Просмотр кода страницы Ортоцентр

[[Файл:Triangle.Orthocenter.svg|right|Ортоцентр]]
'''Ортоцентр''' (от {{lang-grc|ὀρθός}} «прямой») — точка пересечения [[высота треугольника|высот треугольника]] или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой <math>H</math>. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относятся к [[Замечательные точки треугольника|замечательным точкам треугольника]] и перечислен в [[Энциклопедия центров треугольника|энциклопедии центров треугольника]] {{не переведено 5|Кимберлинг, Кларк|Кларка Кимберлинга||Clark Kimberling}} как точка X(4).

== Свойства ==
* Если в четвёрке точек ''A, B, C, D'' точка ''D'' является точкой пересечения высот треугольника ''ABC'', то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют '''ортоцентрической системой точек'''.
** Более того, при любом разбиении множества ''ортоцентрической системы точек'' {''A, B, C, D''} на две пары, например, {''B, C''} и {''A, D''} или при любом другом подобном разбиении, всегда перпендикулярны образующиеся два отрезка прямых с концами в данных точках множеств (в нашем случае ''BC'' перпендикулярно ''AD'') независимо от выбора этих двух пар.
** Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ''ортоцентрической системы'', равны (следствие [[Теорема Гамильтона|теоремы Гамильтона]] для [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]). Их часто называют [[Окружности Джонсона|окружностями Джонсона]]
** Последнее утверждение можно сформулировать так: Три отрезка прямых, соединяющих ''ортоцентр'' с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей (следствие [[Теорема Гамильтона|теоремы Гамильтона]] для [[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]). При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
[[File:Симметрия ортоцентра относительно сторон.svg|thumb|Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон, лежат на описанной окружности.]]
* ''Ортоцентр'' лежит на одной прямой с [[центроид]]ом, центром ''описанной окружности'' и центром [[окружность девяти точек|окружности девяти точек]] (см. [[прямая Эйлера]]).
* ''Ортоцентр'' остроугольного треугольника является центром окружности, [[Вписанная окружность|вписанной]] в его [[ортотреугольник]].
* Центр [[Описанная окружность|описанной]] около треугольника окружности служит [[ортоцентр]]ом треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют [[Дополнительный треугольник|дополнительным треугольником]] по отношению к первому треугольнику.
* Последнее свойство можно сформулировать так: Центр [[Описанная окружность|описанной]] около треугольника окружности служит ''ортоцентром'' [[Дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]].
* Точки, симметричные ''ортоцентру'' треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности (см. рисунок){{sfn|Honsberger|1995|p=18}}.
* Точки, симметричные ''ортоцентру'' треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
* Если <math>O</math> — центр описанной окружности <math>\triangle ABC</math>, то <math>\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}</math> .
**<math>OH=\sqrt{R^2-8R^2\cos A \cos B \cos C}=\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)} </math><ref>Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers»,
''Forum Geometricorum'' 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html</ref><ref name=SL>Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 436—452.</ref>{{rp|p. 449}}, где <math>R</math> — радиус [[Описанная окружность|описанной окружности]]; <math>a, b, c</math> — длины сторон треугольника; <math>A, B, C</math> — внутренние углы треугольника.
* При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
* Любой отрезок, проведенный из ''ортоцентра'' до пересечения с [[описанная окружность|описанной окружностью]], всегда делится [[окружность Эйлера|окружностью Эйлера]] пополам. Это следует из того, что ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей с коэффициентом <math>1/2</math>.
* Четыре попарно пересекающиеся прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку (четырёхсторонник), при пересечении образуют четыре треугольника. Их ''ортоцентры'' лежат на одной прямой (''[[Прямая Обера|на прямой Обера]]'').
* Если считать, что ''ортоцентр'' треугольника делит первую высоту на части длиной: ''u'' и ''v'', вторую высоту на части длиной: ''w'' и ''x'', третью высоту на части длиной: ''y'' и ''z'', тогда ''uv'' = ''wx'' = ''yz''{{sfn|Altshiller-Court|2007|p=94}}{{sfn|Honsberger|1995|p=20}}.
* Цепочка уравнений в последнем пункте: ''uv'' = ''wx'' = ''yz'',- по сути означает, что три пары отрезков, на которые ''ортоцентр'' разделяет три высоты остроугольного треугольника, подчиняются ''правилу хорд'', пересекающихся внутри окружности, например: ''uv'' = ''wx''. Отсюда автоматически следует то, что через четыре конца любых двух высот остроугольного треугольника всегда можно провести окружность (высоты в ней будут пересекающимися хордами). Оказывается, это утверждение сохраняет силу и для тупоугольного, и прямоугольного треугольников.
* Расстояние от стороны до ''центра описанной окружности'' равно половине расстояния от противоположной ей вершины до ''ортоцентра''{{sfn|Altshiller-Court|2007|p=99}}{{sfn|Honsberger|1995|p=17, 23}}.
* Сумма квадратов расстояний от вершин до ''ортоцентра'' плюс сумма квадратов сторон равна двенадцати квадратам ''радиуса описанной окружности''{{sfn|Altshiller-Court|2007|p=102}}.
* Три основания высот остроугольного треугольника или три проекции ''ортоцентра'' на стороны треугольника образуют [[ортотреугольник]].
[[Файл:Orthic Axis ru.svg|thumb|300px|''Ортоцентрическая ось'' (''Orthic axis'') — трилинейная поляра ''ортоцентра'']]
* Трилинейной полярой ''ортоцентра'' является '''ортоцентрическая ось''' ''DEF'' (Orthic axis) (см. рис.)

