Просмотр кода страницы Основная теорема арифметики

'''Основная теорема [[Арифметика|арифметики]]''' утверждает{{Sfn|Дэвенпорт|1965}}{{sfn|Жиков|2000|с=112}}:
{{рамка}}
Каждое [[натуральное число]] <math>n>1</math> можно представить в виде <math>n=p_1\cdot\ldots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\ldots,p_k</math> — [[простое число|простые числа]], причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей. 
{{конец рамки}}
Если формально условиться, что произведение [[пустое множество|пустого множества]] чисел равно 1, то условие <math>n>1</math> в формулировке можно опустить, тогда для единицы подразумевается разложение на пустое множество простых: <math>1=1</math>{{sfn|Калужнин|1969|с=6-7}}{{sfn|Weisstein|2010|pp=1126}}.

Как следствие, каждое натуральное число <math>n</math> единственным образом представимо в виде
: <math>n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{d_k},</math> где <math>p_1 < p_2 < \ldots < p_k</math> — простые числа, и <math>d_1,\ldots,d_k</math> — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа <math>n</math> называется его '''каноническим разложением''' на [[Простой множитель|простые сомножители]].

== Доказательство ==
=== По методу индукции ===

'''Существование''': Докажем существование разложения числа <math>n</math> на простые множители, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <math>n</math>. Если <math>n</math> — простое, то существование доказано. Если <math>n</math> — составное, то оно может быть представлено в виде произведения двух чисел <math>a</math> и <math>b</math>, каждое из которых больше 1, но меньше <math>n</math>. Числа <math>a</math> и <math>b</math> либо являются простыми, либо могут быть разложены в произведение простых (уже доказано ранее). Подставив их разложение в <math> n = a\cdot b</math>, получим разложение исходного числа <math>n</math> на простые. Существование доказано{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=15-16}}.

'''Единственность''' 

Для простого числа единственность очевидна. 

Для составного числа идея для доказательства заключается в использовании метода [[Доказательство от противного|«от противного»]], где предполагается, что число имеет два различных разложения. Рассматриваются простые числа <math>p_0</math> и <math>q_0</math>, являющееся наименьшими в первом и втором разложениях соответственно, а также доказывается следующая лемма: {{начало цитаты}} Если разложение числа <math>m</math> на простые множители единственно, то каждый простой делитель <math>m</math> должен входить в это разложение.{{конец цитаты}} Далее рассматривается число <math>n - p_0 \cdot q_0</math>, которое в свою очередь является натуральным и меньшим <math>n</math>. Из предположения индукции и вышеуказанной леммы следует, что <math>p_0\cdot q_0</math> является делителем данного числа, после чего аналогично делается вывод, что первое разложение на множители делится на <math>q_0</math>. Никакое простое число не может встретиться в обоих разложениях сразу, так как иначе на него можно было бы сократить и получить различные разложения на простые множители числа, меньшего <math>n</math>, тем самым достигается противоречие предположению индукции, следовательно, доказывается единственность разложения числа <math>n</math> на простые множители{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=17-18}}.

=== С использованием алгоритма Евклида ===
Можно доказать основную теорему арифметики с помощью следствия из [[Алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]]{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=26-27}}:
{{начало цитаты}}Наибольший общий делитель <math> n\cdot a</math> и <math>n\cdot b </math> есть наибольший общий делитель <math>a</math> и <math>b</math>, умноженный на  <math>n</math>.{{конец цитаты}}

Из данного следствия можно доказать [[лемма Евклида|лемму Евклида]], также необходимую  для доказательства теоремы:
{{начало цитаты}}Если <math>p</math> — простое число и произведение двух чисел делится на <math>p</math>, то хотя бы один из двух множителей делится на <math>p</math>.{{конец цитаты}}

'''Существование:''' Идея для доказательства существования заключается в доказательстве леммы: {{начало цитаты}}Рассмотрим простое число <math>p</math> и произведение <math> n \cdot a </math>. Пусть <math> n\cdot a</math> делится на <math>p</math>, но <math>a</math> не делится на <math>p</math>, тогда <math>n</math> делится на <math>p</math>.{{конец цитаты}}
Далее с использованием вышеуказанной леммы ведется последовательное разложение числа на простые множители, предполагая, что все простые делители данного числа известны.

