Просмотр кода страницы Натуральный логарифм 2

'''[[Натуральный логарифм]] 2''' в десятичной системе счисления ({{OEIS|A002162}}) равен приблизительно
: <math>\ln 2  \approx 0{,}693\,147\,180\,56,</math>
как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием ({{math|''b''}}) можно вычислить из соотношения
: <math>\log_b 2  = \frac{\ln 2 }{\ln b }.</math>
Десятичный логарифм числа 2 ({{OEIS2C|A007524}}) приблизительно равен
: <math>\log_{10} 2  \approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195.</math>
Обратное число к данному представляет собой [[двоичный логарифм]] 10:
: <math> \log_2 10 =\frac{1}{\log_{10} 2 } \approx 3{,}321\,928\,095</math> ({{OEIS2C|A020862}}).

{| class="wikitable"
! Число!!Приближённое значение натурального логарифма!![[OEIS]]
|-
| [[2 (число)|2]] || {{val|0.693147180559945309417232121458}} || {{OEIS|A002162}}
|-
| [[3 (число)|3]] || {{val|1.09861228866810969139524523692}} || {{OEIS|A002391}}
|-
| [[4 (число)|4]] || {{val|1.38629436111989061883446424292}} || {{OEIS|A016627}}
|-
| [[5 (число)|5]] || {{val|1.60943791243410037460075933323}} || {{OEIS|A016628}}
|-
| [[6 (число)|6]] || {{val|1.79175946922805500081247735838}} || {{OEIS|A016629}}
|-
| [[7 (число)|7]] || {{val|1.94591014905531330510535274344}} || {{OEIS|A016630}}
|-
| [[8 (число)|8]] || {{val|2.07944154167983592825169636437}} || {{OEIS|A016631}}
|-
| [[9 (число)|9]] || {{val|2.19722457733621938279049047384}} || {{OEIS|A016632}}
|-
| [[10 (число)|10]] || {{val|2.30258509299404568401799145468}} || {{OEIS|A002392}}
|}

По [[Теорема Линдемана — Вейерштрасса|теореме Линдемана — Вейерштрасса]] натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного [[Алгебраическое число|алгебраического числа]], кроме 1), является [[Трансцендентное число|трансцендентным числом]].

Неизвестно, является ли ln 2 [[Нормальное число|нормальным числом]].

== Представление в виде рядов ==
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} =\ln 2.</math>

: <math> \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} = 2\ln 2  -1.</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2  -1.</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2  -1.</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2  -\tfrac{3}{2}.</math>

: <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2  -\tfrac{1}{2}.</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2 }{2}.</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta(2n) = \frac{1-\ln 2 }{2}.</math>

: <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.</math>

: <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}\right)\frac{1}{n}.</math>

: <math>\ln 2 = \frac{2}{3} + \frac12 \sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right)\frac{1}{16^k}.</math>

: <math>\ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k\ge 0} \frac{1}{9^{k}(2k+1)}.</math>

: <math>\ln 2 = \sum_{k\ge 0} \left( \frac{14}{31^{2k+1}(2k+1) } + \frac{6}{161^{2k+1}(2k+1) } + \frac{10}{49^{2k+1}(2k+1) } \right) .</math>
: <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} .</math>
: <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} .</math>

(здесь через {{math|γ}} обозначена [[Постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера — Маскерони]], {{math|ζ}} — [[дзета-функция Римана]]).

Иногда к данной категории формул относят [[Формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа|формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа]]:
: <math>\begin{align}
 \ln 2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} + \cdots \\
  &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k \cdot k} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{1}{2^k} \left( \frac{1}{k + 1} \right) \right] \\
  &= \frac{1}{2} P\big( 1, 2, 1, (1) \big).
\end{align}</math>

== Представление в виде интегралов ==
: <math>\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2,\text{ или, равносильно, }\int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2 .</math>

: <math>\int_1^\infty \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2} = \frac{1-\ln 2 }{4}.</math>

: <math>\int_0^\infty \frac{dx}{1+e^{nx}} = \frac{\ln 2 }{n};
\int_0^\infty \frac{dx}{3+e^{nx}} = \frac{2\ln 2 }{3n}.</math>

: <math>\int_0^\infty \frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}\,dx=\ln 2 .</math>

