Просмотр кода страницы Метод главных компонент

'''Метод главных компонент''' ({{lang-en|principal component analysis, PCA}}) — один из основных способов уменьшить [[Размерность пространства|размерность]] данных, потеряв наименьшее количество [[информация|информации]]. Изобретён [[Пирсон, Карл|Карлом Пирсоном]] в [[1901 год в науке|1901 году]]. Применяется во многих областях, в том числе, в [[эконометрика|эконометрике]], [[биоинформатика|биоинформатике]], [[Обработка изображений|обработке изображений]], для [[сжатие данных|сжатия данных]], в [[Общественные науки|общественных науках]]{{Переход|#Примеры использования}}.

Вычисление главных компонент может быть сведено к вычислению [[Сингулярное разложение|сингулярного разложения]] матрицы данных{{Переход|#Сингулярное разложение матрицы данных}} или к вычислению [[Собственный вектор|собственных векторов]] и [[Собственное значение|собственных значений]] [[Ковариационная матрица|ковариационной матрицы]] исходных данных{{Переход|#Диагонализация ковариационной матрицы}}. Иногда метод главных компонент называют ''преобразованием Кархунена — Лоэва''<ref>Фактически, метод является эмпирической реализацией [[Теорема Карунена — Лоэва|теоремы Кархунена — Лоэва]], согласно которой любой [[случайный процесс]] может быть представлен в виде бесконечного [[Ряд (математика)|ряда]] [[Ортогональные функции|ортогональных функций]]. В русскоязычной научной литературе распространено также написание «''преобразование Карунена — Лоэва''», соответствующее английскому прочтению финской фамилии</ref> или ''преобразованием Хотеллинга'' ({{lang-en|Hotelling transform}}).

== Формальная постановка задачи ==
Задача анализа главных компонент имеет, как минимум, четыре базовых версии:
* [[аппроксимация|аппроксимировать]] данные [[линейное многообразие|линейными многообразиями]] меньшей размерности;
* найти подпространства меньшей размерности, в [[ортогональная проекция|ортогональной проекции]] на которые разброс данных (то есть [[среднеквадратичное отклонение]] от среднего значения) максимален;
* найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально;
* для данной многомерной случайной величины построить такое ортогональное преобразование координат, в результате которого [[корреляция|корреляции]] между отдельными координатами обратятся в нуль.

Первые три версии оперируют конечными множествами данных. Они эквивалентны и не используют никакой гипотезы о статистическом порождении данных. Четвёртая версия оперирует [[случайная величина|случайными величинами]]. Конечные множества появляются здесь как выборки из данного распределения, а решение трёх первых задач — как приближение к разложению по [[Теорема Карунена — Лоэва|теореме Кархунена — Лоэва]] (''«истинному преобразованию Кархунена — Лоэва»''). При этом возникает дополнительный и не вполне тривиальный вопрос о точности этого приближения.

=== Аппроксимация данных линейными многообразиями ===
[[Файл:PearsonFig.jpg|thumb|Иллюстрация к знаменитой работе Пирсона (1901): даны точки <math> P_i</math> на плоскости, <math>  p_i</math> — расстояние от <math>  P_i</math> до прямой <math> AB</math>. Ищется прямая <math>  AB</math>, минимизирующая сумму <math>\sum_i p_i^2</math>]]
Метод главных компонент начинался с задачи наилучшей аппроксимации конечного множества точек прямыми и плоскостями ([[Пирсон, Карл|Пирсон]], 1901). Дано конечное множество [[Вектор (алгебра)|векторов]] <math>x_1, x_2, \dots, x_m \in\mathbb{R}^n </math>, для каждого <math> k = 0,1, \dots, n-1 </math> среди всех <math>k</math>-мерных [[Линейное многообразие|линейных многообразий]] в <math>\mathbb{R}^n </math> найти такое <math>L_k \subset \mathbb{R}^n </math>, что сумма квадратов уклонений <math> x_i</math> от <math> L_k</math> минимальна:
: <math>\sum_{i=1}^m \operatorname{dist}^2(x_i, L_k) \to \min</math>,

где <math>\operatorname{dist}(x_i, L_k) </math> — евклидово расстояние от точки до линейного многообразия. Всякое <math>k </math>-мерное линейное многообразие в <math>\mathbb{R}^n  </math> может быть задано как множество линейных комбинаций <math>L_k = \{ a_0 +\beta_1 a_1 + \dots + \beta_k a_k | \beta_i \in \mathbb{R} \} </math>, где параметры <math> \beta_i </math> пробегают вещественную прямую <math>\mathbb{R}</math>, <math>a_0 \in \mathbb{R}^n</math> а <math>\left\{a_1, \dots , a_k \right\} \subset \mathbb{R}^n</math> — ортонормированный набор векторов
: <math>\operatorname{dist}^2(x_i, L_k) = \Vert x_i - a_0 - \sum_{j=1}^k a_j (a_j, x_i - a_0) \Vert ^2</math>,
где <math>\Vert \cdot \Vert  </math> евклидова норма, <math> \left(a_j, x_i\right) </math> — евклидово скалярное произведение, или в координатной форме:
: <math> \operatorname{dist}^2(x_i, L_k) = \sum_{l=1}^n \left(x_{il} - a_{0l}- \sum_{j=1}^k a_{jl} \sum_{q=1}^n a_{jq}(x_{iq} - a_{0q}) \right)^2 </math>.

Решение задачи аппроксимации для <math>  k = 0,1, \dots , n-1 </math> даётся набором вложенных линейных многообразий <math>L_0 \subset L_1 \subset \dots L_{n-1} </math>, <math>L_k = \{ a_0 +\beta_1 a_1 +\ldots+ \beta_k a_k | \beta_i \in \mathbb{R} \} </math>. Эти линейные многообразия определяются ортонормированным набором векторов <math>\left\{a_1,..., a_{n-1} \right\} </math> (векторами главных компонент) и вектором <math>  a_0 </math>.
Вектор <math> a_0 </math> ищется как решение задачи минимизации для <math> L_0 </math>:

: <math> a_0 = \underset{a_0\in\mathbb{R}^n}{\operatorname{argmin}} \left(\sum_{i=1}^m \operatorname{dist}^2(x_i, L_0)\right)</math>,

то есть

: <math>a_0 = \underset{a_0\in\mathbb{R}^n}{\operatorname{argmin}} \left (\sum_{i=1}^m \Vert x_i - a_0\Vert ^2\right) </math>.

Это — [[выборочное среднее]]: <math>a_0 = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m x_i = \overline{X}</math>.