'''Единственность:''' Пусть число ''n'' имеет два разных разложения на простые числа:

: <math> n = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \ldots = p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots </math>

Так как <math> p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots </math> делится на <math>p_1</math>, то либо <math>p'_1</math>, либо <math> p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots</math> делится на <math>p_1</math>. Если <math> p'_1</math> делится на <math>p_1</math>, то <math> p'_1 = p_1</math>, так как оба эти числа являются простыми. Если же <math> p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots</math> делится на <math>p_1</math>, то продолжим предыдущие рассуждения. В конце концов, придем к результату, что какое-либо из чисел <math> p'_1, p'_2, p'_3, \ldots</math> равно числу <math> p_1</math>. Следовательно, в конце придем к выводу, что оба разложения числа совпадают. Таким образом доказана единственность разложения.

== История ==
Предпосылки основной теоремы арифметики берут свои истоки в [[Древняя Греция|Древней Греции]]. Несмотря на то, что в [[древнегреческая математика|древнегреческой математике]] основная теорема арифметики в современной формулировке не встречается, в «[[Начала Евклида|Началах]]» ({{lang-grc|Στοιχεῖα}}) [[Евклид]]а есть эквивалентные ей предложения. Следуя за Евклидом, многие математики на протяжении веков вносили свой вклад к доказательству основной теоремы арифметики, приводя в своих трудах близкие по смыслу утверждения, среди этих ученых {{iw|Камаль аль-Дин аль-Фариси||en|Kamāl al-Dīn al-Fārisī}}, {{iw|Престет, Жан|Ж. Престет|en|Jean Prestet}}, [[Эйлер, Леонард|Л. Эйлер]], [[Лежандр, Адриен Мари|А. Лежандр]]{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=207}}. Первая точная формулировка основной теоремы арифметики и ее доказательство приводятся [[Гаусс, Карл Фридрих|К. Гауссом]] в книге «[[Арифметические исследования]]» ({{lang-lat|Disquisitiones Arithmeticae}}), изданной в [[1801 год в науке|1801 году]]{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=17}}. С этих пор появилось множество различных новых доказательств теоремы, конкурирующих между собой по красоте и оригинальности{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=207}}.

=== Евклид (III век до н. э.) ===
Евклид заложил в «Началах» важные основы для теории чисел и, в частности, основной теоремы арифметики. Три предложения, очень близкие по смыслу к основной теореме арифметики, можно найти в книгах VII и IX, а именно: предложение 30 из книги VII, наиболее известное как [[лемма Евклида]], предложение 31 из книги VII и предложение 14 из книги IX. Ниже они приведены в переводе [[Мордухай-Болтовской, Дмитрий Дмитриевич|Мордухай-Болтовского]].

VII.30: {{начало цитаты}}Если два числа, умножая друг друга, производят что-то, возникающее же из них измеряется каким-то первым числом, то (последнее) измерит и одно из первоначальных{{sfn|Начала Евклида.Книги VII - X|1949|с=33}}
{{конец цитаты}}
VII.31: {{начало цитаты}}Всякое составное число измеряется каким-то первым числом{{sfn|Начала Евклида.Книги VII - X|1949|с=34}}
{{конец цитаты}}
IX.14: {{начало цитаты}}Если число будет наименьшим измеряемым (данными) первыми числами, то оно не измерится никаким иным простым числом, кроме первоначально измерявших (его){{sfn|Начала Евклида.Книги VII - X|1949|с=83}}
{{конец цитаты}}

В настоящее время из предложений VII.30 и VII.31 выводят доказательство основной теоремы арифметики, однако Евклид его в своих трудах не изложил. Предложение IX.14 в свою очередь имеет много схожего с единственностью разложения на простые множители, однако было замечено, что это утверждение охватывает не все возможные случаи, например, наличие хотя бы одного квадрата простого числа в разложении на простые множители{{sfn|Hendy|1975}}{{sfn|Mullin|1965}}.

=== Аль-Фариси (XIV век) ===
Известный персидский математик и физик {{нп5|Камаль аль-Дин аль-Фариси|||Kamāl al-Dīn al-Fārisī}} сделал значительный шаг вперед в изучении основной теоремы арифметики. В его труде «Меморандум для друзей о доказательстве [[Дружественные числа|дружественности]]» ({{lang-en|Memorandum for friends on the proof of amicability}}) доказано существование разложения на простые множители и предоставлена необходимая информация для доказательства единственности данного разложения. В связи с тем, что наибольший интерес для аль-Фариси представляло построение собственного доказательства для теоремы [[Сабит ибн Курра|Сабита ибн Курры]] по поиску [[Дружественные числа|дружественных чисел]], аль-Фариси не стремился доказать основную теорему арифметики, а занимался поиском всех делителей составного числа{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=209}}. Скрупулезно исследуя разложение чисел на множители, он сформулировал и доказал утверждение, являющееся ничем иным, как доказательством существования разложения натурального числа на простые множители.

