Просмотр кода страницы Непрерывная дробь

'''Непрерывная дробь''' (или '''цепная дробь''') — это конечное или бесконечное [[математика|математическое]] выражение вида
: <math>[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;</math>
где <math>a_0</math> есть [[целое число]], а все остальные <math>a_n</math> — [[натуральное число|натуральные числа]] (положительные целые)<ref name=ME>{{книга |часть=Цепная дробь |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия |том=5 |год=1985 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. При этом числа <math>a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots</math> называются '''неполными частными''' или '''элементами''' цепной дроби.{{sfn|Арнольд|2000|с=12}}

Любое [[вещественное число]] можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной).
Число представляется конечной цепной дробью [[тогда и только тогда]], когда оно [[рациональное число|рационально]].

Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в [[Теория чисел|теории чисел]] и [[Вычислительная математика|вычислительной математике]], а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в [[Математический анализ|математическом анализе]] и других разделах математики. Используются также в физике, [[Небесная механика|небесной механике]], технике и других прикладных сферах деятельности.

== Разложение в цепную дробь ==
Любое вещественное число <math>x</math> может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью <math>[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]</math>, где
: <math>a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,</math>
: <math>a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,</math>
: <math>\dots</math>
: <math>a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,</math>
: <math>\dots</math>

где <math>\lfloor x \rfloor</math> обозначает [[целая часть|целую часть]] числа <math>x</math>.

Для рационального числа <math>x</math> это разложение оборвётся по достижении нулевого <math>x_n</math> для некоторого n. В этом случае <math>x</math> представляется конечной цепной дробью <math>x = [a_0; a_1, \cdots, a_n]</math>. Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепную является [[Алгоритм Евклида#Связь с цепными дробями|алгоритм Евклида]].

Для иррационального <math>x</math> все величины <math>x_n</math> будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае <math>x</math> представляется бесконечной цепной дробью <math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]</math>. Если последовательность <math>[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] </math> состоит из бесконечно повторяющегося набора одних и тех же чисел (периода), то цепная дробь называется периодической. Число представляется бесконечной периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является [[Квадратичная иррациональность|квадратичной иррациональностью]], то есть [[Иррациональное число|иррациональным]] корнем [[Квадратное уравнение|квадратного уравнения]] с целыми коэффициентами.

== Подходящие дроби ==
''n''-й '''подходящей дробью''' для цепной дроби <math>x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]</math>, называется конечная цепная дробь <math>[a_0; a_1, \cdots, a_n]</math>, значение которой есть некоторое рациональное число <math>\frac{p_n}{q_n}</math>. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен <math>x</math>. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен <math>x</math>. Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

[[Эйлер, Леонард|Эйлер]] вывел [[рекуррентная формула|рекуррентные формулы]] для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей<ref>Это значит, что, величины <math>p_n</math> и <math>q_n</math> представляются значениями [[континуанта|континуант]]:
: <math>p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)</math>
: <math>q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)</math>
</ref>:
: <math>p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};</math>
: <math>q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.</math>

Последовательности как числителей <math>\left\{p_n\right\}</math>, так и знаменателей <math>\left\{q_n\right\}</math> подходящих дробей являются строго возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:
: {{EF|:|<math>p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},</math>|ref=1}}
Подходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда [[Сокращение дроби|несократимы]]. Перепишем соотношение в виде
: <math>\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.</math>
Отсюда следует, что
: <math>\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.</math>

== Приближение вещественных чисел рациональными ==
Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число <math>x</math> разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству
: <math>\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.</math>

Следствия.
# Подходящая дробь <math>\frac{p_n}{q_n}</math> является наилучшим приближением исходного числа среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит <math>q_n.</math>
# [[Мера иррациональности]] любого иррационального числа не меньше 2.

=== Примеры ===
Разложим число [[Пи (число)|<math>\pi = 3,14159265...</math>]] в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:
: <math>3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}, ~ ...</math>
Вторая подходящая дробь <math>22/7</math> — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь <math>355/113</math> была впервые получена в [[Математика в древнем Китае|Древнем Китае]].