[[Фреше, Морис Рене|Фреше]] в [[1948 год]]у обратил внимание, что вариационное определение среднего (как точки, минимизирующей сумму квадратов расстояний до точек данных) очень удобно для построения статистики в произвольном [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]], и построил обобщение классической статистики для общих пространств (обобщённый [[метод наименьших квадратов]]).

Векторы главных компонент могут быть найдены как решения однотипных задач [[Оптимизация (математика)|оптимизации]]:
# Централизуются данные (вычитанием среднего): <math>x_i := x_i - \overline{X}</math>. Теперь <math>\sum_{i=1}^m x_i =0 </math>;
# Отыскивается первая главная компонента как решение задачи:
#: <math>a_1 = \underset{\Vert a_1 \Vert =1}{\operatorname{argmin}} \left( \sum_{i=1}^m \Vert x_i - a_1 (a_1,x_i)\Vert ^2\right)</math>.
#: если решение не единственно, то осуществляется выбор одного из них.
# Из данных вычитается проекция на первую главную компоненту:
#: <math>x_i := x_i - a_1 \left(a_1,x_i\right) </math>;
# Отыскивается вторая главная компонента как решение задачи:
#: <math>a_2 = \underset{\Vert a_2 \Vert =1}{\operatorname{argmin}} \left( \sum_{i=1}^m \Vert x_i - a_2 (a_2,x_i)\Vert ^2\right) </math>.
#: Если решение не единственно, то выбирается одно из них.
Далее процесс продолжается, то есть на шаге <math>2k-1</math> вычитается проекция на <math>(k-1)</math>-ю главную компоненту (к этому моменту проекции на предшествующие <math>(k-2)</math> главные компоненты уже вычтены):
:: <math>x_i := x_i - a_{k-1} \left(a_{k-1},x_i\right) </math>;
и на шаге <math>2k</math> определяется <math>k</math>-я главная компонента как решение задачи:
:: <math>a_k = \underset{\Vert a_k \Vert =1}{\operatorname{argmin}} \left( \sum_{i=1}^m \Vert x_i - a_k (a_k,x_i)\Vert ^2\right) </math> (если решение не единственно, то выбирается одно из них).

На каждом подготовительном шаге <math>(2k-1)</math> вычитается проекция на предшествующую главную компоненту. Найденные векторы <math>\left\{a_1,..., a_{ n -1} \right\}</math> ортонормированы просто в результате решения описанной задачи оптимизации, однако чтобы не дать ошибкам вычисления нарушить взаимную ортогональность векторов главных компонент, можно включать <math>a_k \bot \{a_1,..., a_{k -1} \} </math> в условия задачи оптимизации.

Неединственность в определении <math> a_k</math> помимо тривиального произвола в выборе знака (<math>  a_k</math> и <math>  -a_k</math> решают ту же задачу) может быть более существенной и происходить, например, из условий симметрии данных. Последняя главная компонента <math> a_n</math> — единичный вектор, ортогональный всем предыдущим <math> a_k</math>.

=== Поиск ортогональных проекций с наибольшим рассеянием ===
[[Файл:FirstPrincipalComponent.jpg|thumb|Первая главная компонента максимизирует выборочную дисперсию проекции данных]]

Пусть нам дан центрированный набор векторов данных <math>x_i\in\mathbb{R}^n \; (i=1,...,m)</math> ([[среднее арифметическое]] значение <math> x_i </math> равно нулю). Задача — найти такое [[ортогональное преобразование]] в новую [[Прямоугольная система координат|систему координат]], для которого были бы верны следующие условия:
* [[Выборочная дисперсия]] данных вдоль первой координаты максимальна (эту координату называют первой ''главной компонентой'');
* Выборочная дисперсия данных вдоль второй координаты максимальна при условии ортогональности первой координате (вторая главная компонента);
* …
* Выборочная дисперсия данных вдоль значений <math>k</math>-ой координаты максимальна при условии ортогональности первым <math>k-1</math> координатам;
* …

[[Выборочная дисперсия]] данных вдоль направления, заданного нормированным вектором <math> a_k</math>, это
: <math>S^2_m \left[ (X, a_k) \right ] =  \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^m (a_k,x_i)^2 = \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^m \left(\sum\limits_{j=1}^n x_{ij}a_{kj} \right)^2 </math>
(поскольку данные центрированы, выборочная дисперсия здесь совпадает со средним квадратом уклонения от нуля).

Решение задачи о наилучшей аппроксимации даёт то же множество главных компонент <math>\left\{a_i\right\}</math>, что и поиск ортогональных проекций с наибольшим рассеянием, по очень простой причине: <math>\Vert x_i - a_k (a_k,x_i)\Vert ^2 = \Vert x_i\Vert ^2 - (a_k,x_i)^2, </math> и первое слагаемое не зависит от <math> a_k</math>.

=== Поиск ортогональных проекций с наибольшим среднеквадратичным расстоянием между точками ===
Ещё одна эквивалентная формулировка следует из очевидного тождества, верного для любых <math>m</math> векторов <math> x_i</math>:
: <math>\frac{1}{m(m-1)}\sum_{i,j=1}^m (x_i-x_j)^2 =\frac{2m^2}{m(m-1)}\left[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i^2 - \left(\frac{1}{m}\sum_{i}^m x_i \right)^2\right].</math>
В левой части этого тождества стоит среднеквадратичное расстояние между точками, а в квадратных скобках справа — выборочная дисперсия. Таким образом, в методе главных компонент ищутся подпространства, в проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально (или, что то же самое, его искажение в результате проекции минимально)<ref name="Зиновьев">''Зиновьев А. Ю.'', [http://pca.narod.ru/ZINANN.htm Визуализация многомерных данных], Красноярск, Изд. КГТУ, 2000.</ref>. Такая переформулировка позволяет строить обобщения с взвешиванием различных парных расстояний (а не только точек).

=== Аннулирование корреляций между координатами ===
Для заданной <math> n</math>-мерной случайной величины <math> X</math> найти такой ортонормированный базис, <math>\left\{a_1,..., a_n \right\}</math>, в котором [[ковариация|коэффициент ковариации]] между различными координатами равен нулю. После преобразования к этому базису

: <math>\operatorname{cov}(X_i,X_j)=0</math> для <math>i \neq j </math>.

Здесь <math> \operatorname{cov}(X_i,X_j)= \operatorname{E}[(X_i-\operatorname{E}[X_i])(X_j-\operatorname{E}[X_j])] </math> — коэффициент ковариации, где <math> \operatorname{E} </math> — [[математическое ожидание]].

