Просмотр кода страницы Неравновесная термодинамика

[[File:Thermodynamics as a subject of study and teaching (1).png|480px|thumb|Разделы термодинамики]]
'''Неравновесная термодинамика''' — раздел [[Термодинамика|термодинамики]], изучающий системы вне состояния [[Термодинамическое равновесие|термодинамического равновесия]] и [[Необратимый процесс|необратимые процессы]]. Возникновение этой области знания связано главным образом с тем, что подавляющее большинство встречающихся в природе систем находятся вдали от термодинамического равновесия.

== История ==
Необходимость в создании новой теории возникла в первой половине двадцатого века. Пионером в этом направлении стал [[Онзагер, Ларс|Ларс Онзагер]], в [[1931 год]]у опубликовавший две работы, посвященные неравновесной термодинамике.<ref>L. Onsager, Phys. Rev. '''37''' (1931) 405</ref><ref>L. Onsager, Phys. Rev. '''38''' (1931) 2265</ref> В дальнейшем значительный вклад в развитие неравновесной термодинамики внесли [[Эккарт, Карл Генри|Эккарт]]<ref>C. Eckart, Phys. Rev. '''58''' (1940) 267, 269, 919</ref>, [[Майкснер, Йозеф|Майкснер]] и Райк<ref>J. Meixner and H. Reik, Thermodynamik der Irreversiblen Prozesse (Handbuch der Physik III/2), (S. Flugge, ed.), Springer,Berlin, 1959.</ref>, [[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Д. Н. Зубарев]]<ref>D. N. Zubarev, [https://dx.doi.org/10.1070/PU1960v003n03ABEH003275 Double-time Green functions in statistical physics], Sov. Phys. Uspekhi, 1960, '''3'''(3), 320—345.</ref>, [[Пригожин, Илья Романович|Пригожин]]<ref>I. Prigogine, ''Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes,'' Interscience, New York, 1961.</ref>, [[Гроот, Сибрен Руурдс де|Де Гроот]] и Мазур<ref>S.R. de Groot and P. Mazur, ''Non-equlibrium Thermodynamics,'' North-Holland, Amsterdam, 1962.</ref>, [[Гуров, Кирилл Петрович|Гуров К. П.]] и другие. Следует отметить, что теория неравновесных систем активно развивается и в настоящее время.

== Классическая формулировка неравновесной термодинамики ==

=== Основные положения ===
Классическая неравновесная термодинамика основана на фундаментальном предположении о '''локальном равновесии''' ([[Пригожин, Илья Романович|И. Р. Пригожин]], 1947). Концепция локального равновесия заключается в том, что ''равновесные термодинамические соотношения справедливы для термодинамических переменных, определённых в элементарном объёме'', то есть рассматриваемая система может быть мысленно разделена в пространстве на множество элементарных ячеек, достаточно больших, чтобы рассматривать их как макроскопические системы, но в то же время достаточно малых для того, чтобы состояние каждой из них было близко к [[Термодинамическое равновесие|состоянию равновесия]]. Данное предположение справедливо для очень широкого класса физических систем, что и определяет успех классической формулировки неравновесной термодинамики.

Концепция локального равновесия подразумевает, что все [[экстенсивная величина|экстенсивные переменные]] ([[Термодинамическая энтропия|энтропия]], [[внутренняя энергия]], [[Концентрация растворов#Массовая доля (также называют процентной концентрацией)|массовая доля]] компонента <math>k</math>) заменяются своими плотностями:
: <math>s=s(\mathbf{x}, t), \;\;\;\; u=u(\mathbf{x}, t), \;\;\;\; c_k=c_k(\mathbf{x}, t).</math>
В то же время все [[интенсивная величина|интенсивные переменные]], такие как [[температура]], [[давление]] и [[химический потенциал]] должны быть заменены соответствующими функциями координат и времени:
: <math>T=T(\mathbf{x}, t), \;\;\;\; p=p(\mathbf{x}, t), \;\;\;\; \mu_k=\mu_k(\mathbf{x}, t),</math>
при этом они определяются так же, как и в равновесном случае, то есть <math>T^{-1}=\frac{\partial s}{\partial u}, \; T^{-1} p=\frac{\partial s}{\partial v}, \; T^{-1}\mu_k=\frac{\partial s}{\partial c_k}</math>.