=== Свойства золотого сечения ===
Ниже приведено разложение [[золотое сечение|золотого сечения]]:
:: <math>\varphi = [1;1,1,1,\dots]</math>
Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для <math>\varphi</math> не использует чисел, больших 1, состоит в том, что <math>\varphi</math> является одним из самых «плохо» [[Диофантовы приближения|приближаемых]] чисел. Точнее, [[Теорема Гурвица (теория чисел)|теорема Гурвица]]<ref>{{Cite book
  | last = Hardy
  | first = G. H.
  | last2 = Wright
  | first2 = E. M.
  | chapter = Theorem 193
  | title = An Introduction to the Theory of Numbers
  | publisher = Oxford
  | year = 1979
  | edition = Fifth}}</ref> утверждает, что любое действительное число <math>r</math> может быть приближено дробью <math>m /n</math> так, что
: <math>\left| r - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.</math>

Хотя практически все действительные числа <math>r</math> имеют бесконечно много приближений <math>m /n</math>, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от <math>r</math>, чем эта верхняя граница, приближения для <math>\varphi</math> (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы{{sfn |Дэвенпорт|1965|с=93—95}}, удерживая расстояние на почти точно <math>1 /(n^2 \sqrt 5)</math> от <math>\varphi</math>, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Можно показать, что этим свойством обладает любое действительное число вида <math>(a+b\varphi)/(c+d\varphi)</math>, где <math>a, b, c</math> и <math>d</math> являются целыми числами, причём <math>ad-bc=\pm 1 </math>; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

== Свойства и примеры ==
* Любое [[рациональное число]] может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:
:: <math> 9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;</math>
* '''Теорема Лагранжа''': Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
: Например:
:: <math>\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]</math>
:: [[золотое сечение]] <math>\varphi = [1;1,1,1,\dots]</math>
* [[Теорема Гаусса — Кузьмина]]: [[Почти всюду|Почти для всех]] (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует [[среднее геометрическое]] коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно [[Постоянная Хинчина|постоянной Хинчина]].
* [[Теорема Маршалла Холла]]. Если в разложении числа <math>x</math> в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие <math>n</math>, то говорят, что число <math>x</math> относится к классу <math>F(n)</math>. Любое вещественное число может быть представлено в виде суммы двух чисел из класса <math>F(4)</math> и в виде произведения двух чисел из класса <math>F(4).</math><ref>M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.</ref> В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представлено в виде суммы трёх чисел из класса <math>F(3)</math> и в виде суммы четырёх чисел из класса <math>F(2)</math>. Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно<ref>B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.</ref><ref>T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.</ref>.

== Открытые проблемы ==
Предпринимались попытки найти закономерности в разложениях в непрерывную дробь кубических иррациональностей{{sfn|Вычисления в алгебре и теории чисел|1976|с=155-156|loc=Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом}}, а также других [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] степени, большей 2, и [[трансцендентное число|трансцендентных чисел]]<ref name="shiu1995" />. Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, [[e (число)|основание натурального логарифма]] представимо в виде<ref>{{OEIS|A003417}}: разложение {{mvar|e}} в непрерывную дробь</ref>
: <math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots, 1, 1, 2n-2, 1, 1, 2n, \ldots],</math>
а [[тангенс]] угла в 1 радиан — в виде<ref>{{OEIS|A093178}}: разложение <math>\operatorname{tg}\,1</math> в непрерывную дробь</ref>
: <math>\operatorname{tg}\,1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \ldots, 1, 2n+1, 1, 2n+3, \ldots]</math>
У числа [[Пи (число)|<math>\pi</math>]] простой закономерности не видно<ref>{{OEIS|A001203}}: разложение <math>\pi</math> в непрерывную дробь</ref>:
: <math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]</math>
Однако для обобщённой непрерывной дроби (см. ниже раздел [[#Вариации и обобщения|Вариации и обобщения]]) прослеживается ясная закономерность.