В переводе его утверждение звучит приблизительно так: {{начало цитаты}}Каждое составное число может быть разложено на конечное число простых множителей, произведением которых оно является.{{конец цитаты}}

В утверждении 9 аль-Фариси сформулировал принцип для определения всех делителей составного числа, именно он и был необходим математику для доказательства теоремы Ибн Курры, в переводе предложение звучит так:
{{начало цитаты}}Если составное число <math>a</math> разложено на простые множители как <math>a = b\cdot c\cdot d\cdot h\cdot \ldots \cdot k\cdot l</math>, тогда <math>a</math> не имеет делителя кроме <math>1</math> и <math>b,c,d, ... , k,l</math> и произведений каждого из них с каждым, произведений троек и т. д. вплоть до произведения всех элементов без какого-либо одного.{{конец цитаты}}

Из самой формулировки утверждения можно уже сделать вывод, что аль-Фариси знал о единственности разложения на простые множители. Кроме того, все утверждения и факты, приведенные ученым для доказательства данного утверждения, являются необходимым набором для доказательства единственности в основной теореме арифметики.

=== Жан Престет (XVII век) ===
Результаты, опубликованные {{нп5|Престет, Жан|Жаном Престетом||Jean Prestet}} в книге «Новые элементы математики» ({{lang-fr|Elements de Mathématiques, 1675}}) подтверждают, что разложение на простые множители рассматривалось в те времена не как нечто само по себе интересное, а как полезное приложение — средство для нахождения делителей заданного числа. Престет не сформулировал ни существования, ни единственности основной теоремы арифметики и уделял наибольшее внимание поиску делителей числа{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=211}}. Несмотря на это, подобно аль-Фариси, Престет предоставил всю необходимую информацию для доказательства единственности разложения на простые множители при помощи своего Следствия IX, которое само по себе можно считать эквивалентным единственности разложения на простые множители.

Следствие IX: {{начало цитаты}}Если числа <math>a</math> и <math>b</math> простые, каждый делитель <math>a\cdot a\cdot b</math> — это либо <math>a</math>, либо <math>a^2</math>, либо <math>1</math>, либо одно из произведений этих трех чисел на <math>b</math>. То есть один из шести: <math>1,a, a\cdot a, 1\cdot b, a\cdot b, a\cdot a\cdot b</math>.{{конец цитаты}}

=== Эйлер и Лежандр (XVIII век) ===
В книге «Полное руководство по алгебре» ({{lang-de|Vollstandige Einleitung zur Algebra}}) Леонард Эйлер опубликовал результаты, схожие с трудами своих предшественников. Он сформулировал существование разложения числа на простые множители и предоставил частичное доказательство этого, опуская некоторые подробности, в пункте 41 главы IV из первой части первого раздела книги.

В переводе его предложение звучит следующим образом:
{{начало цитаты}}Все составные числа, которые могут быть разложены на множители, представлены произведением простых чисел; то есть все их множители — простые числа. Ибо, если найти множитель, который не является простым числом, он всегда может быть разложен и представлен двумя или более простыми числами.{{конец цитаты}}
Эйлер не формулировал теоремы об единственности разложения, но предложил схожее утверждение без доказательства в пункте 65 главы IV из первого раздела первой части. Там Эйлер неявно объясняет, что разложение числа на простые множители единственно, говоря, что все делители числа можно найти, зная простые множители из разложения данного числа{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=212}}. Таким образом, этот пункт может считаться эквивалентным единственности разложения на простые множители.

В переводе данное утверждение звучит так:
{{начало цитаты}}Когда мы разложили число на простые множители, становится очень легко найти все его делители. Ибо мы, во-первых, должны перемножать простые множители друг на друга, а затем умножать их попарно, три на три, четыре на четыре и т. д., пока мы не придем к самому числу.{{конец цитаты}}

«Введение в теорию чисел» ({{lang-fr|Essai sur la Théorie des Nombres}}) Лежандра содержит доказательство существования разложения на простые множители и своеобразное предположение о единственности данного разложения при помощи перечисления всех простых делителей заданного числа.

