Просмотр кода страницы Момент инерции

{{Физическая величина
| Название    = Момент инерции
| Символ      = <math>J = \int r^2 \mathrm dm</math>
| Размерность = L<sup>2</sup>M
| СИ          = [[Килограмм|кг]]·[[Метр|м]]²
| СГС         = [[грамм|г]]·[[Метр|см]]²
| Примечания  =
}}
{{дзт|Момент}}
'''Моме́нт ине́рции''' — [[скаляр]]ная [[физическая величина]], мера инертности во [[Вращательное движение|вращательном движении]] вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]]: [[Килограмм|кг]]·[[Метр|м]]².

Обозначение: {{math|''I''}} или {{math|''J''}}.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

== Осевой момент инерции ==
[[Файл:Moment of inertia examples.gif|thumb|250px|Осевые моменты инерции некоторых тел]]
Моментом инерции [[Механика|механической системы]] относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина {{math|''J<sub>a</sub>''}}, равная сумме произведений масс всех {{math|''n''}} [[Материальная точка|материальных точек]] системы на квадраты их расстояний до оси<ref name="ФЭ3">{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |часть= Момент инерции|ссылка часть=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/2351.html |заглавие=[[Физическая энциклопедия]] |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]] |издание= |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]] |год=1992 |том=3 |страницы=206—207 |страниц=672 |серия= |isbn=5-85270-019-3 |тираж={{число|48000}}}}</ref>:

: <math>J_a=\sum_{i=1}^n m_i r_i^2,</math>

где:
* {{math|''m<sub>i</sub>''}} — масса {{math|''i''}}-й точки,
* {{math|''r<sub>i</sub>''}} — расстояние от {{math|''i''}}-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела {{math|''J<sub>a</sub>''}} является мерой инертности тела во [[Вращательное движение|вращательном движении]] вокруг оси подобно тому, как [[масса]] тела является мерой его инертности в [[Поступательное движение|поступательном движении]].

: <math>J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV,</math>

где:
: {{math|''dm'' {{=}} ρ ''dV''}} — масса малого элемента объёма тела {{math|''dV''}},
: {{math|ρ}} — плотность,
: {{math|''r''}} — расстояние от элемента {{math|''dV''}} до оси {{math|''a''}}.

Если тело однородно, то есть его [[плотность]] всюду одинакова, то

: <math>J_a=\rho\int\limits_{(V)} r^2dV.</math>

=== Теорема Гюйгенса — Штейнера ===
{{main|Теорема Гюйгенса — Штейнера}}

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от [[масса|массы]], формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела {{math|''J''}} относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела {{math|''J<sub>c</sub>''}} относительно оси, проходящей через [[центр масс]] тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения [[Масса|массы]] тела {{math|''m''}} на квадрат расстояния {{math|''d''}} между осями<ref name="ФЭ3" />:

: <math>J=J_c+md^2,</math>

где {{math|''m''}} — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

:<math>J=J_c+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2.</math>

=== Осевые моменты инерции некоторых тел ===
{| class="standard"
|+ ''Моменты инерции'' однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
 !Тело
 !Описание
 !Положение оси {{math|''a''}}
 !Момент инерции {{math|''J<sub>a</sub>''}}
 |-
 |[[Файл:Traegheit a punktmasse.png|100px]]
 |Материальная точка массы {{math|''m''}}
 |align=center|На расстоянии {{math|''r''}} от точки, неподвижная 
 |align=center|<math>mr^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit b zylindermantel.png|100px]]
 |Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось цилиндра
 |align=center|<math>mr^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit c vollzylinder.png|100px]]
 |Сплошной цилиндр или диск радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось цилиндра
 |align=center|<math>\frac{1}{2}mr^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit d hohlzylinder2.png|100px]]
 |Полый толстостенный цилиндр массы {{math|''m''}} с внешним радиусом {{math|''r''<sub>2</sub>}} и внутренним радиусом {{math|''r''<sub>1</sub>}}
 |align=center|Ось цилиндра
 | align="center" |<math>m \frac{r_2^2+r_1^2}{2}</math>{{ref+| В правильности использования знака «+» в этой формуле можно убедиться, если сравнить моменты инерции полого толстостенного и сплошного цилиндров с одинаковыми массами. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем  сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. Именно такое соотношение моментов инерции и обеспечивает знак «+». С другой стороны, в пределе при стремлении {{math|''r''<sub>1</sub>}} к {{math|''r''<sub>2</sub>}} формула для полого ''толстостенного'' цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого ''тонкостенного'' цилиндра. Очевидно, что такой переход происходит только при использовании формулы со знаком «+».|Комм}}  <!-- Тут действительно должен быть плюс, это не ошибка. Вывод формулы есть на странице обсуждения, проверьте. -->
 |-
 |[[Файл:Traegheit e vollzylinder 2.png|100px]]
 |Сплошной цилиндр длины {{math|''l''}}, радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
 |align=center|<math>{1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit f zylindermantel 2.png|100px]]
 |Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины {{math|''l''}}, радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
 |align=center|<math>{1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit g stab1.png|100px]]
 |Прямой тонкий стержень длины {{math|''l''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
 |align=center|<math>\frac{1}{12}ml^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit h stab2.png|100px]]
 |Прямой тонкий стержень длины {{math|''l''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
 |align=center|<math>\frac{1}{3}ml^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit i kugel1.png|100px]]
 |Тонкостенная сфера радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось проходит через центр сферы
 |align=center|<math>\frac{2}{3}mr^2</math>
 |-
 |[[Файл:Traegheit j kugel1.png|100px]]
 |Шар радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось проходит через центр шара
 |align=center|<math>\frac{2}{5}mr^2</math>
 |-
 |[[Файл:Cone (geometry).svg|50px]]
 |Конус радиуса {{math|''r''}} и массы {{math|''m''}}
 |align=center|Ось конуса
 |align=center|<math>\frac{3}{10}mr^2</math>
 |-
 |
 |Равнобедренный треугольник с высотой {{math|''h''}}, основанием {{math|''a''}} и массой {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
 |align=center|<math>\frac{1}{24}m(a^2+12h^2)</math>
 |-
 |
 |Правильный треугольник со стороной {{math|''a''}} и массой {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
 |align=center|<math>\frac{1}{12}ma^2</math>
 |-
 |
 |Квадрат со стороной {{math|''a''}} и массой {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс
 |align=center|<math>\frac{1}{6}ma^2</math>
 |-
 |
 |Прямоугольник со сторонами {{math|''a''}} и {{math|''b''}} и массой {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс
 |align=center|<math>\frac{1}{12}m(a^2+b^2)</math>
 |-
 |
 |Правильный n-угольник радиуса {{math|''r''}} и массой {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс
 |align=center|<math>\frac{mr^2}{6}\left [ 1+2\cos(\pi/n)^2 \right ] </math>
 |-
 |[[Файл:Torus 3d.png|100px]]
 |[[Тор (поверхность)|Тор]] (полый) с радиусом направляющей окружности {{math|''R''}}, радиусом образующей окружности {{math|''r''}} и массой {{math|''m''}}
 |align=center|Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс
 |align=center|<math> I = m \left (\frac{3}{4} \, r^2+R^2 \right) </math>

 |}

=== Вывод формул ===
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой {{math|''dm''}} и моментами инерции {{math|''dJ<sub>i</sub>''}}. Тогда
: <math>J = \sum dJ_i = \sum R^2_idm. \qquad (1).</math>
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
: <math>J = \sum R^2dm = R^2\sum dm = mR^2.</math>
}}
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом {{math|''R''}}, внутренним радиусом {{math|''R''<sub>1</sub>}}, толщиной {{math|''h''}} и плотностью {{math|ρ}}. Разобьём его на тонкие кольца толщиной {{math|''dr''}}. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса ''r'' составит
: <math>dm = \rho dV = \rho \cdot 2\pi rhdr; \qquad dJ = r^2dm = 2\pi\rho h r^3dr. </math>
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
: <math>J = \int^R_{R_1}dJ = 2\pi\rho h\int^R_{R_1}r^3dr = </math>
: <math>= 2\pi\rho h \left. \frac{r^4}{4} \right|^R_{R_1} = \frac{1}{2}\pi\rho h \left (R^4-R^4_1 \right)
= \frac{1}{2}\pi\rho h \left (R^2-R^2_1 \right) \left (R^2+R^2_1 \right).
</math>
Поскольку объём и масса кольца равны
: <math>V = \pi \left (R^2-R^2_1 \right) h; \qquad m = \rho V = \pi\rho \left (R^2-R^2_1 \right) h, </math>
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
: <math>J = \frac{1}{2}m \left( R^2+R^2_1 \right).</math>
}}