Неизвестно, {{нп5|Ограниченные непрерывные дроби|ограничены ли сверху неполные частные разложения|en|Restricted partial quotients}} таких чисел, как <math>\sqrt[3]{2}</math> или <math>\pi</math><ref name="shiu1995">{{статья |автор = P. Shiu |заглавие = Computation of continued fractions without input values |год = 1995 |ссылка = http://www.ams.org/journals/mcom/1995-64-211/S0025-5718-1995-1297479-9/S0025-5718-1995-1297479-9.pdf}}</ref><ref>{{OEIS|A002945}}: разложение <math>\sqrt[3]{2}</math> в непрерывную дробь</ref>.

== Приложения цепных дробей ==

=== Теория календаря ===
При разработке [[Солнечный календарь|солнечного календаря]] необходимо найти рациональное приближение для числа дней в [[тропический год|году]], которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:
: <math>\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots</math>
Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу [[юлианский календарь|юлианского календаря]]. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось, поскольку оно мало отличается от следующего, гораздо более точного. Третья дробь (8/33), то есть 8 [[високосный год|високосных лет]] за период в 33 года, была предложена [[Омар Хайям|Омаром Хайямом]] в XI веке и положила начало [[Иранский календарь|персидскому календарю]], в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в [[григорианский календарь|григорианском]] — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет<ref>На самом деле из-за постепенного замедления вращения Земли, и, соответственно, постепенного уменьшения числа суток в году, подобный календарь накопил бы фактическую ошибку в одни сутки уже через 4000 лет.</ref>) пропагандировал немецкий астроном [[Медлер, Иоганн|Иоганн фон Медлер]] (1864 год), однако большого интереса он не вызвал.

=== Теория музыки ===
В теории музыки при построении [[равномерно темперированный строй|равномерно темперированного строя]] требуют, чтобы интервал [[октава|октавы]] <math>2:1</math> делился на <math>n</math> равных частей, и при этом интервал из <math>m</math> таких частей был по возможности близок к интервалу [[квинта|квинты]] <math>3:2</math>. Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для <math>\textstyle\log_2 3 \approx 1,585</math>. Третья подходящая дробь <math>5/3</math> даёт равномерно темперированную [[пентатоника|пентатонику]]. Четвёртая подходящая дробь <math>12/7</math> приводит к классическому делению [[Октава|октавы]] на 12 равных [[полутон]]ов<ref>{{книга |автор=Шилов Г. Е. |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/plm/v37.djvu |заглавие=Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы |место={{М.}} |издательство=[[Физматгиз]] |год=1963 |страниц=20 |страницы=14—15 |издание=[[Популярные лекции по математике]] |выпуск=37}}</ref>.

=== Решение сравнений первой степени ===
Рассмотрим [[Сравнение по модулю натурального числа|сравнение]]: <math>ax \equiv b \pmod m</math>, где <math>a,\ b</math> известны, причём можно считать, что <math>a</math> взаимно просто с <math>m</math>. Надо найти <math>x</math>.

Разложим <math>\frac{m}{a}</math> в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь <math>\frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}</math>. Подставим в формулу (1):
: <math>m q_{n-1} - a p_{n-1} = (-1)^{n-1}</math>
Отсюда вытекает:
: <math>a p_{n-1} \equiv (-1)^n \pmod m</math>,  или:  <math>\ a (-1)^n p_{n-1} \equiv 1 \pmod m</math>
Вывод: [[класс вычетов]] <math>x \equiv (-1)^n p_{n-1} b \pmod m</math>  является решением исходного сравнения.