== Диагонализация ковариационной матрицы ==
Все задачи о главных компонентах приводят к задаче диагонализации ковариационной матрицы или выборочной ковариационной матрицы. Эмпирическая или выборочная ковариационная матрица, это
: <math>C = [c_{ij}],\ c_{ij} = \frac{1}{m-1} \sum_{l=1}^m (x_{li}-\overline{X_{i}})(x_{lj}-\overline{X_{j}}).</math>
[[Ковариационная матрица]] многомерной случайной величины <math> X</math>, это
: <math>\Sigma = [\sigma_{ij}],\ \sigma_{ij} = \operatorname{cov}(X_i,X_j)=\operatorname{E}[(X_i-\operatorname{E}[X_i])(X_j-\operatorname{E}[X_j])].</math>
Векторы главных компонент для задач о наилучшей аппроксимации и о поиске ортогональных проекций с наибольшим рассеянием — это ортонормированный набор <math> \left\{a_1,..., a_n \right\}</math> собственных векторов эмпирической ковариационной матрицы <math>C</math>, расположенных в порядке убывания собственных значений <math>\lambda: \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_n \ge 0. </math> Эти векторы служат оценкой для собственных векторов ковариационной матрицы <math>\operatorname{cov}(X_i,X_j) </math>. В базисе из собственных векторов ковариационной матрицы она, естественно, диагональна, и в этом базисе коэффициент ковариации между различными координатами равен нулю.

Если спектр ковариационной матрицы вырожден, то выбирают произвольный ортонормированный базис собственных векторов. Он существует всегда, а собственные числа ковариационной матрицы всегда вещественны и неотрицательны.

== Сингулярное разложение матрицы данных ==
{{main|Сингулярное разложение}}

=== Идея сингулярного разложения ===
Математическое содержание метода главных компонент — это ''спектральное разложение'' ковариационной матрицы <math> C </math>, то есть представление пространства данных в виде суммы взаимно ортогональных собственных подпространств <math> C </math>, а самой матрицы <math> C </math> — в виде линейной комбинации ортогональных проекторов на эти подпространства с коэффициентами <math> \lambda_i </math>. Если <math>\operatorname{X}=\left\{x_1,..., x_m \right\}^T</math> — матрица, составленная из векторов-строк (размерности <math>n</math>) центрированных данных, то <math> C =\frac{1}{m-1} \operatorname{X}^T\operatorname{X}</math> и задача о спектральном разложении ковариационной матрицы <math>C</math> превращается в задачу о сингулярном разложении матрицы данных <math>\operatorname{X}</math>.

Число <math> \sigma \geq 0 </math> называется сингулярным числом матрицы <math>\operatorname{X}</math> тогда и только тогда, когда существуют '''правый и левый сингулярные векторы''': такие <math>m</math>-мерный вектор-строка <math>b_{\sigma}</math> и <math>n</math>-мерный вектор-столбец <math>a_{\sigma}</math> (оба единичной длины), что выполнено два равенства:
: <math>\operatorname{X} a_{\sigma} = \sigma b_{\sigma}^T ;\, \, b_{\sigma} \operatorname{X}= \sigma a_{\sigma}^T.</math>
Пусть <math>p= \operatorname{rang} \operatorname{X} \leq \min\{n,m\}</math> — [[ранг матрицы]] данных. Сингулярное разложение матрицы данных <math>\operatorname{X}</math> — это её представление в виде
: <math>\operatorname{X}= \sum_{l=1}^p \sigma_l b_l^T a_l^T ; \;\operatorname{X}^T= \sum_{l=1}^p \sigma_l a_l b_l \; \left(x_{ij}=\sum_{l=1}^p \sigma_l b_{li}a_{lj}\right),</math>
где <math>\sigma_l > 0</math> — сингулярное число, <math>a_l=(a_{lj}), \, j=1,... n</math> — соответствующий правый сингулярный вектор-столбец, а <math>b_l=(b_{li}), \, i=1,... m</math> — соответствующий левый сингулярный вектор-строка (<math>l=1,...p</math>). Правые сингулярные векторы-столбцы <math>a_l</math>, участвующие в этом разложении, являются векторами главных компонент и собственными векторами эмпирической ковариационной матрицы
<math>C =\frac{1}{m-1}\operatorname{X} ^T \operatorname{X} </math>, отвечающими положительным собственным числам <math> \lambda_l=\frac{1}{m-1}\sigma_l^2 > 0 </math>.

Хотя формально задачи сингулярного разложения матрицы данных и спектрального разложения ковариационной матрицы совпадают, алгоритмы вычисления сингулярного разложения напрямую, без вычисления ковариационной матрицы и её спектра, более эффективны и устойчивы<ref>''Bau III, D., Trefethen, L. N.'', [https://books.google.com/books?id=bj-Lu6zjWbEC&pg=PA136&dq=isbn:9780898713619&sig=BmAatL8LDJZZRhfJIFVRHLQNJw0#PPP1,M1 Numerical linear algebra], Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. (Lecture 31) ISBN 978-0-89871-361-9</ref>.

Теория сингулярного разложения была создана [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Джеймсом Джозефом Сильвестром]] в [[1889 год в науке|1889 году]] и изложена во всех подробных руководствах по теории матриц<ref>''[[Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]'', Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 стр.</ref>.

=== Простой итерационный алгоритм сингулярного разложения ===
Основная процедура — поиск наилучшего приближения произвольной <math>m \times n</math> матрицы <math>X=(x_{ij})</math> матрицей вида <math>b \otimes a = (b_i a_j)</math> (где <math>b</math> — <math>m</math>-мерный вектор, а <math>a</math> — <math>n</math>-мерный вектор) методом наименьших квадратов:
: <math>F(b, a) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (x_{ij} - b_i a_j )^2 \to \min</math>
Решение этой задачи дается последовательными итерациями по явным формулам. При фиксированном векторе <math>a=(a_j) </math> значения <math>b=(b_i) </math>, доставляющие минимум форме <math>F(b, a) </math>, однозначно и явно определяются из равенств <math>\partial F/ \partial b_i = 0</math> :

: <math>\frac{\partial F}{\partial b_i} = - \sum_{j=1}^n (x_{ij} - b_i a_j )a_j = 0; \;\; b_i = \frac{\sum_{j=1}^n x_{ij}  a_j}{\sum_{j=1}^n a_j^2 }\, . </math>
Аналогично, при фиксированном векторе <math>b =(b_ i) </math> определяются значения <math>a=(a_j) </math>:
: <math>a_j = \frac{\sum_{i=1}^m b_i x_{ij} }{\sum_{i =1}^m b_i ^2 }\, . </math>

B качестве начального приближения вектора <math>a</math> берётся случайный вектор единичной длины, вычисляем вектор <math>b</math>, далее для этого вектора <math>b</math> вычисляем вектор <math>a</math> и т. д. Каждый шаг уменьшает значение <math>F(b, a) </math>. В качестве критерия остановки используется малость относительного уменьшения значения минимизируемого функционала <math>F(b, a) </math> за шаг итерации (<math>\Delta F / F </math>) или малость самого значения <math>F</math>.

