Просмотр кода страницы Множество Мандельброта

[[Файл:Mandelset hires.png|thumb|300px|Множество Мандельброта]]
'''Мно́жество [[Мандельброт, Бенуа|Мандельбро́та]]''' — это множество таких точек ''c'' на [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]], для которых [[Рекуррентная формула|рекуррентное соотношение]] <math>z_{n+1} = {z_n}^2 + c</math> при <math>z_0 = 0</math> задаёт ограниченную последовательность. То есть, это множество таких ''c'', для которых существует такое действительное ''R'', что неравенство |''z''<sub>''n''</sub>| < ''R'' выполняется при всех натуральных ''n''. Определение и название принадлежат {{iw|Адрие Двади| Douady||Adrien}}, в честь математика [[Мандельброт, Бенуа|Бенуа Мандельброта]]<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d’Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref>.

Множество Мандельброта является одним из самых известных [[фрактал]]ов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.

Точное значение [[Площадь|площади]] множества Мандельброта неизвестно. На 2012 год она оценивалась как 1,506 591 884 9 ± 2,8×10<sup>−9</sup>. Точная координата [[Центр масс|центра масс]] (расположенного на оси абсцисс) тоже неизвестна и оценивается как {{nobr|−0,286 768 420 48 ± 3,35×10{{sup|−9}}}}<ref>[http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html Pixel Counting]{{ref-en}}.</ref>.

== Расширенное определение ==
Вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки <math>c</math> на комплексной плоскости следующим образом:

: <math>\begin{align}
 c & = x + i \cdot y, \\
 Z_0 &= 0, \\
 Z_1 &= Z_0^2 + c = \\
  &= x + iy \\
 Z_2 &= Z_1^2 + c = \\
  &= (x + iy)^2 + x + iy = \\
  &= x^2 + 2ixy - y^2 + x + iy = \\
  &= x^2 - y^2 + x + (2xy + y)i, \\
 Z_3 &= Z_2^2 + c = \ldots
\end{align}</math>

и так далее.

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости <math>(x, y)</math>, то есть заменив <math>z_n</math> на <math>x_n + i \cdot y_n</math>, а <math>c</math> на <math>x_0 + i \cdot y_0</math>, мы получим:

: <math>x_{n+1} = {x_n}^2 - {y_n}^2 + x_0,</math>
: <math>y_{n+1} = 2{x_n} {y_n} + y_0.</math>

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой [[кардиоида|кардиоиду]]. Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.

== История множества Мандельброта ==
Впервые множество Мандельброта было описано в [[1905 год]]у [[Фату, Пьер|Пьером Фату]] ({{lang-fr|Pierre Fatou}}), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики [[комплексное число|комплексных чисел]]. Фату изучал [[рекурсия|рекурсивные]] процессы вида

: <math>z \to z^2 + c.</math>

Начав с точки <math>z_0</math> на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется ''орбитой'' <math>z_0</math> при преобразовании <math>z \to z^2 + c</math>.

Фату нашел, что орбита <math>z_0 = 0</math> при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения <math>c</math>. В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор [[Мандельброт, Бенуа|Бенуа Мандельброт]] был первым, кто использовал для этого [[компьютер]].

Фракталы были описаны Мандельбротом в [[1975 год]]у в его книге «{{lang-fr2|Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension}}» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта — один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

В 1978 году фрактал был определён и нарисован Робертом У. Бруксом и Питером Мательским как часть исследования групп Клейна<ref>Robert Brooks and Peter Matelski, ''The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C)'', in {{cite book |url=http://www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/brooksmatelski.pdf|title=Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference|author=Irwin Kra|date=1 May 1981|publisher=Princeton University Press|others=[[Bernard Maskit]]|isbn=0-691-08267-7|editor=Irwin Kra|location=|pages=}}</ref>. 1 марта 1980 года Бенуа Мандельброт первым увидел визуализации множества<ref name="bf">{{cite web |url= http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper311.pdf |title=Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers |author=R.P. Taylor & J.C. Sprott |accessdate=2009-01-01 |date=2008 |work=Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1 |publisher=Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences }}</ref>. Математическое исследование множества Мандельброта началось с работы математиков Адрие Двади (Adrien Douady) и Джона Х. Хаббарда (John H. Hubbard), которые установили многие из его фундаментальных свойств<ref name="John H. Hubbard 1985"/>.