Далее, посредством введенных выше функций переписываются законы и соотношения из равновесной термодинамики в локальной форме. [[Первое начало термодинамики|Первое начало]] (закон сохранения энергии):
: <math>\frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{J}^e = 0</math>, <math>e</math> — сумма плотностей кинетической и внутренней энергий, <math>\boldsymbol{J}^e</math> — поток энергии.
[[Второе начало термодинамики|Второе начало]]:
: производство энтропии в каждой части системы, вызванное необратимыми процессами, неотрицательно, то есть <math>\frac{\partial s}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{J}^s = \sigma, \; \sigma \geqslant 0</math>.
Важную роль в классической неравновесной термодинамике играет локальная форма [[Термодинамика#Уравнение Гиббса, экстенсивность и уравнение Гиббса — Дюгема|уравнения Гиббса—Дюгема]]:
: <math>T ds = du + p dv - \sum_k \mu_k dc_k</math>
Переписав на последнем соотношении с учетом локальной формы закона сохранения энергии, массы, и сравнив с локальной формой второго начала, нетрудно получить следующий вид для производства энтропии:
: <math>\sigma = \boldsymbol{q} \cdot \nabla \left(\frac{1}{T} \right) - \sum_k \boldsymbol{J}_k \cdot \nabla \left(\frac{\mu_k}{T} \right) - \frac{1}{T} p^\nu \nabla \cdot \boldsymbol{\nu} - \frac{1}{T} \overset{0}{\mathbf{P}^\nu} : \overset{0}\mathbf{V} + \frac{\rho}{T} \sum_l A_l \dot{\xi}_l+\frac{1}{T} \boldsymbol{\varepsilon} \cdot \boldsymbol{i}.</math>
Здесь:
* <math>\boldsymbol{q}</math> — [[Теплопроводность|поток теплоты]],
* <math>\boldsymbol{\nu}=\frac{1}{\rho} \sum_k\rho_k \boldsymbol{\nu}_k</math> — скорость [[центр масс|центра масс]],
* <math>\boldsymbol{J}_k=\rho_k (\boldsymbol{\nu}_k - \boldsymbol{\nu})</math> — поток [[Диффузия|диффузии]],
* [[тензор вязких напряжений]] разложен следующим образом: <math>\mathbf{P} = p \mathbf{U} + p^\nu \mathbf{U} + \overset{0}{\mathbf{P}^\nu}</math>, где тензор вязкого давления <math>\mathbf{P}^\nu</math> разложен на объемное вязкое давление <math>p^\nu</math> и девиатор с нулевым следом <math>\overset{0}{\mathbf{P}^\nu}</math>,
* аналогично, [[тензор скоростей деформации]] может быть разложен следующим образом: <math>\mathbf{V} = \frac{1}{3} (\nabla \cdot \boldsymbol{\nu}) \mathbf{U} + \overset{0}{\mathbf{V}^\nu}</math>,
* двоеточие <math>:</math> — двойное скалярное произведение [[тензор]]ов,
* <math>A_l</math> — [[химическое сродство]] реакции <math>l</math>, <math>\xi_l</math> — соответствующая [[степень полноты реакции]],
* <math>\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{E} + \boldsymbol{\nu} \times \boldsymbol{B}</math> — [[Сила Лоренца|электрическое поле]] в системе координат, движущейся со скоростью <math>\boldsymbol{\nu}</math>, <math>\boldsymbol{i} = \sum_k z_k \boldsymbol{J}_k</math> — [[Плотность тока|ток]] [[Удельная проводимость|проводимости]].

=== Потоки и силы ===
В рамках классической неравновесной термодинамики описание необратимых процессов происходит при помощи '''термодинамических сил''' и '''термодинамических потоков'''. Основанием для введения данных величин является то, что через них производство энтропии выражается в простой форме. Дадим явные выражения для различных сил и потоков. Из приведенного выше выражения для производства энтропии видно, что <math>\sigma</math> представляет собой билинейную форму:
: <math>\sigma = \sum_\alpha J_\alpha X_\alpha</math>,
где <math>J_\alpha</math> — термодинамический поток, <math>X_\alpha</math> — термодинамическая сила. Следует особо подчеркнуть произвольность разделения на термодинамические потоки и силы. Например, множитель <math>\frac{1}{T}</math> можно отнести не к силе, а к потоку. Силы и потоки можно даже поменять местами, однако всё же естественно считать, что термодинамические силы порождают термодинамические потоки, как градиент температуры порождает поток теплоты. Пример разделения сил и потоков показан в таблице:

{|class="standard"
 |Сила <math>X_\alpha</math>
 |align="center"|<math>\nabla \frac{1}{T}</math>
 |align="center"|<math>-\nabla \frac{\mu_k}{T}</math>
 |align="center"|<math>- \frac{1}{T} \nabla \cdot \boldsymbol{\nu}</math>
 |align="center"|<math>- \frac{1}{T} \overset{0}\mathbf{V}</math>
 |align="center"|<math>- \frac{1}{T} A_l</math>
 |align="center"|<math>- \frac{1}{T} \boldsymbol{\varepsilon}</math>
 |-
 |Поток <math>J_\alpha</math>
 |align="center"|<math>\boldsymbol{q}</math>
 |align="center"|<math>\boldsymbol{J}_k</math>
 |align="center"|<math>p^\nu</math>
 |align="center"|<math>\overset{0}{\mathbf{P}^\nu}</math>
 |align="center"|<math>\rho \dot{\xi}</math>
 |align="center"|<math>\boldsymbol{i}</math>
 |-
 |}
Как видно, потоки и силы могут быть не только [[скаляр]]ами, но также [[Вектор (алгебра)|векторами]] и [[тензор]]ами.

=== Линейные материальные уравнения ===
{{main|Линейная неравновесная термодинамика}}
Потоки являются неизвестными величинами, в отличие от сил, которые представляют собой функции от переменных состояния и/или их градиентов. Экспериментально установлено, что потоки и силы связаны друг с другом, причем заданный поток зависит не только от своей силы, но может зависеть также от других термодинамических сил и от переменных состояния:
: <math>J_\alpha = J_\alpha(X_1, \dots X_\alpha ; \, T, p, c_k).</math>
Соотношения такого вида между потоками и силами называются '''феноменологическими соотношениями''' или '''материальными уравнениями.''' Они в совокупности с уравнениями баланса массы, импульса и энергии представляют замкнутую систему уравнений, которая может быть решена при заданных начальных и граничных условиях. Так как в положении термодинамического равновесия силы и потоки обращаются в нуль, то разложение материального уравнения вблизи положения равновесия принимает следующий вид:
: <math>J_\alpha = \sum_\beta L_{\alpha \beta} X_\beta,  \;\;\;\; L_{\alpha \beta} = \frac{\partial J_\alpha}{\partial X_\beta}.</math>
Величины <math>L_{\alpha \beta}</math> называются феноменологическими коэффициентами и в общем случае зависят от переменных состояния <math>T</math>, <math>p</math> и <math>c_k</math>. Важно отдавать себе отчет в том, что, например, такая сила, как <math>\nabla \frac{1}{T}</math> способна вызывать не только поток теплоты <math>\boldsymbol{q}</math>, но электрический ток <math>\boldsymbol{i}</math>. На феноменологические коэффициенты накладывается ряд ограничений, подробнее о них изложено в [[Линейная неравновесная термодинамика|соответствующей статье]].

Другим важным результатом, полученным в рамках линейной неравновесной термодинамики, является '''теорема о минимуме производства энтропии''':
: В линейном режиме полное производство энтропии в системе, подверженной потоку энергии и вещества, в неравновесном ''стационарном'' состоянии достигает минимального значения.
Также в этом случае (линейный режим, стационарное состояние) показано, что потоки с собственными нулевыми силами равны нулю. Таким образом, например, при наличии постоянного градиента температуры, но при отсутствии поддерживаемого градиента концентрации система приходит к состоянию с постоянным потоком тепла, но с отсутствием потока вещества.