В результате для матрицы <math>X=(x_{ij})</math> получается наилучшее приближение матрицей <math>P_1</math> вида <math>b^1 \otimes a^1 = (b_i^1  a_j^1)</math> (здесь верхним индексом обозначен номер приближения). Далее, из матрицы <math>X</math> вычитается полученная матрицу <math>P_1</math>, и для полученной матрицы уклонений <math>X_1=X-P_1</math> вновь ищется наилучшее приближение <math>P_2</math> этого же вида и т. д., пока, например, норма <math>X_k</math> не станет достаточно малой. В результате получили итерационную процедуру разложения матрицы <math>X</math> в виде суммы матриц ранга 1, то есть <math>X=P_1+P_2+\ldots +P_q  \;  (P_l = b^l \otimes a^l) </math> . Полагаем <math> \sigma_l = \|a^l\| \|b^l\|</math> и нормируем векторы <math> a^l \, , \, b^l</math>: <math>a^l:= a^l/ \| a^l\|; \, \, b^l:= b^l/ \| b^l\|.</math> В результате получена аппроксимация сингулярных чисел <math> \sigma_l </math> и сингулярных векторов (правых — <math> a^l</math> и левых — <math>b^l</math>).

К достоинствам этого алгоритма относится его исключительная простота и возможность почти без изменений перенести его на данные с пробелами<ref>''Россиев А. А.'',: [http://pca.narod.ru/DisRos.htm Итерационное моделирование неполных данных с помощью многообразий малой размерности], Изд-во СО РАН, 2005.</ref>, а также взвешенные данные.

Существуют различные модификации базового алгоритма, улучшающие точность и устойчивость. Например, векторы главных компонент <math>a^l</math> при разных <math>l</math> должны быть ортогональны «по построению», однако при большом числе итерации (большая размерность, много компонент) малые отклонения от ортогональности накапливаются и может потребоваться специальная коррекция <math>a^l</math> на каждом шаге, обеспечивающая его ортогональность ранее найденным главным компонентам.

Для квадратных симметричных положительно определённых матриц описанный алгоритм превращается в метод прямых итераций для поиска собственных векторов (см. статью [[Собственные векторы, значения и пространства]]).

=== Сингулярное разложение тензоров и тензорный метод главных компонент ===
Часто вектор данных имеет дополнительную структуру прямоугольной таблицы (например, плоское изображение) или даже многомерной таблицы — то есть [[тензор]]а: <math>x_{i_{1}i_{2}...i_{q}}</math>, <math>1 \leq i_{j} \leq n_j</math>. В этом случае также эффективно применять сингулярное разложение. Определение, основные формулы и алгоритмы переносятся практически без изменений: вместо матрицы данных имеем <math>q+1</math>-индексную величину <math>\operatorname{X}=(x_{i_{0}i_{1}i_{2}...i_{q}})</math>, где первый индекс <math>i_{0}</math>-номер точки (тензора) данных.

Основная процедура — поиск наилучшего приближения тензора <math>x_{i_{0}i_{1}i_{2}...i_{q}}</math> тензором вида <math>a^0_{i_{0}} a^1_{i_{1}}a^2_{i_{2}}...a^q_{i_{q}}</math> (где <math>a^0=(a^0_{i_{0}})</math> — <math>m</math>-мерный вектор (<math>m</math> — число точек данных), <math>a^l=(a^l_{i_{l}})</math> — вектор размерности <math>n_l</math> при <math>l>0</math>) методом наименьших квадратов:
: <math>F= \frac{1}{2}\sum_{i_{0}=1}^m \sum_{i_{1}=1}^{n_1}...\sum_{i_{q}=1}^{n_q} (x_{i_{0}i_{1}...i_{q}} - a^0_{i_{0}} a^1_{i_{1}}...a^q_{i_{q}})^2 \to \min</math>

Решение этой задачи дается последовательными итерациями по явным формулам. Если заданы все векторы-сомножители кроме одного <math>a^k_{i_{k}}</math>, то этот оставшийся определяется явно из достаточных условий минимума.
: <math>a^k_{i_{k}}= \frac{\sum_{i_{0}=1}^m
\sum_{i_{1}=1}^{n_1}...\sum_{i_{k-1}=1}^{n_{k-1}}\sum_{i_{k+1}=1}^{n_{k+1}}...\sum_{i_{q}=1}^{n_{q}}
x_{i_{0}i_{1}...i_{k-1}i_{k}i_{k+1}...i_{q}} a^0_{i_{0}}
a^{k-1}_{i_{k-1}}a^{k+1}_{i_{k+1}}...a^q_{i_{q}}}{\prod_{j\neq k}
\|a^j\|^2 }\, . </math>

B качестве начального приближения векторов <math>a^l=(a^l_{i_{l}})</math> (<math>l>0</math>) берутся случайные векторы единичной длины, вычислим вектор <math>a^0</math>, далее для этого вектора <math>a^0</math> и данных векторов <math>a^2 , a^3, ...</math> вычисляется вектор <math>a^1</math> и так далее (циклически перебирая индексы). Каждый шаг уменьшает значение <math>F(b, a)</math>. Алгоритм, очевидно, сходится. В качестве критерия остановки используется малость относительного уменьшения значения минимизируемого функционала <math>F</math> за цикл или малость самого значения <math>F</math>. Далее, из тензора <math>\operatorname {X}</math> вычитается полученное приближение <math>a^0_{i_{0}} a^1_{i_{1}}a^2_{i_{2}}...a^q_{i_{q}}</math> и для остатка вновь ищется наилучшее приближение этого же вида и т. д., пока, например, норма очередного остатка не станет достаточно малой.

Это многокомпонентное сингулярное разложение (тензорный метод главных компонент) успешно применяется при обработке изображений, видеосигналов, и, шире, любых данных, имеющих табличную или тензорную структуру.

== Матрица преобразования к главным компонентам ==
Матрица <math>A</math> преобразования данных к главным компонентам состоит из векторов главных компонент, расположенных в порядке убывания собственных значений:
: <math>A=\left \{a_1,...,a_n \right \}^T</math> (<math>{\,}^T</math> означает транспонирование),
причём
: <math>A A^T=1.</math>
То есть, матрица <math>A</math> является [[Ортогональная матрица|ортогональной]].

Большая часть вариации данных будет сосредоточена в первых координатах, что позволяет перейти к пространству меньшей размерности.