Множество Мандельброта стало известено в середине 1980-х годов при демонстрации компьютерной графики, когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, чтобы построить и отобразить множество в высоком разрешении<ref>{{статья |заглавие=Turbocharging Mandelbrot |ссылка=https://archive.org/stream/byte-magazine-1986-09/1986_09_BYTE_11-09_The_68000_Family#page/n370/mode/1up |издание=[[Byte (журнал)|Byte]] |accessdate=2015-11-11 |язык=und |автор=Pountain, Dick |месяц=9 |год=1986}}</ref>.

== Построение множества ==
Несложно доказать, что как только модуль ''z''<sub>''n''</sub> окажется больше 2 (или, в терминах действительной и мнимой частей, ''x''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''y''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> > 4), последовательность станет стремиться к бесконечности. В случае |''c''| ⩽ 2 это можно доказать с помощью метода [[математическая индукция|математической индукции]]. При |''c''| > 2 точка ''c'' заведомо не принадлежит множеству Мандельброта, что также можно вывести методом индукции, используя равенство ''z''<sub>0</sub> = 0. (Хотя в этом случае может существовать другое ''z''<sub>0</sub>, для которого соответствующая последовательность ограничена по модулю, но для некоторого ''n'' выполняется неравенство |''z''<sub>''n''</sub>| > 2.)

Сравнение |''z''<sub>''n''</sub>| с этим числом (в англоязычной литературе его называют «{{lang-en2|bail-out}}») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально вырастает и время расчётов.

=== Добавление цвета ===
[[Файл:Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|thumb|Фрагмент границы множества Мандельброта в цветном варианте]]
Строго математически, изображения множеств Мандельброта и [[множество Жюлиа|Жюлиа]] должны быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.

Порядок определения, попадает ли точка ''z''<sub>0</sub> внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для ''z''<sub>''n''</sub> = ''x''<sub>''n''</sub> + ''y''<sub>''n''</sub>·''i'' вычисляется значение модуля <math>|z_n| = \sqrt{x_n^2 + y_n^2}</math>, которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не <math>\sqrt{x_n^2 + y_n^2} > 2</math>, а <math>x_n^2 + y_n^2 > 4</math>, что значительно снизит время расчётов.

Таким образом, если |''z''<sub>''n''</sub>|<sup>2</sup> ⩽ 4 при любом числе итераций (на практике — при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения ''n'', при котором |''z''<sub>''n''</sub>|<sup>2</sup> ⩽ 4. Значение ''n'', фактически, обозначает скорость движения ''z''<sub>''n''</sub> в бесконечность и может быть просто индексом в таблице цветов или использоваться как параметр в более сложном алгоритме.

Данный алгоритм определяет, что если точка удаляется больше чем на 2 от начала координат, то она лежит снаружи множества Мандельброта. Для того, чтобы определить, что точка лежит внутри множества, есть много способов. Самое простое решение — ограничить количество итераций неким максимумом. Если точка не вышла за указанную границу, можно считать, что она находится внутри множества.

Точкам около границы множества нужно больше итераций для ухода в бесконечность. Поэтому такие области прорисовываются заметно дольше. Чем дальше от границ множества, тем выше скорость ухода в бесконечность. Для таких точек требуется меньше итераций.

=== Оптимизация ===
Одним из способов уменьшения объёма вычислений при вычислении общей картины множества может служить проверка, попадает ли точка в область главной [[кардиоида|кардиоиды]]. Формула кардиоиды в [[полярные координаты|полярных координатах]] выглядит следующим образом:

: <math>\rho_c = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \theta.</math>

Таким образом, для точки <math>(x, y)</math> необходимо вычислить

: <math>\rho = \sqrt{\left(x - \frac{1}{4} \right)^2 + y^2},</math>
: <math>\theta = \operatorname{atn}_2 \left(y, x - \frac{1}{4}\right),</math>
: <math>\rho_c = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \theta.</math>

Если <math>\rho \leqslant \rho_c</math>, то точка <math>(x, y)</math> попадает внутрь множества и закрашивается чёрным цветом, а итеративные вычисления можно пропустить.