: <math>\int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2 .</math>

: <math>\int_0^1 \ln\left(\frac{x^2-1}{x\ln x }\right)dx=-1+\ln 2 +\gamma.</math>

: <math>\int_0^\frac{\pi}{3} \operatorname{tg} x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \operatorname{tg} x \, dx=\ln 2 .</math>

: <math>\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4} \ln\left(\sin x +\cos x \right)\,dx=-\frac{\pi \ln 2 }{4}.</math>

: <math>\int_0^1 x^2\ln(1+x)\,dx=\frac{2\ln 2 }{3}-\frac{5}{18}.</math>

: <math>\int_0^1 x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\tfrac{1}{4}-\ln 2 .</math>

: <math>\int_0^1 x^3\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\tfrac{13}{96}-\frac{2\ln 2 }{3}.</math>

: <math>\int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2}\,dx = -\ln 2 .</math>

: <math>\int_0^1 \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\,dx=1-2\ln 2 .</math>

: <math>\int_0^1 \frac{dx}{x(1-\ln x )(1-2\ln x )} = \ln 2 .</math>

: <math>\int_1^\infty \frac{\ln\left(\ln x \right)}{x^3}\,dx = -\frac{\gamma+\ln 2 }{2}.</math>


== Другие формы представления числа ==
Разложение Пирса имеет вид ({{OEIS2C|A091846}})
: <math> \ln 2  = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots. </math>
[[Разложение Энгеля]] ({{OEIS2C|A059180}}):
: <math> \ln 2  = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots. </math>
Разложение в виде котангенсов имеет вид {{OEIS2C|A081785}}
: <math> \ln 2  = \operatorname{ctg}({\operatorname{arcctg}0 -\operatorname{arcctg}1 + \operatorname{arcctg}5 - \operatorname{arcctg}55 + \operatorname{arcctg}14187 -\cdots}). </math>
Представление в виде бесконечной суммы дробей<ref>{{cite book |title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers |publisher=Penguin |first=David |last=Wells |page=29 |date=1997 |isbn=0140261494}}</ref> (знакопеременный [[гармонический ряд]]):
: <math> \ln 2  = 1 -\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{4} +\tfrac{1}{5} -\cdots. </math>
Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в [[ряд Тейлора]]:

<math display="inline"> \quad\ln 2  = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{30}+\tfrac{1}{56}+\tfrac{1}{90}+\cdots </math>

Представление в виде обобщённой [[Непрерывная дробь|непрерывной дроби]]:<ref>{{статья |том=13 |издание={{Нп3|Experimental Mathematics (journal)|Exper. Math.||Experimental Mathematics (journal)}} |заглавие=On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case |страницы=278—280 |ссылка=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/EM/expmath/volumes/13/13.3/BorweinCrandallFee.pdf |doi=10.1080/10586458.2004.10504540 |язык=en |тип=journal |автор=Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. |год=2004}}</ref>
: <math> \ln 2  = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}} </math>

== Вычисление других логарифмов ==
Если известно значение {{math|ln 2}}, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел {{math|''c''}} затем определять исходя из разложения на простые множители:
: <math>c=2^i3^j5^k7^l\cdots\rightarrow \ln c = i\ln 2 +j\ln 3 +k\ln 5 +l\ln 7 +\cdots</math>