Однородный диск (сплошной цилиндр)
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом ({{math|''R''<sub>1</sub> {{=}} 0}}), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
: <math>J = \frac{1}{2}mR^2.</math>
}}

Сплошной конус
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Разобьём конус на тонкие диски толщиной {{math|''dh''}}, перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
: <math>r = \frac{Rh}{H},</math>
где {{math|''R''}} – радиус основания конуса, {{math|''H''}} – высота конуса, {{math|''h''}} – расстояние от вершины конуса до диска.
Масса и момент инерции такого диска составят
:<math>dm = \rho dV = \rho \cdot \pi r^2 dh;</math>
:<math>dJ = \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2}\pi \rho r^4 dh
= \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{Rh}{H} \right)^4 dh;</math>
Интегрируя, получим
: <math>
\begin{align}
J = \int^H_0 dJ
= \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{R}{H} \right)^4 \int^H_0 h^4 dh
= \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{R}{H} \right)^4 \left. \frac{h^5}{5} \right|^H_0 = 
= \frac{1}{10}\pi \rho R^4H
= \left( \rho \cdot \frac{1}{3}\pi R^2H \right)\frac{3}{10}R^2 = \frac{3}{10}mR^2.
\end{align}
</math>
}}

Сплошной однородный шар
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Разобьём шар на тонкие диски толщиной {{math|''dh''}}, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте {{math|''h''}} от центра сферы, найдём по формуле
: <math>r = \sqrt{R^2-h^2}.</math>
Масса и момент инерции такого диска составят
: <math>dm = \rho dV = \rho \cdot \pi r^2 dh; </math>
: <math>dJ = \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2} \pi\rho r^4 dh
= \frac{1}{2} \pi\rho \left( R^2-h^2 \right)^2 dh
= \frac{1}{2} \pi\rho \left( R^4-2R^2h^2+h^4 \right) dh.</math>
Момент инерции шара найдём интегрированием:
: <math>
\begin{align}
J & = \int^R_{-R}dJ = 2\int^R_0 dJ
= \pi\rho\int^R_0 \left( R^4-2R^2h^2+h^4 \right) dh = \\
& = \pi\rho \left. \left( R^4h- \frac{2}{3}R^2h^3 + \frac{1}{5}h^5 \right) \right|^R_0
= \pi\rho \left( R^5 - \frac{2}{3}R^5 + \frac{1}{5}R^5 \right)
= \frac{8}{15}\pi \rho R^5 = \\
& = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \right) \cdot \frac{2}{5} R^2 = \frac{2}{5} m R^2.
\end{align}
</math>
}}

Тонкостенная сфера
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса {{math|''R''}}:
: <math>J_0 = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{8}{15}\pi \rho R^5.</math>
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности {{math|ρ}} его радиус увеличится на бесконечно малую величину {{math|''dR''}}.
: <math>
\begin{align}
J & = \frac{dJ_0}{dR}dR
= \frac{d}{dR} \left( \frac{8}{15}\pi \rho R^5 \right) dR = \\
& = \frac{8}{3}\pi \rho R^4 dR
= \left( \rho \cdot 4 \pi R^2 dR \right) \frac{2}{3} R^2
= \frac{2}{3} mR^2.
\end{align}
</math>
}}

Тонкий стержень (ось проходит через центр)
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Разобьём стержень на малые фрагменты длиной {{math|''dr''}}. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
: <math>dm = \frac{mdr}{l}; \qquad dJ = r^2dm = \frac{mr^2dr}{l}.</math>
Интегрируя, получим
: <math>J = \int^{l/2}_{-l/2} dJ = 2\int^{l/2}_0 dJ = \frac{2m}{l}\int^{l/2}_0 r^2dr
= \frac{2m}{l} \left. \frac{r^3}{3} \right|^{l/2}_0
= \frac{2m}{l} \frac{l^3}{24}
= \frac{1}{12}ml^2.</math>
}}