* Четыре [[ортоцентр]]а четырёх [[треугольник]]ов, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку, лежат на одной прямой ('''[[Прямая Обера]] [[четырёхугольник]]а)'''. Здесь используются те же четыре [[треугольник]]а, что и при построении [[Точка Микеля|точки Микеля]].

* Существует [[формула Карно]]<ref>Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.</ref>:

: <math>R + r=k_a+k_b+k_c = \frac{1}{2}(d_A+d_B+d_C),</math>
где <math>k_a,k_b,k_c</math> — расстояния от центра [[описанная окружность|описанной окружности]] соответственно до сторон <math>a,b,c</math> треугольника,
<math>d_A,d_B,d_C</math> — расстояния от [[ортоцентр]]а соответственно до вершин <math>A,B,C</math> треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности до стороны <math>a</math>равно:
:<math>k_a=\frac{a}{2\, \mathrm{tg}\, A};
</math>

расстояние от ортоцентра до вершины <math>A</math> равно:
:<math>d_A=\frac{a}{\mathrm{tg}\, A}.</math>

== См. также ==
* [[Высота треугольника]]
* [[Высота (геометрия)]]
* [[Замечательные точки треугольника]]
* [[Центр вписанной окружности]]
* [[Ортотреугольник]]
* [[Центроид]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|37-39|1}}
* {{книга
 |автор = Nathan Altshiller-Court
 |заглавие = College geometry : an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle
 |издательство = Dover Publications, Inc.
 |год = 2007
 |isbn = 0-486-45805-9
 |ref = Altshiller-Court
 |ссылка = https://books.google.com/books?id=7wc_AwAAQBAJ&pg=PA94
}}
* {{книга
 |автор = Ross Honsberger
 |заглавие = Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
 |издательство = [[Mathematical Association of America]]
 |год = 1995
 |серия = New Mathematical Library
 |volume = 37
 |isbn = 0-88385-639-5 (Vol. 37)
 |isbn2 = 0-88385-600-X (complete set)
 |ref = Honsberger
 |pages = 17-26
 |ссылка = https://books.google.com/books?id=7vcrmWEV73AC&pg=PA17
}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20070502052029/http://home-edu.ru/user/f/00000568/zpt/lesson9.htm Живой чертёж]

[[Категория:Замечательные точки треугольника]]
[[Категория:Точки в Энциклопедии центров треугольника]]