== Системы вне локального равновесия ==
Несмотря на успехи классического подхода, у него есть существенный недостаток — он основывается на предположении о локальном равновесии, что может оказаться слишком грубым допущением для достаточно обширного класса систем и процессов, таких как системы с памятью, [[раствор]]ы [[Полимеры|полимеров]], [[Сверхтекучесть|сверхтекучие жидкости]], [[Суспензия|суспензии]], [[Нанотехнология|наноматериалы]], распространение [[ультразвук]]а в газах, гидродинамика [[фонон]]ов, [[ударная волна|ударные волны]], разреженные газы и т. д. Важнейшими критериями, которые предопределяет, к какому из термодинамических подходов следует обратиться исследователю при математическом моделировании конкретной системы, являются скорость изучаемого процесса и желаемый уровень согласия теоретических результатов с экспериментом. Классическая [[Термодинамика|равновесная термодинамика]] рассматривает [[Квазистатический процесс|квазистатические процессы]], классическая неравновесная термодинамика — относительно медленные неравновесные процессы ([[теплопроводность]], [[Диффузия|диффузию]] и т. п.) Ограничения, накладываемые принципом локального равновесия на скорость моделируемого процесса, снимаются в таких подходах к построению неравновесной термодинамики, как ''рациональная термодинамика'' и ''расширенная неравновесная термодинамика''.

== Рациональная термодинамика ==

=== Историческая справка ===
Рациональная термодинамика рассматривает [[Температура|термические явления]] в [[Сплошная среда|сплошных средах]] на основе нетрадиционного подхода [[Трусделл, Клиффорд Амброуз|К. Трусделла]], [[Жилин, Павел Андреевич (физик)|П. А. Жилина]] и их последователей{{sfn|Трусделл К., Термодинамика для начинающих|1970}}{{sfn|Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред|1975}}{{sfn|Truesdell C., Rational Thermodynamics|1984}}{{sfn|Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред|2012}}: «традиционный подход… ни в коем случае не является неправильным, однако он не удовлетворяет современным требованиям строгости и ясности»{{sfn|Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред|1975|с=15}}. К. Трусделл ведёт отсчёт истории рациональной термодинамики от работ {{нп5|Коулмен, Бернард Дэвид|Б. Коулмена|fr|Bernard Coleman}} и {{нп5|Нолл, Уолтер|У. Нолла|en|Walter Noll}} 1950-х годов{{sfn|Трусделл К., Термодинамика для начинающих|1970|с=16}} (см. {{sfn0|Noll|1975}}).

Цель продолжающей развиваться рациональной термодинамики — создать строгую математическую [[аксиоматика|аксиоматику]] исходных положений термомеханики сплошных сред с тем, чтобы она охватывала по возможности максимально широкий класс [[модель|моделей]], а интуитивные представления о [[Физическое явление|физических явлениях]] нашли своё выражение в математической форме [[Теория определяющих соотношений|определяющих соотношений]]. Фундамент теории строится на базе таких [[Математическая структура|математических структур]] и понятий, как [[Векторное пространство|векторные]], [[Метрическое пространство|метрические]] и [[Топологическое пространство|топологические пространства]], непрерывные и дифференцируемые [[Отображение|отображения]], [[многообразия]], [[тензор]]ы, [[Группа (математика)|группы]] и их представления и т. п. Для простых объектов такой усложненный подход не требуется, но для более сложных явлений в сплошных средах, например [[Вязкоупругость|вязкоупругости]], [[Ползучесть материалов|ползучести]], эффектов памяти ([[гистерезис]]), [[Релаксация (физика)|релаксации]] и т. п., построение [[Феноменология (наука)|феноменологических моделей]] часто наталкивается на трудности, значительная часть которых относится к формированию адекватного математического аппарата. Поэтому точное описание математической структуры объекта на основе аксиоматики и её логических следствий имеет не только методический интерес, но и прикладное значение.