На практике наибольшее уменьшение объёма вычислений даёт трассировка границы: если есть некоторая замкнутая кривая, не пересекающая ось абсцисс, каждая точка которой уходит за предел {{lang-en2|bail-out}} за одинаковое число итераций или, наоборот, принадлежит множеству Мандельброта, то любая точка внутри этой кривой будет обладать тем же свойством, и следовательно вся область внутри границы закрашивается одинаковым цветом.

== Связь с множеством Жюлиа ==
[[Файл:Fractal mandel part.png|thumb|Фрагмент множества Мандельброта, лежащий в районе его границы]]
[[Файл:Fractal julia.png|thumb|Фрактал Жюлиа]]
[[Файл:Fractale.gif|thumb|Увеличение на границе множества Мандельброта формирует изображения, аналогичные [[Множество Жюлиа|множеству Жюлиа]]]]
Множество Мандельброта изначально было построено как каталог [[множество Жюлиа|множеств Жюлиа]]: каждой точке на комплексной плоскости соответствует своё множество Жюлиа. Точки, принадлежащие множеству Мандельброта, соответствуют [[связное множество|связным множествам]] Жюлиа, а точки не принадлежащие — [[несвязное множество|несвязным]].

Отсюда понятно, что интересные варианты множества Жюлиа соответствуют точкам, лежащим на границе множества Мандельброта. Точки глубоко внутри образуют простые геометрические фигуры, а внешние выглядят как пыль, окружающая цветные пятна. Некоторые программы, например, Fractint, позволяют пользователю прямо на экране указать точку, для которой необходимо построить соответствующее множество Жюлиа, упрощая поиск красивых изображений.

Множество Мандельброта и само содержит структуры, напоминающие множество Жюлиа: для любого <math>c</math> область множества Мандельброта около <math>c</math> напоминает центр множества Жюлиа с параметром <math>c</math>. Если сильно увеличить множество Мандельброта в граничной точке ''c'' и то же самое проделать с множеством Жюлиа для этого же значения ''c'' и в этой же точке, то картины будут асимптотически стремиться друг к другу при всё больших увеличениях.

== Вариации множества Мандельброта ==
Зачастую под названием «Множество Мандельброта» понимается только множество, описанное выше. Однако любая функция комплексной переменной имеет соответствующее множество Мандельброта, которое также характеризуется наличием или отсутствием связного множества Жюлиа. Например, можно положить ''f''<sub>''c''</sub>(''z'') = ''z''<sup>3</sup> + ''c''. Тогда для каждого значения ''c'' проверяется связность множества Жюлиа функции ''f''<sub>''c''</sub> и при наличии связности считается, что ''c'' принадлежит множеству Мандельброта. В описанном случае связность можно проверить тем же способом, что и для ''f''<sub>''c''</sub>(''z'') = ''z''<sup>2</sup> + ''c''.

Эти утверждения можно обобщить и на множества Жюлиа, определяемые больше, чем двумя числами. Например, множество Жюлиа, определяемое тремя действительными числами, имеет соответствующее трёхмерное множество Мандельброта.

Рассматриваются и многомерные вариации множества Мандельброта. Так, трёхмерный аналог получил название [[лампочка Мандельброта]], хотя классические аналоги на комплексных числах существуют только в размерности, равной степени 2.

== Применение множества Мандельброта ==
Множество Мандельброта находит применение для анализа возникновения турбулентности в физике плазмы и термодинамике, развития бифуркаций и т. д.{{нет АИ|17|12|2018}}

== Применение множества Мандельброта в искусстве ==
Поиск красивых изображений множества Мандельброта — интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра.