== Остаточная дисперсия ==
Пусть данные центрированы, <math>\overline{ X}=0</math>. При замене векторов данных <math> x_i</math> на их проекцию на первые <math> k</math> главных компонент <math>x_i \mapsto \sum_{j=1}^k a_j (a_j, x_i) </math> вносится средний квадрат ошибки в расчете на один вектор данных:
: <math>\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left\Vert x_i - \sum_{j=1}^k a_j (a_j, x_i) \right \Vert ^2=\sum_{l=k+1}^n \lambda_l, </math>
где <math>\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_n \ge 0</math> собственные значения эмпирической ковариационной матрицы <math>C</math>, расположенные в порядке убывания, с учётом кратности.

Эта величина называется ''остаточной дисперсией''. Величина
: <math>\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left\Vert \sum_{j=1}^k a_j (a_j, x_i) \right \Vert ^2=
\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m  \sum_{j=1}^k (a_j, x_i)^2=\sum_{l=1}^k \lambda_l </math>
называется ''объяснённой дисперсией''. Их сумма равна выборочной дисперсии. Соответствующий квадрат относительной ошибки — это отношение остаточной дисперсии к выборочной дисперсии (то есть ''доля необъяснённой дисперсии''):
: <math>\delta^2_k=\frac{\lambda_{k+1}+\lambda_{k+2}+\ldots+\lambda_{n}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}}.</math>

По относительной ошибке <math> \delta_k</math> оценивается применимость метода главных компонент с проецированием на первые <math> k</math> компонент.

'''Замечание''': в большинстве вычислительных алгоритмов собственные числа <math> \lambda_i</math> с соответствующими собственными векторами — главными компонентами <math> a_i</math> вычисляются в порядке «от больших <math> \lambda_i</math> — к меньшим». Для вычисления <math> \delta_k</math> достаточно вычислить первые <math> k</math> собственных чисел и след эмпирической ковариационной матрицы <math>C</math>, <math>\operatorname{tr} C</math> (сумму диагональных элементов <math>C</math>, то есть дисперсий по осям). Тогда
: <math>\delta^2_k=\frac{1}{\operatorname{tr} C}\left(\operatorname{tr} C -\sum_{i=1}^k \lambda_{i}\right).</math>

== Отбор главных компонент по правилу Кайзера ==
Целевой подход к оценке числа главных компонент по необходимой доле объяснённой дисперсии формально применим всегда, однако неявно он предполагает, что нет разделения на «сигнал» и «шум», и любая заранее заданная точность имеет смысл. Поэтому часто более продуктивна иная [[эвристика]], основывающаяся на гипотезе о наличии «сигнала» (сравнительно малая размерность, относительно большая амплитуда) и «шума» (большая размерность, относительно малая амплитуда). С этой точки зрения метод главных компонент работает как фильтр: сигнал содержится, в основном, в проекции на первые главные компоненты, а в остальных компонентах пропорция шума намного выше.

Вопрос: как оценить число необходимых главных компонент, если отношение «сигнал/шум» заранее неизвестно?

Простейший и старейший метод отбора главных компонент даёт '''правило Кайзера''' ({{lang-en|Kaiser's rule}}): значимы те главные компоненты, для которых
: <math>\lambda_i > \frac{1}{n} \operatorname{tr} C ,</math>
то есть <math>\lambda_i </math> превосходит среднее значение <math>\lambda </math> (среднюю выборочную дисперсию координат вектора данных). Правило Кайзера хорошо работает в простых случаях, когда есть несколько главных компонент с <math>\lambda_i </math>, намного превосходящими среднее значение, а остальные собственные числа меньше него. В более сложных случаях оно может давать слишком много значимых главных компонент. Если данные нормированы на единичную выборочную дисперсию по осям, то правило Кайзера приобретает особо простой вид: значимы только те главные компоненты, для которых <math>\lambda_i > 1 .</math>

== Оценка числа главных компонент по правилу сломанной трости ==
[[Файл:5DFig.png|thumb|Пример: оценка числа главных компонент по правилу сломанной трости в размерности 5.]]
Одним из наиболее популярных эвристических подходов к оценке числа необходимых главных компонент является '''правило сломанной трости''' ({{lang-en|Broken stick model}})<ref>''Cangelosi R. '', ''Goriely A.'', [http://www.biology-direct.com/content/2/1/2 Component retention in principal component analysis with application to cDNA microarray data], Biology Direct 2007, 2:2. [http://pca.narod.ru/ А также на сайте PCA].</ref>. Набор нормированных на единичную сумму собственных чисел (<math>\lambda_i / \operatorname{tr} C</math>, <math>i=1,...n</math>) сравнивается с распределением длин обломков трости единичной длины, сломанной в <math>n-1</math>-й случайно выбранной точке (точки разлома выбираются независимо и равнораспределены по длине трости). Пусть <math>L_i</math> (<math>i=1,...n</math>) — длины полученных кусков трости, занумерованные в порядке убывания длины: <math>L_1 \geq L_2 \geq... L_n</math>. Нетрудно найти [[математическое ожидание]] <math>L_i</math>:
: <math>l_i=\operatorname{E}(L_i)=\frac{1}{n}\sum_{j=i}^{n} \frac{1}{j}.</math>
По правилу сломанной трости <math>k</math>-й собственный вектор (в порядке убывания собственных чисел <math>\lambda_i</math>) сохраняется в списке главных компонент, если
: <math>\frac{\lambda_1}{\operatorname{tr} C}>l_1 \; and \; \frac{\lambda_2}{\operatorname{tr} C}>l_2  \; and \; ... \frac{\lambda_k}{\operatorname{tr} C}>l_k .</math>
На Рис. приведён пример для 5-мерного случая:
: <math>l_1</math>=(1+1/2+1/3+1/4+1/5)/5; <math>l_2</math>=(1/2+1/3+1/4+1/5)/5; <math>l_3</math>=(1/3+1/4+1/5)/5; <math>l_4</math>=(1/4+1/5)/5; <math>l_5</math>=(1/5)/5.
Для примера выбрано
: <math>\frac{\lambda_1}{\operatorname{tr} C}</math>=0.5; <math>\frac{\lambda_2}{\operatorname{tr} C}</math>=0.3; <math>\frac{\lambda_3}{\operatorname{tr} C}</math>=0.1; <math>\frac{\lambda_4}{\operatorname{tr} C}</math>=0.06; <math>\frac{\lambda_5}{\operatorname{tr} C}</math>=0.04.
По правилу сломанной трости в этом примере следует оставлять 2 главных компоненты:
: <math>\frac{\lambda_1}{\operatorname{tr} C}>l_1 \;; \; \frac{\lambda_2}{\operatorname{tr} C}>l_2 \;; \;\frac{\lambda_3}{\operatorname{tr} C}<l_3\;.</math>

По оценкам пользователей, правило сломанной трости имеет тенденцию занижать количество значимых главных компонент.