Тонкий стержень (ось проходит через конец)
{{Hider|
title = Вывод формулы|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние {{frac|l|2}}. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
: <math>J = J_0+mr^2 = J_0+m \left( \frac{l}{2} \right)^2
= \frac{1}{12}ml^2 + \frac{1}{4}ml^2 = \frac{1}{3}ml^2.</math>
}}

{{Врезка | Выравнивание = right | Фон = #eeeeee | Без разрывов = 1
| Заголовок = Безразмерные моменты инерции планет и их спутников<ref>[http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/index.html Planetary Fact Sheet]</ref><ref name=Showman1999>{{статья |заглавие=The Galilean Satellites |издание=Science |том=286 |страницы=77—84 |doi=10.1126/science.286.5437.77 |ссылка=http://www.lpl.arizona.edu/~showman/publications/showman-malhotra-1999.pdf |pmid=10506564 |номер=5437 |язык=en |автор=Showman, Adam P.; Malhotra, Renu |год=1999 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data |издание={{Нп3|Journal of Geophysical Research}} |том=117 |doi=10.1029/2012JE004161 |ссылка=http://mel.ess.ucla.edu/jlm/publications/Margot12.jgr117.Mercury_MoI.pdf |язык=en |тип=journal |автор=Margot, Jean-Luc; et al. |год=2012}}</ref>
|Содержание={{Безразмерные моменты инерции небесных тел}}}}

=== Безразмерные моменты инерции планет и спутников ===
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела [[Радиус|радиуса]] {{math|''r''}} и [[Масса|массы]] {{math|''m''}} равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии {{math|''r''}} (равному {{math|''mr''<sup>2</sup>}}). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение [[эффект Доплера|доплеровского смещения]] радиосигнала, передаваемого [[Автоматическая межпланетная станция|АМС]], пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у [[Луна|Луны]] безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции [[Земля|Земли]] меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра<ref>{{книга|автор=Галкин И.Н.|заглавие=Внеземная сейсмология|год=1988|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|место={{М}}|серия=[[Планета Земля и Вселенная]]|isbn=502005951X|страниц=195|тираж=15000|страницы=42-73}}</ref><ref>[http://lnfm1.sai.msu.ru/grav/russian/lecture/geophiz/node17.html Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты]</ref>.

== Центробежный момент инерции ==
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной [[Прямоугольная система координат|декартовой системы координат]] называются следующие величины<ref name="ФЭ3" /><ref name="Тарг">{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |заглавие= Краткий курс теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= «[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]»|год= 1995|том= |страниц= 416|страницы=269—271 |isbn=5-06-003117-9}}</ref>:

: <math>J_{xy}=\int\limits_{(m)} xydm=\int\limits_{(V)} xy\rho dV,</math>

: <math>J_{xz}=\int\limits_{(m)} xzdm=\int\limits_{(V)} xz\rho dV,</math>

: <math>J_{yz}=\int\limits_{(m)} yzdm=\int\limits_{(V)} yz\rho dV,</math>

где {{math|''x''}}, {{math|''y''}} и {{math|''z''}} — координаты малого элемента тела [[объём]]ом {{math|''dV''}}, [[плотность]]ю {{math|ρ}} и [[Масса|массой]] {{math|''dm''}}.

Ось OX называется ''главной осью инерции тела'', если центробежные моменты инерции {{math|''J<sub>xy</sub>''}} и {{math|''J<sub>xz</sub>''}} одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. ''Моменты инерции тела'' относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке {{math|''O''}} тела, называются '''главными моментами инерции''' данного тела<ref name="Тарг" />.

Главные оси инерции, проходящие через [[центр масс]] тела, называются ''главными центральными осями инерции тела'', а моменты инерции относительно этих осей — его ''главными центральными моментами инерции''. [[Отражение (геометрия)|Ось симметрии]] однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции<ref name="Тарг" />.