Утверждение Лежандра о существовании разложения звучит так:
{{начало цитаты}}Любое составное число <math>N</math> может быть представлено как произведение некоторых простых чисел <math>a,b,...c</math>, каждое из которых возведено в определенную степень, таким образом, всегда существует разложение <math>N = a^k\cdot b^l\cdot \ldots\cdot c^m</math>.{{конец цитаты}}

Утверждение, связанное с уникальностью разложения на простые множители, приведено в параграфе 10 «Введения в теорию чисел», где Лежандр намеревался найти число всех делителей числа и в то же время их сумму. Из этого утверждения легко доказывается единственность.

=== Карл Гаусс (XIX век) ===
Первая точная формулировка теоремы и её доказательство приводятся в книге Гаусса «[[Арифметические исследования (Гаусс)|Арифметические исследования]]» (1801). Формулировку теоремы можно найти в параграфе 16, в переводе она звучит так:
{{начало цитаты}}Составное число может быть разложено на простые множители единственным образом.{{конец цитаты}}

== Применение ==

* Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] и [[Наименьшее общее кратное|наименьшего общего кратного]].
Обозначим за <math>{p_i}</math> все различные простые числа из разложений чисел <math> a</math> и <math>b</math> на простые множители,  a степени, с которыми они встречаются в этих разложенииях, как <math>{d_i}</math> и <math>{d'_i}</math> соответственно. Стоит заметить, что <math>{d_i},{d'_i}</math> могут принимать только натуральные или нулевые значения.

Тогда:
: '''Н. О. Д.'''<math>(a,b) = p_1^{\min\{\,d_1,d_1'\,\}}\cdot p_2^{\min\{\,d_2,d_2'\,\}}\cdot p_3^{\min\{\,d_3,d_3'\,\}}\cdot p_4^{\min\{\,d_4,d_4'\,\}}\cdot\ldots = \prod p_i^{\min\{\,d_i,d_i'\,\}},</math>
: '''Н. О. К.'''<math>(a,b) = p_1^{\max\{\,d_1,d_1'\,\}}\cdot p_2^{\max\{\,d_2,d_2'\,\}}\cdot p_3^{\max\{\,d_3,d_3'\,\}}\cdot p_4^{\max\{\,d_4,d_4'\,\}}\cdot\ldots = \prod p_i^{\max\{\,d_i,d_i'\,\}}</math>

* Зная разложение натурального числа на множители, можно сразу указать все его [[Делитель|делители]].

Используем каноническое разложение числа, указанное в начале статьи. Натуральные числа <math>d_1,\cdots,d_k</math> — это не что иное, как количество соответствующих простых чисел <math>p_1,...,p_k</math>, встречающихся в разложении исходного числа. Таким образом, для поиска всех делителей достаточно записать произведения со всевозможными комбинациями простых чисел, варьируя количество каждого <math>p_i</math> в произведении от <math>0</math> до <math>d_i</math>

Пример: <math> N = 1164 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 97 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 97^1</math>

Так как число 2 встречается в разложении 2 раза, <math>d_1</math> может принимать целые значения от 0 до 2. Аналогично <math>d_2</math> и <math>d_3</math> принимают значения от 0 до 1.
Таким образом, множество всех делителей состоит из чисел <math> 1,  2,  3,  97,  2\cdot2,  2\cdot3,  2\cdot97,  3\cdot97,  2\cdot2\cdot3,  2\cdot2\cdot97,  2\cdot3\cdot97, 2\cdot2\cdot3\cdot97</math>.

Для подсчета общего количество делителей нужно перемножить количество всевозможных значений у разных <math>d_k</math>.

В нашем случае общее количество делителей равно <math>2\cdot2\cdot3 = 12 </math>

* Подсчет многих [[арифметическая функция|арифметических функций]] ведется на основе канонического разложения на простые множители.
Например, для [[функция Эйлера|функции Эйлера]] от натурального числа справедлива формула:
<math>\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right),\;\;n>1,</math>
где <math>p</math> — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении <math>n</math> на простые сомножители.

* Вычисление произведения двух чисел можно провести таким образом:
: <math>a\cdot b = p_1^{d_1+d_1'}\,p_2^{d_2+d_2'}\,p_3^{d_3+d_3'}\,p_4^{d_4+d_4'}\ldots = \prod p_i^{d_i+d_i'}.</math>
Пример: <math>68\cdot 36 = (2\cdot2\cdot17)\cdot(2\cdot2\cdot3\cdot3) = 2^4\cdot 3^2\cdot17</math>

== Основная теорема арифметики в кольцах ==

Рассмотрим основную теорему арифметики в более общем случае: в [[Кольцо (математика)|кольцах]] с [[Нормирование (алгебра)|нормой]] и в [[Евклидово кольцо|евклидовых кольцах]].