== Нормировка ==

=== Нормировка после приведения к главным компонентам ===
''После'' проецирования на первые <math> k</math> главных компонент с <math>\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_k > 0</math> удобно произвести нормировку на единичную (выборочную) дисперсию по осям. Дисперсия вдоль <math> i</math>й главной компоненты равна
<math>\lambda_i > 0 \; (1 \le i \le k</math>), поэтому для нормировки надо разделить соответствующую координату на <math> \sqrt{ \lambda_i}</math>. Это преобразование не является ортогональным и не сохраняет скалярного произведения. Ковариационная матрица проекции данных после нормировки становится единичной, проекции на любые два ортогональных направления становятся независимыми величинами, а любой ортонормированный базис становится базисом главных компонент (напомним, что нормировка меняет отношение ортогональности векторов). Отображение из пространства исходных данных на первые <math> k</math> главных компонент вместе с нормировкой задается матрицей

: <math>K=\left \{\frac{a_1}{\sqrt{ \lambda_1}},\frac{a_2}{\sqrt{ \lambda_2}},...,\frac{a_k}{\sqrt{ \lambda_k}} \right \}^T</math>.

Именно это преобразование чаще всего называется преобразованием Кархунена — Лоэва. Здесь <math> a_i</math> — векторы-столбцы, а верхний индекс <math> T</math> означает транспонирование.

=== Нормировка до вычисления главных компонент ===
<!-- дидактику надо как-то переформулировать -->
'''Предупреждение''': не следует путать нормировку, проводимую после преобразования к главным компонентам, с нормировкой и «обезразмериванием» при ''предобработке данных'', проводимой до вычисления главных компонент. Предварительная нормировка нужна для обоснованного выбора метрики, в которой будет вычисляться наилучшая аппроксимация данных, или будут искаться направления наибольшего разброса (что эквивалентно). Например, если данные представляют собой трёхмерные векторы из «метров, литров и килограммов», то при использовании стандартного евклидового расстояния разница в 1 метр по первой координате будет вносить тот же вклад, что разница в 1 литр по второй, или в 1 кг по третьей. Обычно системы единиц, в которых представлены исходные данные, недостаточно точно отображают наши представления о естественных масштабах по осям, и проводится «обезразмеривание»: каждая координата делится на некоторый масштаб, определяемый данными, целями их обработки и процессами измерения и сбора данных.

Есть три существенно различных стандартных подхода к такой нормировке: на ''единичную дисперсию'' по осям (масштабы по осям равны средним квадратичным уклонениям — после этого преобразования ковариационная матрица совпадает с матрицей [[Коэффициент корреляции|коэффициентов корреляции]]), на ''равную точность измерения'' (масштаб по оси пропорционален точности измерения данной величины) и на ''равные требования'' в задаче (масштаб по оси определяется требуемой точностью прогноза данной величины или допустимым её искажением — уровнем толерантности). На выбор предобработки влияют содержательная постановка задачи, а также условия сбора данных (например, если коллекция данных принципиально не завершена и данные будут ещё поступать, то нерационально выбирать нормировку строго на единичную дисперсию, даже если это соответствует смыслу задачи, поскольку это предполагает перенормировку всех данных после получения новой порции; разумнее выбрать некоторый масштаб, грубо оценивающий стандартное отклонение, и далее его не менять).

Предварительная нормировка на единичную дисперсию по осям разрушается поворотом системы координат, если оси не являются главными компонентами, и нормировка при предобработке данных не заменяет нормировку после приведения к главным компонентам.

== Механическая аналогия и метод главных компонент для взвешенных данных ==
Если сопоставить каждому вектору данных единичную массу, то эмпирическая ковариационная матрица
<math> C</math> совпадёт с [[Момент инерции#Тензор инерции и эллипсоид инерции|тензором инерции]] этой системы точечных масс (делённым на полную массу <math> m</math>), а задача о главных компонентах — с задачей приведения тензора инерции к главным осям. Можно использовать дополнительную свободу в выборе значений масс для учёта важности точек данных или надежности их значений (важным данным или данным из более надежных источников приписываются бо́льшие массы). Если '''вектору данных <math> x_l</math> придаётся масса <math> w_l</math>,''' то вместо эмпирической ковариационной матрицы <math> C</math> получим
: <math>C^w = [c^w_{ij}],\ c^w_{ij} = \frac{1}{\sum_{l} w_l} \sum_{l=1}^m w_l(x_{li}-\overline{X_{i}})(x_{lj}-\overline{X_{j}}).</math>
Все дальнейшие операции по приведению к главным компонентам производятся так же, как и в основной версии метода: ищется ортонормированный собственный базис <math> C^w</math>, упорядочивается по убыванию собственных значений, оценивается средневзвешенная ошибка аппроксимации данных первыми <math>k</math> компонентами (по суммам собственных чисел <math> C^w</math>), проводится нормировка и так далее.

Более общий способ взвешивания даёт '''максимизация взвешенной суммы попарных расстояний'''<ref>''Koren Y., Carmel L.,'' Robust linear dimensionality reduction, IEEE Transactions on Visualisation and Computer Graphics, 10 (4) (2004), 459—470. [http://pca.narod.ru/ А также на сайте PCA]</ref> между проекциями. Для каждых двух точек данных, <math>x_l , \ x_q</math> вводится вес <math>d_{lq}</math>; <math>d_{lq}=d_{ql}</math> и <math>d_{l}=\sum_{q=1}^m d_{lq}</math>. Вместо эмпирической ковариационной матрицы <math> C</math> используется
: <math>C^d = [c^d_{ij}],\ c^d_{ij} =\sum_{l=1}^m d_l (x_{li}-\overline{X_{i}})(x_{lj}-\overline{X_{j}})  -\sum_{l \neq q, \ l,q=1}^m d_{lq}(x_{li} - \overline{X_{i}})(x_{qj}- \overline{X_{j}}).</math>
При <math>d_{lq}>0</math> симметричная матрица <math>C^d</math> положительно определена, поскольку положительна квадратичная форма:
: <math>\sum_{ij} c^d_{ij}a_i a_j = \frac{1}{2}\sum_{lq}d_{lq}\left(\sum_ia_i(x_{li}-x_{qi})\right)^2.</math>
Далее ищем ортонормированный собственный базис <math> C^d</math>, упорядочиваем его по убыванию собственных значений, оцениваем средневзвешенную ошибку аппроксимации данных первыми <math> k</math> компонентами и т. д. — в точности так же, как и в основном алгоритме.

