Просмотр кода страницы Отображение Шварца — Кристоффеля

'''Теорема Шварца — Кристоффеля''' — важная теорема в [[Теория функций комплексного переменного|теории функций комплексного переменного]], носит название немецких математиков [[Шварц, Карл Герман Амандус|Карла Шварца]] и [[Кристоффель, Элвин Бруно|Элвина Кристоффеля]].

Очень важной с практической точки зрения является проблема о [[Конформное отображение|конформном отображении]] некой канонической области (единичного круга <math>\Delta</math> или верхней полуплоскости <math>{\mathbb H}^+</math>) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.


== Теорема ==
Предположим, что <math>P\subset\mathbb C</math> — некоторый <math>n</math>-угольник, а функция <math>f</math> осуществляет конформное отображение <math>{\mathbb H}^+</math> на <math>P</math>. Тогда <math>f</math> можно представить в виде

: <math>f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^n(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2</math>,

где <math>a_1,\dots,a_n</math> — прообразы вершин <math>P</math> на вещественной оси, <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на <math>\pi</math> (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а <math>C_1</math> и <math>C_2</math> — так называемые '''акцессорные параметры'''. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют '''''интегралом Шварца — Кристоффеля I рода'''''.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если <math>n</math>-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид
: <math>f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2</math>,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет '''''интегралом Шварца — Кристоффеля II рода'''''.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки <math>a_1,\dots,a_n</math>, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

<gallery>
Интеграл.jpg|Интеграл Шварца-Кристоффеля
Интеграл Шварца-Кристоффеля 1.jpg|Интеграл Шварца-Кристоффеля
Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля.jpg|Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля
Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля.jpg|Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля
</gallery>

{{Нет ссылок|дата=14 мая 2011}}
{{math-stub}}

[[Категория:Комплексный анализ]]