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.
{| class="wikitable sortable"
! Простое число!!Приблизительное значение натурального логарифма!![[OEIS]]
|-
| [[11 (число)|11]] || {{val|2.39789527279837054406194357797}} || {{OEIS|A016634}}
|-
| [[13 (число)|13]] || {{val|2.56494935746153673605348744157}} || {{OEIS|A016636}}
|-
| [[17 (число)|17]] || {{val|2.83321334405621608024953461787}} || {{OEIS|A016640}}
|-
| [[19 (число)|19]] || {{val|2.94443897916644046000902743189}} || {{OEIS|A016642}}
|-
| [[23 (число)|23]] || {{val|3.13549421592914969080675283181}} || {{OEIS|A016646}}
|-
| [[29 (число)|29]] || {{val|3.36729582998647402718327203236}} || {{OEIS|A016652}}
|-
| [[31 (число)|31]] || {{val|3.43398720448514624592916432454}} || {{OEIS|A016654}}
|-
| [[37 (число)|37]] || {{val|3.61091791264422444436809567103}} || {{OEIS|A016660}}
|-
| [[41 (число)|41]] || {{val|3.71357206670430780386676337304}} || {{OEIS|A016664}}
|-
| [[43 (число)|43]] || {{val|3.76120011569356242347284251335}} || {{OEIS|A016666}}
|-
| [[47 (число)|47]] || {{val|3.85014760171005858682095066977}} || {{OEIS|A016670}}
|-
| [[53 (число)|53]] || {{val|3.97029191355212183414446913903}} || {{OEIS|A016676}}
|-
| [[59 (число)|59]] || {{val|4.07753744390571945061605037372}} || {{OEIS|A016682}}
|-
| [[61 (число)|61]] || {{val|4.11087386417331124875138910343}} || {{OEIS|A016684}}
|-
| [[67 (число)|67]] || {{val|4.20469261939096605967007199636}} || {{OEIS|A016690}}
|-
| [[71 (число)|71]] || {{val|4.26267987704131542132945453251}} || {{OEIS|A016694}}
|-
| [[73 (число)|73]] || {{val|4.29045944114839112909210885744}} || {{OEIS|A016696}}
|-
| [[79 (число)|79]] || {{val|4.36944785246702149417294554148}} || {{OEIS|A016702}}
|-
| [[83 (число)|83]] || {{val|4.41884060779659792347547222329}} || {{OEIS|A016706}}
|-
| [[89 (число)|89]] || {{val|4.48863636973213983831781554067}} || {{OEIS|A016712}}
|-
| [[97 (число)|97]] || {{val|4.57471097850338282211672162170}} || {{OEIS|A016720}}
|}

На третьем шаге логарифмы [[Рациональное число|рациональных чисел]] {{math|''r'' {{=}} ''a''/''b''}} вычисляются как {{math|ln ''r'' {{=}} ln ''a'' − ln ''b''}}, логарифмы корней: {{math|ln {{radic|''c''|''n''}} {{=}} 1/''n'' ln ''c''}}.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени {{math|2{{sup|''i''}}}}, близкой к степени {{math|''b{{sup|j}}''}} другого числа {{math|''b''}} сравнительно несложно.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья
|заглавие=Fast multiple-precision evaluation of elementary functions
|издание=[[Journal of the ACM|J. ACM]]
|том=23
|номер=2
|страницы=242—251
|doi=10.1145/321941.321944
|mr=0395314
|язык=en
|тип=journal
|автор=Brent, Richard P.
|год=1976}}
* {{статья
|заглавие=Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17
|издание=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
|том=26
|страницы=205—212
|ссылка=http://www.pnas.org/content/26/3/205.full.pdf+html
|mr=0001523
|doi=10.1073/pnas.26.3.205
|язык=en
|тип=journal
|автор=Uhler, Horace S.
|год=1940}}
* {{статья
|заглавие=On the computation of Euler's constant
|издание={{Нп3|Mathematics of Computation}}
|том=17
|страницы=170—178
|doi=10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X
|mr=0160308
|язык=en
|автор=Sweeney, Dura W.
|год=1963
|тип=journal}}
* {{статья
|заглавие=Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes
|издание=[[Журнал целочисленных последовательностей|Journal of Integer Sequences]]
|ссылка=http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL6/Chamberland/chamberland60.pdf
|том=6
|страницы=03.3.7
|mr=2046407
|язык=en
|тип=journal
|автор=Chamberland, Marc
|год=2003}}
* {{статья
|заглавие=Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas
|издание=Applied Math. E-Notes
|том=7
|ссылка=http://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2007/061028-2.pdf
|mr=2346048
|страницы=237—246
|язык=en
|тип=journal
|автор=Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús
|год=2007}}
* {{статья
|заглавие=On the linear independence measure of logarithms of rational numbers
|издание={{Нп3|Mathematics of Computation}}
|том=72
|номер=242
|страницы=901—911
|doi=10.1090/S0025-5718-02-01442-4
|язык=en
|тип=journal
|автор=Wu, Qiang
|год=2003}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=NaturalLogarithmof2|title=Natural logarithm of 2}}
* {{cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Log2/log2.html|title=The logarithm constant:log 2|last1=Gourdon|first1=Xavier|last2=Sebah|first2=Pascal}}


{{Иррациональные числа}}
[[Категория:Логарифмы]]
[[Категория:Математические константы]]