Этот способ применяется при наличии классов: для <math>x_l , \ x_q</math> из разных классов вес <math>d_{lq}</math> вес выбирается бо́льшим, чем для точек одного класса. В результате, в проекции на взвешенные главные компоненты различные классы «раздвигаются» на большее расстояние.

Другое применение — снижение влияния больших уклонений, так называемых [[Выброс (статистика)|аутлайеров]] (en.:outlier), которые могут искажать картину из-за использования среднеквадратичного расстояния: если выбрать <math>d_{lq}=1/ \| x_l -x_q \|</math>, то влияние больших уклонений будет уменьшено. Таким образом, описанная модификация метода главных компонент является более [[Робастность в статистике|робастной]], чем классическая.

== Специальная терминология ==
<!-- Лучше перенести в [[Глоссарий статистики]] при появлении оного-->
В статистике при использовании метода главных компонент используют несколько специальных терминов.
* ''Матрица данных'' — <math>\mathbf{X}=\{x_1,... x_m\}^T</math>; каждая строка — вектор ''предобработанных'' данных (''центрированных'' и правильно ''нормированных''), число строк — <math>m</math> (количество векторов данных), число столбцов — <math>n</math> (размерность пространства данных);
* ''Матрица нагрузок'' ({{lang-en|loadings}}) — <math>\mathbf{P}=\{a_1,... a_k\}</math>; каждый столбец — вектор главных компонент, число строк — <math>n</math> (размерность пространства данных), число столбцов — <math>k</math> (количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования);
* ''Матрица счетов'' ({{lang-en|scores}}) — <math>\mathbf{T}=[t_{ij}]; \; t_{ij}=(x_i,a_j)</math>; каждая строка — проекция вектора данных на <math>k</math> главных компонент; число строк — <math>m</math> (количество векторов данных), число столбцов — <math>k</math> (количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования);
* ''Матрица <math>Z</math>-счетов'' ({{lang-en|<math>Z</math>-scores}}) — <math>\mathbf{Z}=[z_{ij}]; \; z_{ij}=\frac{(x_i,a_j)}{\sqrt{ \lambda_j}}</math>; каждая строка — проекция вектора данных на <math>k</math> главных компонент, нормированная на единичную выборочную дисперсию; число строк — <math>m</math> (количество векторов данных), число столбцов — <math>k</math> (количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования);
* ''Матрица ошибок'' (или ''остатков'') ({{lang-en|errors}} или {{lang-en2|residuals}}) - <math>\mathbf{E}=\mathbf{X}-\mathbf{T}\mathbf{P}^T</math>.
* Основная формула: <math>\mathbf{X}=\mathbf{T}\mathbf{P}^T+\mathbf{E}</math>.

== Границы применимости и ограничения эффективности метода ==
[[Файл:BranchingPrincipalComponents.gif|thumb| Построение ветвящихся главных компонент методом топологических грамматик. Крестики — точки данных, красное дерево с желтыми узлами — аппроксимирующий дендрит<ref name="TopGram">Описание метода можно найти в статье: ''Gorban A. N. , Sumner N. R., and Zinovyev A. Y.'', Topological grammars for data approximation, Applied Mathematics Letters, Volume 20, Issue 4 (2007), 382—386; или ''Gorban A. N. , Sumner N. R., and Zinovyev A. Y.'', [http://pca.narod.ru/contentsgkwz.htm Beyond The Concept of Manifolds: Principal Trees, Metro Maps, and Elastic Cubic Complexes] In: Gorban A. N. et al (Eds.), LNCSE 58, Springer, 2007 ISBN 978-3-540-73749-0; [[arxiv:0801.0176|а также в arXiv]]</ref>.]]

Метод главных компонент применим всегда. Распространённое утверждение о том, что он применим только к [[Нормальное распределение|нормально распределённым]] данным (или для распределений, близких к нормальным) неверно: в исходной формулировке Пирсона ставится задача об ''аппроксимации'' конечного множества данных и отсутствует даже гипотеза о их статистическом порождении, не говоря уж о распределении.

Однако метод не всегда эффективно снижает размерность при заданных ограничениях на точность <math> \delta_k</math>. Прямые и плоскости не всегда обеспечивают хорошую аппроксимацию. Например, данные могут с хорошей точностью следовать какой-нибудь кривой, а эта кривая может быть сложно расположена в пространстве данных. В этом случае метод главных компонент для приемлемой точности потребует нескольких компонент (вместо одной), или вообще не даст снижения размерности при приемлемой точности. Для работы с такими «кривыми» главными компонентами изобретен метод главных многообразий<ref>С этой работы началось изучение главных многообразий. Диссертация ''T. Хасти'': ''Hastie T.'', [http://www.dtic.mil/docs/citations/ADA148833 Principal Curves and Surfaces], Ph.D Dissertation, Stanford Linear Accelerator Center, Stanford University, Stanford, California, US, November 1984. [http://pca.narod.ru/HastieThesis.htm А также на сайте PCA]</ref> и различные версии нелинейного метода главных компонент<ref>''Scholz M., Fraunholz M., Selbig J.'', [http://pca.narod.ru/contentsgkwz.htm Nonlinear Principal Component Analysis: Neural Network Models and Applications], In: Gorban A. N. et al (Eds.), LNCSE 58, Springer, 2007 ISBN 978-3-540-73749-0</ref><ref>''Yin H.'' [http://pca.narod.ru/contentsgkwz.htm Learning Nonlinear Principal Manifolds by Self-Organising Maps], In: Gorban A. N. et al (Eds.), LNCSE 58, Springer, 2007 ISBN 978-3-540-73749-0</ref>. Больше неприятностей могут доставить данные сложной топологии. Для их аппроксимации также изобретены различные методы, например [[Самоорганизующаяся карта Кохонена|самоорганизующиеся карты Кохонена]], [[нейронный газ]]<ref>''Martinetz, T.M., Berkovich, S.G., and Schulten K.J.'', [http://pca.narod.ru/MartinesShultenNeuralGas1993.pdf Neural-gas network for vector quantization and its application to time-series prediction.] IEEE Transactions on Neural Networks, 4 (1993) #4, 558—569. На сайте [http://pca.narod.ru/ PCA]</ref> или топологические грамматики<ref name="TopGram"/>. Если данные статистически порождены с распределением, сильно отличающимся от нормального, то для аппроксимации распределения полезно перейти от главных компонент к ''независимым компонентам''<ref>''Hyvdrinen A, Karhunen J., and Oja E.'', Independent Component Analysis, A Volume in the Wiley Series on Adaptive and Learning Systems for Signal Processing, Communications, and Control. — John Wiley & Sons, Inc., 2001. — XVI+481 pp. ISBN 0-471-40540-X</ref>, которые уже не ортогональны в исходном скалярном произведении. Наконец, для изотропного распределения (даже нормального) вместо эллипсоида рассеяния получаем шар, и уменьшить размерность методами аппроксимации невозможно.

