Просмотр кода страницы Модель мультипликатора-акселератора

'''Модель мультипликатора-акселератора''' или '''модель [[Самуэльсон, Пол Энтони|Самуэльсона]]-[[Хикс, Джон Ричард|Хикса]]''' - динамическая экономическая модель (модель экономических циклов), связывающая экономические циклы с взаимодействием [[мультипликатор Кейнса|мультипликатора]] инвестиций (больший рост выпуска по сравнению с вызвавшим его ростом инвестиций)  и [[акселератор в макроэкономике|акселератора]] (увеличение инвестиций, индуцированное ростом выпуска).

== Описание модели ==
Модель потребительских расходов:
:<math>C_t=a_c+b_C Y_{t-1}</math>

где <math>a_C>0</math> - автономное потребление; <math>b_C</math>-склонность к потреблению, <math>0<b_C<1</math>.

Модель инвестиций:
:<math>I_t=a_I+b_I(Y_{t-1}-Y_{t-2})</math>

где <math>a_I</math> - автономные инвестиции, <math>b_I</math> - [[акселератор в макроэкономике|акселератор]], определяющий индуцированные инвестиции.

Модель государственных расходов и чистого экспорта
:<math>G_t+NX_t=a_{GNX}=const</math>

Тождество дохода (равновесие на рынке товаров и услуг):
:<math>Y_t=C_t+I_t+G_t+NX_t</math>

Подставив модель потребительских расходов и индуцированных инвестиций в условие равновесия получим следующее динамическое уравнение:
:<math>Y_t=a_C+a_I+a_{GNX}+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_IY_{t-2}=a+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_IY_{t-2}</math>

В стационарном состоянии <math>Y_t=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y^*</math>, поэтому 
:<math>Y^*=\frac {a}{1-b_C}</math>

Введем в рассмотрение отклонения выпуска от стационарного уровня <math>\Delta Y=Y-Y^*</math>. Тогда подставив <math>Y=Y^*+\Delta Y</math> в уравнение динамики выпуска получим следующее динамическое уравнение для отклонений от стационарного выпуска:
:<math>\Delta Y_t =(b_C+b_I)\Delta Y_{t-1}-b_I \Delta Y_{t-2}</math>

Это однородное [[Разностное уравнение|конечно-разностное уравнение]] второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид:
:<math>\lambda^2 -(b_C+b_I)\lambda+b_I=0</math>

Если дискриминант этого уравнения равен нулю, то имеем единственный корень <math>\lambda=\sqrt{b_I}</math> решение конечно-разностного уравнения имеет вид:
:<math>\Delta Y_t=\alpha \lambda^t+\beta t \lambda^t</math>

В противном случае решение имеет вид:
:<math>\Delta Y_t=\alpha \lambda_1^t+\beta \lambda_2^t</math>

В случае действительных корней (как в случае одного корня, так и двух) это означает, что либо имеет место монотонное экспоненциальное приближение к равновесному уровню (характеристические корни меньше единицы), либо выпуск бесконечно растет экспоненциально (корни больше единицы). 

В случае комплексных корней - они являются сопряженными вместо монотонной динамики имеет место циклическая. В самом деле, если комплексные корни равны <math>\lambda=\rho e^{\pm i \omega}</math> (<math>\rho=\sqrt{b_I}</math>), то <math>\lambda^t=\rho^t e^{\pm i \omega t}=\rho^t (\cos \omega t \pm i \sin \omega t)</math>. Таким образом, решение в случае комплексных корней имеет вид:
:<math>\Delta Y_t=b^{t/2}_I(\alpha_0 \cos \omega t+\beta_0 \sin \omega t)</math>

Таким образом, имеем затухающий циклический процесс (если акселератор меньше единицы) или циклический процесс с возрастающей амплитудой (если акселератор больше единицы). Регулярный циклический процесс имеет место только в исключительно случае, когда акселератор равен единице.

== См. также ==
[[Экономический цикл]]

[[:Категория:Экономические модели|Экономические модели]]

[[Категория: Макроэкономика]]