Просмотр кода страницы Невязка

'''Невязка''' — ошибка вычислений.

Пусть требуется найти такое ''x'', что значение функции:

: <math>f(x)=b.</math>

Подставив приближенное значение ''x''<sub>0</sub> вместо ''x'', получаем невязку

: <math>b - f(x_0)</math>

а ошибка в этом случае равна

: <math>x_0 - x.</math>

Если точное значение ''x'' неизвестно, вычисление ошибки невозможно, однако при этом может быть определена невязка.

== Невязка [[Аппроксимация|аппроксимации]] функции ==
Схожее название используется в [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных]],
[[Интегральное уравнение|интегральных]] и
[[Функциональное уравнение|функциональных уравнениях]].

Для аппроксимации
<math>f_{\rm a}</math> решения
<math>f</math> уравнения
: <math> T(f)(x)=g(x) </math> ,
невязка может быть функцией
: <math>g(x)~ - ~T(f_{\rm a})(x)</math>
или по-другому максимумом нормы разности
: <math>\max_{x\in \mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)| </math> на области <math>\mathcal X</math>, где функция
<math>f_{\rm a}</math>
есть усреднённое решение <math>f</math>,
или некоторый интеграл функции разности, например,

: <math>\int_{\mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)|^2~{\rm d} x.</math>

В большинстве случаев, чем меньше невязка, тем аппроксимированное значение ближе к решению, то есть,

: <math>\left|\frac{f_{\rm a}(x) - f(x)}{f(x)}\right| \ll  1.</math>

В этом случае начальное уравнение принималось за [[Корректно поставленная задача|корректное]]; и невязка могла быть использована как показатель отклонения аппроксимации от точного решения.

== Использование невязок ==
Если точное решение неизвестно, можно использовать аппроксимацию решения с небольшой невязкой.

Невязка фигурирует во многих разделах математики, в том числе в [[Стационарный итерационный метод|итерационных методах]], таких как метод обобщенного минимума, в котором решение системы уравнений находится путём минимизации невязки.

{{rq|sources|img|topic=math}}

[[Категория:Численные методы]]