=== Особенности рациональной термодинамики ===
* Рациональная термодинамика не подразделяет термодинамику на [[термодинамика|равновесную]] и неравновесную; обе эти дисциплины рассматриваются как единая часть [[Физика сплошных сред|физики сплошных сред]]. Время изначально в явном виде входит в уравнения рациональной термодинамики.
* Взамен принципа локального равновесия используют гипотезу о наличии у материалов памяти, согласно которой поведение системы в данный момент времени определяется не только текущими значениями переменных, но и их предысторией.
* Разрешено использовать те и только те понятия, которые допускают [[Формализация|формализацию]].
* Рассматриваются не природные объекты, а ''тела'' — [[Математический объект|математические понятия]], полученные абстрагированием некоторых общих черт многих природных объектов. Теория устанавливает общие законы, которым подчиняются все тела.
* Конкретные тела (материалы) описывают посредством [[Математическая модель|математических моделей]], которые представляют собой наборы определяющих уравнений; в состоянии [[Термодинамическое равновесие|термодинамического равновесия]] в качестве определяющих уравнений выступают [[Уравнение состояния|уравнения состояния]].
* Исходными неопределяемыми переменными теории являются пространственные координаты, время, масса, температура, энергия и скорость подвода/отвода теплоты. Они вводятся априори и в рамках рациональной термодинамики не имеют точной физической интерпретации.
* В рациональной термодинамике не обосновывают существование температуры на основе представлений о [[Закон транзитивности термического равновесия|термическом равновесии]]; более того, такого рода доказательства рассматриваются как «порочные круги метафизики»{{sfn|Truesdell, Bharatha|1977|p=5}}. В отличие от тех систем построения термодинамики, в которых температуру выражают через внутреннюю энергию и энтропию{{sfn|Guggenheim|1986|p=15}}{{sfn|Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1|2002|с=54}}, в рациональной термодинамике, наоборот, энтропию выражают через внутреннюю энергию и температуру.
* [[Второе начало термодинамики]] рассматривается не как ограничение на возможные процессы, а как ограничение на допустимый вид уравнений, описывающих реальные системы и процессы{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=10–11}}.
* Терминология, используемая в работах по рациональной термодинамике, часто отличается от общепринятой (например, энтропия может называться «калорией»), что затрудняет восприятие.

=== К. Трусделл о традиционном подходе к построению термодинамики ===
{{main|Трусделл, Клиффорд Амброуз#Некоторые высказывания К. Трусделла|l1=К. Трусделл о традиционном подходе к построению термодинамики}}

== Расширенная неравновесная термодинамика ==
Расширенная неравновесная термодинамика{{sfn|Müller I., Ruggeri T., Rational Extended Thermodynamics|1998}}{{sfn|Eu B. C., Generalized Thermodynamics|2004}}{{sfn|Жоу Д. и др., Расширенная необратимая термодинамика|2006}}{{sfn|Jou|2010}} ориентирована на рассмотрение процессов в ситуациях, когда характерное время процесса сравнимо со временем релаксации. Она базируется на отказе от принципа локального равновесия и обусловленного этим обстоятельством применением дополнительных переменных для задания локально-неравновесного состояния элементарного объёма среды. В этом случае в выражения для энтропии, потока энтропии и скорости возникновения энтропии включают дополнительные независимые переменные, в качестве которых используют диссипативные потоки, то есть [[поток энергии]], поток массы и [[тензор напряжений]], а также потоки второго и более высоких порядков (поток потока энергии и т. д.){{sfn|''Агеев Е. П.'', Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах|2005|с =49}}{{sfn|Соболев С. Л., Локально-неравновесные модели процессов переноса|1997}}. Такой подход хорошо зарекомендовал себя для описания быстрых процессов и для малых линейных масштабов.

Отказ от формализма классической неравновесной термодинамики с математической точки зрения означает замену дифференциальных уравнений параболического типа на гиперболические дифференциальные уравнения для диссипативных потоков эволюционного (релаксационного) типа. Это, в свою очередь, означает замену противоречащих как экспериментальным данным, так и принципу причинности моделей с бесконечной скоростью распространения возмущений в сплошной среде (типа [[Теплопроводность|модели Фурье]], в соответствии с которой изменение температуры в какой-то точке мгновенно распространяется на всё тело) на модели с конечной скоростью распространения возмущений.

Уравнение теплопроводности гиперболического типа сочетает в себе свойства как классического закона Фурье, описывающего чисто диссипативный способ передачи энергии, так и волнового уравнения, описывающего распространение незатухающих волн. Это объясняет экспериментально наблюдаемые волновые свойства процесса теплопереноса при низких температурах — распространение тепловой волны с конечной скоростью, отражение тепловой волны от теплоизолированной границы, а при падении на границу раздела двух сред частичное отражение и частичное прохождение в другую среду, интерференцию тепловых волн{{sfn|Соболев С. Л., Локально-неравновесные модели процессов переноса|1997}}.

Последовательное введение потоков второго и более высокого порядков приводит к тому, что математические модели, описывающие локально-неравновесные процессы переноса, представляют собой иерархическую последовательность дифференциальных уравнений в частных производных, порядок которых увеличивается с увеличением степени отклонения системы от локального равновесия.