=== Основная теорема арифметики в кольце целых гауссовых чисел ===

Основная теорема арифметики имеет место в кольце [[Гауссовы целые числа|гауссовых целых чисел]].
Идея доказательства состоит в нахождении алгоритма деления с остатком в данном кольце чисел{{sfn|Жиков|2000|c=116}}.
Кольцо, в котором имеется алгоритм деления с остатком, называется [[евклидово кольцо|евклидовым]]. Для любого евклидова кольца доказательство основной теоремы арифметики можно провести точно так же, как для натуральных чисел.

=== Неединственность разложения в кольце ===
Однако действие данной теоремы не распространяется на все кольца{{sfn|Жиков|2000|c=116}}.

Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида <math> a = m + i n \sqrt{5} </math>, где <math> m</math>,<math>n</math> — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида.
Тогда получим кольцо с нормой <math> N(a) = m^2 + 5 n^2 = |a|^2 </math>.

Для числа 6 в этом кольце существуют два различных разложения: <math> 6 = 2\cdot3 = (1 - i \sqrt{5}) (1 + i \sqrt{5}) </math>. Остаётся доказать, что числа <math>2, 3, 1\pm i \sqrt{5} </math> являются простыми. Докажем, что число 2 — простое.
Пусть <math> 2 = (m_1 + i n_1 \sqrt{5}) (m_2 + i n_2 \sqrt{5}) </math>.
Тогда <math> 4 = (m_1^2 + 5 n_1^2) (m_2^2 + 5n_2 ^2) </math>.
Следовательно, <math> m_1^2 + 5 n_1^2 = m_2^2 + 5 n_2^2 = 2 </math>.
 
Но в нашем кольце нет чисел с нормой 2, следовательно, такое разложение невозможно, поэтому число 2 — простое. Аналогично рассматриваются числа <math> 3, 1\pm i \sqrt{5} </math>.

Кольца, в которых основная теорема арифметики всё же выполняется, называются [[факториальное кольцо|факториальными]].

== См. также ==
* [[Основная теорема алгебры]]
* [[Основная теорема анализа]]

== Примечания ==
{{Примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Виноградов И. М. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/vinogradov.djvu |заглавие=Основы теории чисел|год=1952|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|страниц=180|тираж=10000}}
* {{source|Q27102374|ref=Дэвенпорт|ref-year=1965|pages=15-38}} <!-- Высшая арифметика -->
* {{статья | автор=Жиков В.В. |заглавие=Основная теорема арифметики |издание=[[Соросовский Образовательный Журнал]] |год=2000 |том=6 |номер=3 |страницы=112–117 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0003_112.pdf|ref=Жиков}}
* {{книга |автор=Калужнин Л. А. |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a47.htm |заглавие=Основная теорема арифметики |издание=[[Популярные лекции по математике]] |место=М. |издательство=Наука |год=1969 |страниц=32|ref=Калужнин}}
* {{книга |автор=Курант Р., Роббинс Г. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm |заглавие=Что такое математика? |nodot=1 |часть=Дополнение к главе I, § 4.2|издательство=[[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]|год=2000|страниц=568}}
* {{source|Q27102399|ref=Weisstein|ref-year=2010}} <!-- CRC Concise Encyclopedia of Mathematics -->
* {{статья |автор= A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan |ссылка=http://www.academia.edu/11718947/A_Historical_Survey_of_the_Fundamental_Theorem_of_Arithmetic |заглавие=A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic|часть=Дополнение к главе I, § 4.2|издание=Historia Mathematica|volume=28|pages=207–214|год=2001|doi=10.1006/hmat.2001.2318|ref=A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan}}
* {{книга |автор=Д.Д. Мордухай-Болтовской, И.Н. Веселовский |заглавие=Начала Евклида. Книги VII-X|год=1949|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|страниц=510|ref=Начала Евклида.Книги VII - X}}
* {{статья |автор=M.D. Hendy |ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086075901469?via%3Dihub |заглавие=Euclid and the fundamental theorem of arithmetic|год=1975|издательство=Historia Mathematica 05/1975|страниц=2|ref=Hendy}}
* {{статья |автор=A.A. Mullin |заглавие=Mathematico-philosophical remarks on new theorems anaiogous to the fundamental theorem of arithmetic|год=1965|издательство=Notre Dame Journal of Formal Logic|страниц=4|ref=Mullin}}
{{^}}
{{внешние ссылки}}
{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теоремы о простых числах|Арифметики]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Делимость и остатки]]
[[Категория:Основные теоремы]]
{{Добротная статья|Математика}}