Дюбуа-Реймона]] по [[Математический анализ|математическому анализу]] в 1875 году)<ref>{{Книга|автор=D. C. McCarty|часть=Hilbert and Paul Du Bois-Reymond|заглавие=One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy|ссылка=https://books.google.com/books?id=nMfAdizANuYC&pg=PA522|ответственный=edited by Godehard Link|издательство=Walter de Gruyter|год=2004|страницы=522|страниц=673|isbn=9783110199680}}</ref>.
Однако в парадоксе Рассела диагональный аргумент наиболее чётко выкристаллизован.

Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в [[Теорема Гёделя о неполноте|теореме Гёделя о неполноте]], в доказательстве существования неразрешимого [[Перечислимое множество|перечислимого множества]] и, в частности, в доказательстве [[Неразрешимость|неразрешимости]] [[Проблема остановки|проблемы остановки]]<ref>{{Книга|автор=John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty|часть=Diagonal argument|заглавие=Logic from A to Z: The Routledge Encyclopedia of Philosophy Glossary of Logical and Mathematical Terms|ссылка=https://books.google.com/books?id=1ci3AAAAQBAJ&pg=PA36|издательство=Routledge|год=2013-09-05|страниц=126|isbn=9781134970971}}</ref>.

== Связанные парадоксы ==
Самоприменимость используется во многих парадоксах, кроме рассмотренных выше:
* [[Парадокс всемогущества]] — средневековый вопрос: «Может ли всемогущий бог создать камень, который он сам не сможет поднять?»
* [[Парадокс Бурали-Форти]] (1897) — аналог [[парадокс Кантора|парадокса Кантора]] для [[Ординальное число|ординальных чисел]].
* [[Парадокс Мириманова]] (1917) — обобщение парадокса Бурали-Форти для класса всех [[Фундированное множество|фундированных]] [[класс (математика)|классов]].
* [[Парадокс Ришара]] (1905) — семантический парадокс, показывающий важность разделения языка математики и метаматематики.
* [[Парадокс Берри]] (1906) — опубликованный Расселом упрощённый вариант парадокса Ришара.
* {{iw|Парадокс Клини — Россера|||Kleene–Rosser paradox}} (1935) — формулировка парадокса Ришара в терминах [[λ-исчисление|λ-исчисления]].
* [[Парадокс Карри]] (1941) — упрощение парадокса Клини — Россера.
* {{iw|Парадокс Жирара|||Girard's paradox}} (1972) — формулировка парадокса Бурали-Форти в терминах {{iw|интуиционистская теория типов|интуиционистской теории типов||Intuitionistic type theory}}<ref name=Girard>{{Книга|автор=Antonius J. C. Hurkens|часть=A simplification of Girard's paradox|ссылка часть=https://www.cs.cmu.edu/~kw/scans/hurkens95tlca.pdf|язык=en| заглавие =Typed Lambda Calculi and Applications| серия ={{iw|Lecture Notes in Computer Science||en}}|год=1995-04-10|pages=266—278|volume=902|doi=10.1007/BFb0014058}}</ref>.
* [[Парадокс интересных чисел]] — полушутливый парадокс, напоминающий парадокс Берри.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* ''[[Курант, Рихард|Курант Р.]], Роббинс Г.'' [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] — гл. II, § 4.5
* {{Книга|автор=А. А. Френкель, И. Бар-Хиллел|заглавие=Основания теории множеств|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Мир|год=1966|ref=Френкель, Бар-Хиллел|ссылка=http://ikfia.ysn.ru/images/doc/math_logika/FrenkelBar-Hillel1966ru.pdf}} {{Wayback|url=http://ikfia.ysn.ru/images/doc/math_logika/FrenkelBar-Hillel1966ru.pdf |date=20160918142655 }}
* ''D.C. Goldrei.'' Classic Set Theory: A Guided Independent Study — Chapman & Hall Mathematics, 1996.
* ''M. Foreman, A. Kanamori.'' Handbook of Set Theory — Springer, 2010.

{{Избранная статья}}

[[Категория:Теоремы теории множеств|Рассела]]
[[Категория:Парадоксы теории множеств|Рассела]]
[[Категория:Бертран Рассел]]