<gallery mode="packed" heights="170px">
Файл:Mandelbrot Set Image 02 by Aokoroko.jpg|Координаты центра:<br>−1,7433419053321,<br>0,0000907687489,<br>ширина 0,00000000374
Файл:Mandelbrot Set Image 04 by Aokoroko.jpg|Координаты центра:<br>−1,88488933694469,<br>0,00000000081387,<br>ширина 0,00000000000024
Файл:Mandelbrot Set Image 11 by Aokoroko.jpg|Координаты центра:<br>−0,777807810193171,<br>0,131645108003206,<br>ширина 0,0000000000000032
Файл:Mandelbrot Set Image 01 by Aokoroko.jpg|Координаты центра:<br>−0,56267837374,<br>0,65679461735,<br>ширина 0,000000064
</gallery>

Есть большое количество программ для рисования фракталов, но, несмотря на это, многие люди пишут свои программы для большей гибкости при экспериментах. Например, эти анимированные изображения были созданы таким способом.

<gallery mode="packed" heights="160px">
Файл:Mandelbrot Set Color Cycling Animation 400px 2.gif|Координаты центра:<br>−0,56267837374,<br>0,65679461735,<br>ширина 0,000000064
Файл:Mandelbrot Set Color Cycling Animation 400px.gif|Координаты центра:<br>−1,96680095,<br>0,00000478,<br>ширина 0,00000014
Файл:Mandelbrot Set Color Cycling Animation 400px 3.gif|Координаты центра:<br>−1,7433419053321,<br>0,0000907687489,<br>ширина 0,00000000374
</gallery>

== Математические факты о множестве Мандельброта ==
{{нет источников в разделе|дата=2012-12-29}}
Давди и Хаббард доказали, что множество Мандельброта является [[связное пространство|связным]], хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части. Связность множества Мандельброта следует из того, что оно является пересечением вложенных связных компактных множеств.

Однако неизвестно, является ли оно [[локально связное пространство|локально связным]]. Эта известная гипотеза в комплексной динамике получила название MLC ({{lang-en|Mandelbrot locally connected}}). Многие математики прилагают усилия к её доказательству. Жан-Кристоф Иокко (Jean-Christophe Yoccoz) доказал, что гипотеза верна во всех точках с конечной [[ренормализация|ренормализацией]], затем многие другие математики доказывали справедливость гипотезы во многих отдельных точках множества Мандельброта, но общая гипотеза остается недоказанной.

Мицухиро Шишикура (Mitsuhiro Shishikura) доказал, что [[размерность Хаусдорфа]] границы множества Мандельброта равна 2. Но остается неизвестным ответ на вопрос, имеет ли граница множества Мандельброта положительную [[мера Лебега|меру Лебега]] на плоскости.

Число [[Метод итерации|итераций]] для любой точки в построении множества очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. Точнее, предел <math>\ln\big(\ln(|z_n|)/2^n\big) + \text{const}</math> совпадает с этим потенциалом.

== Литература ==
* {{книга
|заглавие = (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах
|оригинал = The Misbehavior of Markets
|автор = [[Мандельброт, Бенуа|Бенуа Мандельброт]], Ричард Л. Хадсон
|ссылка = 
|isbn = 5-8459-0922-8
|страницы = 400
|год = 2005
|место =  М.
|издательство = [[Вильямс (издательство)|«Вильямс»]]
}}

== См. также ==
* [[Оболочка Мандельброта]]
* [[:b:Множество Мандельброта|Множество Мандельброта]] в викиучебнике (с примерами программ на разных языках)

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{навигация}}
* [http://vimeo.com/1908224 Видео: 10 минут головокружительного погружения в множество Мандельброта]
* [http://fractalworld.xaoc.ru/Mandelbrot_set_and_Julia_set Множества Мандельброта и Жюлиа на сайте FractalWorld]
* [http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness], запись выступления на конференции TED
* [http://mandelbrot.chat.ru Mandelbrot 4.0] — бесплатная (под [[GNU General Public License|общественной лицензией GNU]]) программа для создания множеств Мандельброта и Жюлиа
* [http://sourceforge.net/projects/quickman/ QuickMAN v.1.10] бесплатная (под [[GNU General Public License|общественной лицензией GNU 2]]) программа для создания множества Мандельброта{{ref-en}}
* [http://zhekuskov.ru/mandelbrot/ Интерактивная JavaScript-визуализация множества Мандельброта]
{{внешние ссылки}}
{{Фракталы}}

[[Категория:Фракталы]]