=== Другие приложения ===
* Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] <math>\zeta(3)</math> ([[константа Апери]])
* Решение в целых числах [[уравнение Пелля|уравнения Пелля]]<ref>''Бугаенко В. О.'' [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.13.pdf Уравнения Пелля], М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.</ref>: <math>\;x^2-n y^2=1\;</math> и других уравнений [[Диофантов анализ|диофантова анализа]]
* Определение заведомо [[трансцендентное число|трансцендентного числа]] (см. [[Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел|теорема Лиувилля]])
* Алгоритмы [[факторизация|факторизации]] [[SQUFOF]] и [[CFRAC]].
* Характеристика [[Ортогональные многочлены|ортогональных многочленов]]
* Характеристика [[устойчивый многочлен|устойчивых многочленов]]

== Вариации и обобщения ==
Ряд источников дают обобщённое определение непрерывной дроби, допуская для числителей в её звеньях не только 1, но и другие [[Целое число|целые]] (в некоторых источниках допускаются даже [[Комплексное число|комплексные]]) числа<ref name=ME/>:
: <math>[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}\;</math>
Это обобщение повышает гибкость теории, но имеет два недостатка: разложение вещественного числа в непрерывную дробь становится неоднозначным и, кроме того, существование предела подходящих дробей уже не гарантировано — предел может быть бесконечен или вообще может отсутствовать.

Для обобщённых непрерывных дробей формулы Эйлера имеют вид{{sfn |Основы вычислительной математики|1963|с=57.}}:
: <math>p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};</math>
: <math>q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.</math>
При этом:
: <math>p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1}b_1 b_2\dots b_n</math>

Выше было сказано, что разложение числа <math>\pi</math> в классическую непрерывную дробь не содержит видимой закономерности. Для обобщённой же непрерывной дроби имеет место формула Браункера<ref>John Wallis, ''Arithmetica Infinitorum'', … (Oxford, England:  Leon Lichfield, 1656), [https://books.google.com/books?id=Z5w_AAAAcAAJ&pg=PA182#v=onepage&q&f=false page 182].  Brouncker expressed, as a continued fraction, the ratio of the area of a circle to the area of the circumscribed square (i.e., 4/''π'').   The continued fraction appears at the top of page 182 (roughly) as:  &#9744; = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c , where the square denotes the ratio that is sought.  (Note:  On the preceding page, Wallis names Brouncker as:  "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone ''Brouncher''" (Lord William Viscount and Baron Brouncker).)</ref>:
:<math>
\frac \pi 4 = \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
</math>

Другое направление обобщения состоит в построении и применении аппарата непрерывных дробей не для чисел, а для многочленов — используется тот факт, что делимость многочленов по своим свойствам близка к делимости целых чисел<ref>{{книга|автор=Хованский А. Н.|заглавие=Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2)|место=М.|издательство=Гостехиздат|год=1956}}</ref>. Всякий многочлен или [[дробно-рациональная функция]] может быть разложена в непрерывную дробь{{sfn |Основы вычислительной математики|1963|с=70—73.}}:
: <math>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</math>
Пример: получим разложение для функции <math>f(x)=\frac{1-x}{1-5x+6x^2}.</math>
: <math>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</math>

== Историческая справка ==
[[Математика в Древней Греции|Античные математики]] умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью [[Алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]]. По-видимому, именно таким путём [[Архимед]] получил приближение <math>\sqrt{3} \approx \frac {1351}{780}</math> — это 12-я подходящая дробь для <math>\sqrt{3}</math> или одна треть от 4-й подходящей дроби для <math>\sqrt{27}</math>.

[[Файл:Cataldi - Due lettioni date nella academia erigenda dove si mostra come si trovi la grandezza delle superficie rettilinee, 1613 - 87568.jpg|мини|Книга Катальди]]
В V веке индийский математик [[Ариабхата]] применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа <math>\pi</math> (355/113). В [[XVI век]]е [[Бомбелли, Рафаэль|Рафаэль Бомбелли]] извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. [[Бомбелли, Рафаэль#Цепные дроби|его алгоритм]]).

