Просмотр кода страницы Модель Изинга

{{Статистическая физика}}

'''Модель Изинга''' — [[математическая модель]] [[статистическая физика|статистической физики]], предназначенная для описания [[Намагниченность|намагничивания]] материала.

== Описание ==
Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое ''спином'' и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из <math>2^N</math> возможных вариантов расположения спинов (где N — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

<math>E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j \, ,</math>

где <math>J</math> — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле <math>h</math> (часто полагаемое малым):

<math>E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j - h \sum_i S_i.</math>

Затем, для заданной [[обратная температура|обратной температуры]] <math> \beta=1/k_B T </math> на получившихся конфигурациях рассматривается [[распределение Гиббса]]: вероятность конфигурации полагается пропорциональной <math> e^{-\beta E(S)}</math>, и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов <math>N</math>.

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место [[фазовые переходы второго рода|фазовый переход второго рода]]: при достаточно низких температурах большая часть [[спин]]ов [[ферромагнетик]]а (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или [[точка Кюри|точкой Кюри]]. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые [[критические индексы]] расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах [[Онсагер]]ом. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования, [[ренормгруппа|ренормгруппы]]. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются [[Блочный гамильтониан|блочное построение Каданова]] и [[термодинамическая гипотеза подобия]].

Введенная изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стеклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т.д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.

== Одномерная модель Изинга ==
В случае одного измерения модель Изинга может быть представлена в виде цепочки взаимодействующих спинов. Для такой модели найдено точное решение, но в общем случае задача не имеет аналитического решения.

== Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере ==
# Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
# Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
# Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
# Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной <math>e^{-\beta E(S)}</math>, где <math> E(S)</math> — энергия в соответствующем состоянии. (Поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
# Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.

== Приложения ==
В 1982 году Хопфилдом был доказан изоморфизм модели Изинга и рекуррентных моделей нейронных сетей{{sfn|Хайкин С.|2006|с=79}}.

[[Квантовый компьютер]] компании DWave Sys. основан на модели Изинга. Однако эффективность компьютера вызывает вопросы, что явилось причиной новых исследований, цель которых корректно сравнить классические алгоритмы и алгоритмы для компьютеров DWave. Оказалось, что существуют задачи, на которых [[адиабатический]] квантовый компьютер заведомо не является эффективнее классического{{sfn|Katzgraber, Hamze, Andrist|2014|с=6}}.

== См. также ==
{{столбцы}}
{{столбец}}
* [[Решёточная модель (физика)]]
* [[Нейронная сеть Хопфилда]]
* [[Смирнов, Станислав Константинович|Станислав Смирнов]] — лауреат Филдсовской премии (2010) «за доказательство конформной инвариантности двумерной [[Перколяция|перколяции]] и модели Изинга в статистической физике»
{{столбцы/конец}}

== Примечания ==

=== Комментарии ===
{{примечания|group="прим."|colwidth=40em}}

=== Источники ===
{{примечания|colwidth=30em}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}

=== Книги ===
* {{книга
  | автор         = {{nobr|Белавин А.А.}}, {{nobr|Кулаков А.Г.}}, {{nobr|Усманов Р.А.}}
  | часть         = 
  | ссылка часть  = 
  | заглавие      = Лекции по теоретической физике
  | оригинал      = 
  | ссылка        = http://www.mccme.ru/free-books/belavin/belavin-theorphys.pdf
  | викитека      = 
  | ответственный = 
  | издание       = 
  | место         = М.
  | издательство  = [[МЦНМО]]
  | год           = 2001
  | том           = 
  | страницы      = 
  | столбцы       = 
  | страниц       = 224
  | серия         = 
  | isbn          = 5-900916-91-X
  | тираж         = 
  | ref           = Белавин и др.
}}
* {{книга
  | автор         = {{nobr|Бэкстер Р.}}
  | часть         = 
  | ссылка часть  = 
  | заглавие      = Точно решаемые модели в статистической механике
  | оригинал      = 
  | ссылка        = 
  | викитека      = 
  | ответственный = 
  | издание       = 
  | место         = М.
  | издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
  | год           = 1985
  | том           = 
  | страницы      = 
  | столбцы       = 
  | страниц       = 
  | серия         = 
  | isbn          = 
  | тираж         = 
  | ref           = Бэкстер и др.
}}
* {{книга
  | автор         = {{nobr|Хайкин С.}}
  | часть         = 
  | ссылка часть  = 
  | заглавие      = Нейронные сети: полный курс
  | оригинал      = 
  | ссылка        = 
  | викитека      = 
  | ответственный = 
  | издание       = 
  | место         = М.
  | издательство  = Издательский дом "Вильямс"
  | год           = 2006
  | том           = 
  | страницы      = 
  | столбцы       = 
  | страниц       = 1104
  | серия         = 
  | isbn          = 5-8459-0890-6
  | тираж         = 
  | ref           = Хайкин С.
}}
* {{книга
 | автор = [[Займан, Джон|Займан Дж.]]
 | заглавие = Принципы теории твердого тела
 | место = М.
 | издательство  = Мир
 | год = 1974
 | страниц = 472
 | isbn = 
 | ref = Займан
 }}

=== Научные статьи ===
* {{статья
  |автор          = {{nobr|Мейлихов Е.З.}}
  |заглавие       = Трагическая и счастливая жизнь Эрнста Изинга
  |ссылка         = http://vivovoco.astronet.ru/VV/JOURNAL/NATURE/07_06/ISING.HTM
  |издание        = Природа
  |год            = 2006
  |volume         = 
  |номер          = 7
  |pages          = 
  |место          = 
  |ref            = Мейлихов
}}
* {{статья
  |автор          = {{nobr|Stepanov I.A.}}
  |заглавие       = Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models
  |ссылка         = http://tsijournals.com/upload/toc/NSNTAIJ/6/3/3981/NSNTAIJ_3981.pdf
  |издание        = Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal
  |год            = 2012
  |volume         = 6
  |номер          = 3
  |pages          = 118-122. Free online.
  |место          = 
  |ref            = Stepanov I.A.
}}
* {{статья
  |автор          = {{nobr|Katzgraber H. G.}}, {{nobr|Hamze F.}}, {{nobr|Andrist S. R.}}
  |заглавие       = Glassy Chimeras Could Be Blind to Quantum Speedup: Designing Better Benchmarks for Quantum Annealing Machines
  |ссылка         = http://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.4.021008
  |издание        = Phys. Rev. X
  |год            = 2014
  |volume         = 4
  |номер          = 
  |pages          = 1-8
  |место          = 
  |DOI            = 10.1103/PhysRevX.4.021008
  |ref            = Katzgraber, Hamze, Andrist
}}


{{refend}}

{{Разделы статистической физики|state=expanded}}

[[Категория:Статистическая физика|*]]
[[Категория:Физика твёрдого тела|*]]
[[Категория:Модели на решётках|*]]
[[Категория:Искусственные нейронные сети|*]]
[[Категория:Именные законы и правила|Изинга]]