== Гамильтоновы формулировки неравновесной термодинамики ==
[[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтонова]] формулировка неравновесной термодинамики{{sfn|Jou|2010|p=32—35}} привлекает элегантностью, лаконичностью и мощными численными методами, разработанными для гамильтоновых систем. Рассмотрению связи между [[Принцип наименьшего действия|принципом Гамильтона]] и интегральным вариационным ''принципом [[Дьярмати, Иштван|Дьярмати]]'' посвящён раздел в монографии{{sfn|Дьярмати|1974|с=243—249}}.

== Примечания ==
{{примечания|33em}}

== Литература ==
* {{книга|автор = Eu B. C.|заглавие = Generalized Thermodynamics: The Thermodynamics of Irreversible Processes and Generalized Hydrodynamics |ссылка= |язык= |издание =|место=N. Y. e. a.|издательство= Kluwer Academic Publishers |год= 2004|том= |страниц= |серия= Fundamental Theories of Physics. Vol. 124 |isbn= 1-4020-0788-4 |ref=Eu B. C., Generalized Thermodynamics}}
* {{книга|автор=Guggenheim E. A.|заглавие=Thermodynamics: An Advanced Treatment for Chemists and Physicists|ссылка= |язык= |издание=8th ed|место=Amsterdam|издательство=North-Holland|год=1986|том= XXIV|страниц=390 |серия= |isbn= |ref=Guggenheim}}
* {{книга|автор=Jou D., Casas-Vázquez J., Lebon G.|заглавие=Extended Irreversible Thermodynamics|ссылка= |язык= |издание=4th ed|место=N. Y.—Dordrecht—Heidelberg—London|издательство=Springer|год=2010|том=XVIII |страниц=483 |серия= |isbn=978-90-481-3073-3|doi=10.1007/978-90-481-3074-0|ref=Jou}}
* {{книга|автор=Müller I., Ruggeri T.|заглавие=Rational Extended Thermodynamics|ссылка= |язык= |издание=2nd ed|место=N. Y.—Berlin—Heidelberg|издательство=Springer|год=1998|том=XV |страниц= 396|серия=Springer Tracts in Natural Philosophy. Vol. 37|isbn=978-1-4612-7460-5|doi=10.1007/978-1-4612-2210-1|ref=Müller I., Ruggeri T., Rational Extended Thermodynamics}}
* {{книга|автор=Noll W.|заглавие=The Foundations of Mechanics and Thermodynamics: Selected Papers|ответственный= |издание= |место=Berlin — Heidelberg — New York|издательство=Springer-Verlag|год=1974|том= X|страниц=324 |серия= |isbn=978-3-642-65819-8|ref=Noll}}
* {{книга|автор=Truesdell C.|заглавие=The Tragicomical History of Thermodynamics, 1822–1854|ответственный= |издание= |место=New York — Heidelberg — Berlin|издательство=Springer-Verlag|год=1980|том=XII |страниц=372 |серия=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 4|isbn=978-1-4613-9446-4|ref=Truesdell C., The Tragicomical History of Thermodynamics}}
* {{книга|автор=Truesdell C., Bharatha S.|заглавие=The Concepts and Logic of Classical Thermodynamics as a Theory of Heat Engines|ответственный= |издание= |место=New York — Heidelberg — Berlin|издательство=Springer-Verlag|год=1977|том= XVII|страниц=154 |серия= |isbn=3-540-07971-8|ref=Truesdell, Bharatha}}
* {{книга|автор=Truesdell C.|заглавие=Rational Thermodynamics|ответственный= |издание= |место=New York — Berlin — Heidelberg — Tokyo|издательство=Springer-Verlag|год=1984|том=XVIII |страниц=578 |серия= |isbn=0-387-90874-9|ref=Truesdell C., Rational Thermodynamics}}
* {{книга|автор =Агеев Е. П.|заглавие =Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах|ответственный = |издание =2-е изд., испр. и доп|место =М.|издательство =[[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]|год =2005|том = |страниц =160|серия = |isbn =5-94057-191-3|ref =''Агеев Е. П.'', Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах}}
* [[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]] Собрание научных трудов в 12-ти тт. — М.: Наука, 2006. — Т. 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — ISBN 5-02-034142-8.
* ''Бонч-Бруевич В. Л., [[Тябликов, Сергей Владимирович|Тябликов С. В.]]'' «[http://lib.mexmat.ru/books/5538 Метод функций Грина в статистической механике.]» — М., 1961.
* ''Гленсдорф П., [[Пригожин, Илья Романович|Пригожин И. Р.]]'' Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. — М.: Мир, 1973.