Начало современной теории цепных дробей положил в [[1613 год]]у [[Катальди, Пьетро Антонио|Пьетро Антонио Катальди]]. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил [[Валлис, Джон|Джон Валлис]], который и предложил термин ''«непрерывная дробь»''. Эквивалентный термин «''цепная дробь''» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, [[Гюйгенс, Христиан|Христиан Гюйгенс]] использовал их для проектирования зубчатых колёс своего [[Планетарий|планетария]]. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] и [[Лагранж, Жозеф Луи|Жозеф Луи Лагранж]].

== См. также ==
* [[Алгоритм Евклида]]
* [[Несократимая дробь]]
* [[Разложение Энгеля]]
* [[Числа Фибоначчи]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольд В. И.]] |заглавие=Цепные дроби |серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]] |издательство=[[МЦНМО]] |место=М. |том=14 |год=2000 |страниц=40 |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.14.pdf|ref=Арнольд}}
* {{статья |автор=Бескин Н. М. |заглавие=Цепные дроби |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |том=1 |год=1970 |страницы=16—26,62 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/01/cepnye_drobi.htm}}
* {{статья |автор=Бескин Н. М. |заглавие=Бесконечные цепные дроби |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |том=8 |год=1970 |страницы=10—20 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/08/beskonechnye_cepnye_drobi.htm}}
* {{книга |автор=Боднар Д. И. |заглавие=Ветвящиеся цепные дроби |место=К. |издательство=Наука |год=1986 |страниц=174 }}
* {{книга |автор=Бухштаб А. А. |заглавие=Теория чисел |место=М. |издательство=Просвещение |год=1966 |страниц=384 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu}}
* {{книга |автор=Виноградов И. М. |заглавие=Основы теории чисел |место=М.-Л. |издательство=Гос. изд. технико-теоретической литературы |год=1952 |страниц=180 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov1972ru.djvu}}
* {{книга |автор=Гладковский С. Н. |заглавие=Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1 |место=Незлобная |издательство= |год=2009 |страниц=138 |ссылка=http://www.archive.org/stream/AnalysisOfTheContinuedFractions.2.3-ed.2009-GladkovskiiSergeiNikolaevich/Kn1p1ed23.djvu }}
* {{книга|автор=Демидович Б. П., Марон И. А.|заглавие=Основы вычислительной математики
  |ref=Основы вычислительной математики |издание=Изд. 2-е |место=М.|издательство=Физматлит|год=1963
  |страниц=660 |страницы=53—73}}
* {{книга |автор=Депман И. Я. |заглавие=История арифметики. Пособие для учителей |издательство=Просвещение |место=М. |издание=Изд.второе |год=1965 |страницы=253—254 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm}}
* {{книга |автор=[[Дэвенпорт, Гарольд|Дэвенпорт Г.]] |ref=Дэвенпорт
  |заглавие=Высшая арифметика. Введение в теорию чисел
  |место=М. |издательство=Наука |год=1965 |ссылка=http://ega-math.narod.ru/Books/Daven2.htm}}
* {{книга |автор=Сизый С. В. |заглавие=Лекции по теории чисел |место=Екатеринбург |издательство=[[Уральский государственный университет им. А. М. Горького]] |год=1999 |ссылка=http://virlib.eunnet.net/books/numbers/}}
* {{книга |автор=Скоробогатько В. Я. |заглавие=Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике |место=М. |издательство=Наука |год=1983 |страниц=312}}
* {{книга |автор=Хинчин А. Я. |заглавие=Цепные дроби |место=М. |издательство=ГИФМЛ |год=1960 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm}}
* {{книга
 |заглавие = Вычисления в алгебре и теории чисел
 |ответственный = Пер. с англ. Э. Г. Белаги, под ред. Б. Б. Венкова и Д. К. Фаддеева
 |место = М.
 |издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год = 1976
 |серия = Математика. Новое в зарубежной науке
 |выпуск = 2
 |ref = Вычисления в алгебре и теории чисел
}}
* Brezinsky C. History of continued fractions and Padé approximants. NY: Springer, 1980.

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Цепные дроби]]
[[Категория:Дроби]]