== Геометрические моменты инерции ==
'''Геометрический момент инерции объёма''' относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой<ref name="Бухгольц">{{книга |автор= [[Бухгольц, Николай Николаевич|Бухгольц Н. Н.]]|заглавие= Основной курс теоретической механики|ответственный= |издание= 4-е изд |ссылка= |место= М.|издательство= [[Наука (издательство)|«Наука»]]|год= 1966|том= 2 |страниц= |страницы=131 |isbn=}}</ref>:

: <math>J_{Va}=\int\limits_{(V)} r^2dV,</math>

где, как и ранее {{math|''r''}} — расстояние от элемента {{math|''dV''}} до оси {{math|''a''}}.

[[Размерность физической величины|Размерность]] {{math|''J<sub>Va</sub>''}} — длина в пятой степени (<math> \mathrm {dim} J_{Va}= \mathrm {L^{5}}</math>), соответственно единица измерения СИ — [[Метр|м]]<sup>5</sup>.

'''Геометрический момент инерции площади''' относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой<ref name="Бухгольц" />:

: <math>J_{Sa}=\int\limits_{(S)} r^2dS,</math>

где интегрирование выполняется по поверхности  {{math|''S''}}, а {{math|''dS''}} — элемент этой поверхности.

Размерность {{math|''J<sub>Sa</sub>''}} — длина в четвёртой степени (<math> \mathrm {dim} J_{Sa}= \mathrm {L^{4}}</math>), соответственно единица измерения СИ — [[Метр|м]]<sup>4</sup>. В строительных расчетах, литературе и [[Прокат|сортаментах металлопроката]] часто указывается в [[Сантиметр|см]]<sup>4</sup>.

Через геометрический момент инерции площади выражается [[момент сопротивления сечения]]:
: <math>W=\frac{J_{Sa}}{r_{max}}.</math>
Здесь {{math|''r<sub>max</sub>''}} — максимальное расстояние от поверхности до оси.

{| class="standard" width=70%
!  colspan=2 align=center | '''Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур'''
|-
!  width=30%  align=center | Прямоугольника высотой <math>h</math> и шириной <math>b</math>:
|  align=center | <math>J_y =\frac{bh^3}{12}</math>

<math>J_z =\frac{hb^3}{12}</math>
|-
!   width=30%  align=center | Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам <math>H</math> и <math>B</math>, а по внутренним <math>h</math> и <math>b</math> соответственно
|  align=center | <math>J_z =\frac{BH^3}{12}-\frac{bh^3}{12}=\frac{1}{12}(BH^3-bh^3)</math>

<math>J_y =\frac{HB^3}{12}-\frac{hb^3}{12}=\frac{1}{12}(HB^3-hb^3)</math>
|-
!   width=30%  align=center | Круга диаметром <math>d</math>
|  align=center | <math> J_y=J_z =\frac{\pi d^4}{64}</math>
|}

== Момент инерции относительно плоскости ==
Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости<ref name="Яблонский">{{книга |автор= Яблонский А. А. |часть=Динамика |ссылка часть= |заглавие= Курс теоретической механики|оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= 3-е изд|место= М.|издательство= «[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]» |год=1966 |том= II|страницы=102—103 |столбцы= |страниц=411 |серия= |isbn= |тираж= |ref= }}</ref>. 

Если через произвольную точку <math>O</math> провести координатные оси <math>x, y, z</math>, то моменты инерции относительно координатных плоскостей <math>xOy</math>, <math>yOz</math> и <math>zOx</math> будут выражаться формулами:

: <math>J_{xOy}= \sum_{i=1}^n m_i z_i^2\ , </math>

: <math>J_{yOz}= \sum_{i=1}^n m_i x_i^2\ , </math>

: <math>J_{zOx}= \sum_{i=1}^n m_i y_i^2\ . </math>

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

== Центральный момент инерции ==
'''Центральный момент инерции''' (''момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции'') <math>J_O</math>  — это величина, определяемая выражением<ref name="Яблонский" />:

: <math>J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV,</math>

где:
* <math>dm=\rho dV</math> — масса малого элемента объёма тела <math>dV</math>,
* <math>\rho</math> — плотность,
* <math>r</math> — расстояние от элемента <math>dV</math> до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей<ref name="Яблонский" />:

: <math>J_O=\frac{1}{2}\left(J_x+J_y+J_z\right),</math>

: <math>J_O=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.</math>

== Тензор инерции и эллипсоид инерции ==
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором <math>\vec s =  \left \Vert s_x ,  s_y , s_z \right \Vert^T  ,\left \vert \vec s \right \vert=1 </math>, можно представить в виде квадратичной [[Билинейная форма|(билинейной) формы]]:
: <math>I_s= \vec s^T \cdot \hat J \cdot \vec s, \qquad</math> (1)
где <math>\hat J </math> — [[тензор инерции]]. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры <math>3 \times 3 </math> и состоит из компонент центробежных моментов:
<br />
: <math>\hat J = \left \Vert  \begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{array} \right \Vert, </math>  
: <math>J_{xy}= J_{yx},\quad  J_{xz}= J_{zx},\quad   J_{zy}= J_{yz},\quad </math><math> J_{xx}=\int\limits_{(m)} (y^2+z^2)dm, \quad J_{yy}=\int\limits_{(m)} (x^2+z^2)dm,\quad   J_{zz}=\int\limits_{(m)} (x^2+y^2)dm. </math>

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о [[Собственные векторы, значения и пространства|собственных значениях]] для матрицы тензора <math>\hat J </math>:<br />
: <math>\hat J_d = \hat Q^T \cdot \hat J \cdot \hat Q ,</math> 
: <math>\hat J_d = \left \Vert  \begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \\ 0 & J_{Y} & 0 \\0 & 0 & J_{Z} \end{array} \right \Vert, </math><br />
где <math>\hat Q </math> — [[ортогональная матрица]] перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины <math>J_{X},J_{Y},J_{Z} </math> — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид: <br />
: <math>I_s= J_{X} \cdot s_x^2 +J_{Y} \cdot s_y^2 + J_{Z} \cdot s_z^2 ,  </math>
откуда получается уравнение [[эллипсоид]]а в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на <math>I_s</math> <br />
: <math>\left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{X}  + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Y} + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Z}  =1   </math>
и произведя замены:
: <math>\xi=  {s_x \over \sqrt {I_s}}, \eta=  {s_y \over \sqrt {I_s}}, \zeta=  {s_z \over \sqrt {I_s}}, </math>
получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах <math>\xi \eta \zeta</math>:
: <math>\xi^2 \cdot J_{X}  + \eta^2 \cdot J_{Y} + \zeta^2 \cdot J_{Z}  =1.   </math>

Расстояние от центра [[эллипсоид инерции|эллипсоида]] до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:
: <math>r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2  + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2  + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 = {1 \over I_s}. </math>

== См. также ==
{{Div col|2}}   
* [[Кинематика твёрдого тела]]
* [[Метод главных компонент#Механическая аналогия и метод главных компонент для взвешенных данных|Метод главных компонент]]
* [[Сопротивление материалов]]
* [[Теорема Штейнера]]
* [[Теорема Кёнига (механика)]]
* [[Механические приложения тройного интеграла]]
* [[Механические приложения двойного интеграла]]
* [[Полярный момент инерции]]
* [[Список моментов инерции]]
* [[Момент силы]]
* [[Момент импульса]]
{{Div col end}}

== Комментарии ==
{{примечания|group="Комм"}}

== Примечания ==
{{Примечания|30em}}

== Литература ==
* ''Матвеев. А. Н.'' Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
* ''Трофимова Т. И.'' Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
* ''Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А.'' [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000 Механика твердого тела. Лекции.] Издательство Физического факультета МГУ, 1997. 
* ''Павленко Ю. Г.'' Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
* ''Яворский Б. М.'', ''Детлаф А. А.'' Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
* ''Сивухин Д. В.'' Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
* ''Беляев Н. М.'' Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mech/opis3/mex3.htm Определение момента инерции тел простой формы].

{{Библиоинформация}}
{{Добротная статья|Физика}}

[[Категория:Классическая механика]]