* ''[[Гроот, Сибрен Руурдс де|Де Гроот С. Р.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/deGroot1956ru.djvu Термодинамика необратимых процессов]. — М.: Гос. Изд.-во техн.-теор. лит., 1956. 280 с.
* ''[[Гроот, Сибрен Руурдс де|Де Гроот С.]], Мазур П.'' Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.
* ''[[Гуров, Кирилл Петрович|Гуров К. П.]]'' [http://books.prometey.org/download/15049.html Феноменологическая термодинамика необратимых процессов]. — М.: Наука, 1978. 128 с.
* {{h|Дьярмати|1974|3=''Дьярмати И.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dyarmati1974ru.djvu Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.] — М.: Мир, 1974. 404 с.}}
* {{книга|автор=Жилин П. А.|заглавие=Рациональная механика сплошных сред|ответственный= |издание=2-е изд|место=СПб.|издательство=Изд-во Политехн. ун-та|год=2012|том= |страниц=584|серия= |isbn=978-5-7422-3248-3|ref=Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред|2012}}
* {{книга|автор=Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж.|заглавие=Расширенная необратимая термодинамика|ответственный= |издание= |место=М.—Ижевск|издательство=НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований|год=2006|страниц=528|серия= |том= |isbn=5-93972-569-4|ref=Жоу Д. и др., Расширенная необратимая термодинамика|2006}}
* ''[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]]'' «Неравновесная статистическая термодинамика». — М.: Наука, 1971.
* ''[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]], Морозов В. Г., Рёпке Г.'' «[https://www.books.ru/shop/books/70146 Статистическая механика неравновесных процессов]». Том 1. — М.: Физматлит, 2002. ISBN 5-9221-0211-7.
* ''[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]], Морозов В. Г., Рёпке Г.'' «[https://www.books.ru/shop/books/492677 Статистическая механика неравновесных процессов]». Том 2. — М.: Физматлит, 2002. ISBN 5-9221-0212-5.
* {{книга|автор=Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.|заглавие=Статистическая физика. Часть 1|ответственный= |издание=5-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2002|страниц=616|серия=Теоретическая физика в 10 томах. Том 5|том= |isbn=5-9221-0054-8|ref=Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1|2002}}
* {{книга|автор=Петров Н., Бранков Й.|заглавие=Современные проблемы термодинамики|издание=Пер. с болг|место=М|издательство=Мир|год=1986|том= |страниц=287|серия= |isbn= |ref=Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986}}
* ''[[Пригожин, Илья Романович|Пригожин И.]]'' [http://www.odessamore.com/physics-of-molecules/library/books/prigogine.djvu Введение в термодинамику необратимых процессов] — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. — 160 c.
* ''[[Пригожин, Илья Романович|Пригожин И.]], Кондепуди Д.'' Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. Пер. с англ. — М.: Мир, 2002. — 461 с.
* {{статья|автор=Соболев С. Л.|заглавие=Локально-неравновесные модели процессов переноса|ссылка= |язык=ru|издание=Успехи физических наук|издательство= |год=1997|страницы=1095—1106|volume= |номер= 10 |doi=10.3367/UFNr.0167.199710f.1095|ref=Соболев С. Л., Локально-неравновесные модели процессов переноса}}
* ''Стратонович Р. Л.'' [http://books.prometey.org/download/15051.html Нелинейная неравновесная термодинамика.] — М.: Наука, 1985. — 480 с.
* {{статья|автор=Трусделл К.|заглавие=Термодинамика для начинающих|ссылка= |язык=ru|издание=Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей|издательство=М.: Мир|год=1970|volume= |номер=3 (121), с. 116—128|с= |doi= |ref=Трусделл К., Термодинамика для начинающих|1970}}
* {{книга|автор=Трусделл К.|заглавие=[http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Truesdell1975ru.djvu Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред]|ответственный=Пер. с англ. под. ред. П. А. Жилина и А. И. Лурье|издание= |место=М.|издательство=Мир|год=1975|том= |страниц=592|серия= |isbn= |ref=Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред|1975}}

[[Категория:Неравновесная термодинамика]]