== Примеры использования ==

=== Визуализация данных ===
Визуализация данных — представление в наглядной форме данных эксперимента или результатов теоретического исследования.

Первым выбором в визуализации множества данных является ортогональное проецирование на плоскость первых двух главных компонент (или 3-мерное пространство первых трёх главных компонент). Плоскость проецирования является, по сути плоским двумерным «экраном», расположенным таким образом, чтобы обеспечить «картинку» данных с наименьшими искажениями. Такая проекция будет оптимальна (среди всех ортогональных проекций на разные двумерные экраны) в трех отношениях:
:# Минимальна сумма квадратов расстояний от точек данных до проекций на плоскость первых главных компонент, то есть экран расположен максимально близко по отношению к облаку точек.
:# Минимальна сумма искажений квадратов расстояний между всеми парами точек из облака данных после проецирования точек на плоскость.
:# Минимальна сумма искажений квадратов расстояний между всеми точками данных и их «центром тяжести».

Визуализация данных является одним из наиболее широко используемых приложений метода главных компонент и его нелинейных обобщений<ref name="Зиновьев"/>.

=== Компрессия изображений и видео ===
Для уменьшения пространственной избыточности пикселей при кодировании изображений и видео используется линейное преобразование блоков пикселей. Последующие квантования полученных коэффициентов и кодирование без потерь позволяют получить значительные коэффициенты сжатия. Использование преобразования PCA в качестве линейного преобразования является для некоторых типов данных оптимальным с точки зрения размера полученных данных при одинаковом искажении<ref>''Rao, K., Yip P.'' (eds.), The Transform and Data Compression Handbook, CRC Press, Baton Rouge, 2001.</ref>. На данный момент этот метод активно не используется, в основном из-за большой вычислительной сложности. Также сжатия данных можно достичь отбрасывая последние коэффициенты преобразования.

=== Подавление шума на изображениях ===
Основная суть метода<ref>''Muresan D. D., Parks T. W.'', [http://pca.narod.ru/MuresanParksAdaptivePCA2003.pdf Adaptive Principal Components and Image Denoising], in: Image Processing, 2003, Proceedings 2003 IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), 14-17 Sept. 2003, V. 1, pp. I-101-104. На сайте [http://pca.narod.ru/ PCA]</ref> — при удалении шума из блока пикселей представить окрестность этого блока в виде набора точек в многомерном пространстве, применить к нему PCA и оставить только первые компоненты преобразования. При этом предполагается, что в первых компонентах содержится основная полезная информация, оставшиеся же компоненты содержат ненужный шум. Применив обратное преобразование после редукции базиса главных компонент, мы получим изображение без шума.

=== Индексация видео ===
Основная идея — представить при помощи PCA каждый кадр видео несколькими значениями, которые в дальнейшем будут использоваться при построении базы данных и запросам к ней. Столь существенная редукция данных позволяет значительно увеличить скорость работы и устойчивость к ряду искажений в видео.

=== Биоинформатика ===
[[Файл:Streptomyces coelicolor sc.gif|thumb|'''Рис. А.''' Проекция ДНК-блуждания на первые 2 главные компоненты для генома [[бактерии]] Streptomyces coelicolor]]
[[Файл:Streptomyces coelicolor sc anim.gif|thumb|'''Рис. Б.''' Проекция ДНК-блуждания на первые 3 главные компоненты для генома [[бактерии]] Streptomyces coelicolor. Вращение применяется для визуализации трехмерной конфигурации]]
Метод главных компонент интенсивно используется в [[Биоинформатика|биоинформатике]] для сокращения размерности описания, выделения значимой информации, визуализации данных и др. Один из распространённых вариантов использования — анализ соответствий<ref>{{lang-en|[http://www.statsoft.com/textbook/stcoran.html Correspondence Analysis]}}</ref><ref>''Benzécri, J.-P.'', L’Analyse des Données. Volume II. L’Analyse des Correspondences, Dunod, Paris, France, 1973.</ref><ref>''Tekaia F.'', [http://www.pasteur.fr/~tekaia/caongenomes.html Use of Correspondence Analysis in Genome Exploration] {{Wayback|url=http://www.pasteur.fr/~tekaia/caongenomes.html |date=20070812111041 }}.</ref>. На иллюстрациях (Рис. А, Б) ''генетический текст''<ref>См. статью [[Трансляция (биология)]]</ref> представлен как множество точек в 64-мерном пространстве частот триплетов. Каждая точка соответствует фрагменту [[ДНК]] в скользящем окне длиной 300 [[нуклеотид]]ов (ДНК-блуждание). Этот фрагмент разбивается на неперекрывающиеся триплеты, начиная с первой позиции. Относительные частоты этих триплетов во фрагменте и составляют 64-мерный вектор. На Рис. А представлена проекция на первые 2 главные компоненты для генома [[бактерии]] Streptomyces coelicolor. На Рис. Б представлена проекция на первые 3 главные компоненты. Оттенками красного и коричневого выделены фрагменты кодирующих последовательностей в прямой цепи ДНК, а оттенками зелёного выделены фрагменты кодирующих последовательностей в обратной цепи ДНК. Чёрным помечены фрагменты, принадлежащие некодирующей части. Анализ методом главных компонент большинства известных бактериальных [[геном]]ов представлен на специализированном сайте<ref>''Zinovyev A.'', [http://www.ihes.fr/~zinovyev/7clusters/index.htm Сluster structures in genomic word frequency distributions]; а также в [http://arxiv.org/abs/q-bio/0504013 arXiv: PCA and K-Means decipher genome].</ref>.

=== Хемометрика ===
Метод главных компонент — один из основных методов в [[Хемометрика|хемометрике]]. Позволяет разделить матрицу исходных данных X на две части: «содержательную» и «шум».

=== Психодиагностика ===
[[Психодиагностика]] является одной из наиболее разработанных областей приложения метода главных компонент<ref>Дюк В. А., Компьютерная психодиагностика, С-Пб., 1994; отдельные разделы см. на сайте [http://psyfactor.org/lib/dyuk1.htm «Пси-фактор»]</ref>. Стратегия использования основывается на гипотезе об ''автоинформативности'' экспериментальных данных, которая подразумевает, что диагностическую модель можно создать путём аппроксимации геометрической структуры множества объектов в пространстве исходных признаков. Хорошую линейную диагностическую модель удается построить, когда значительная часть исходных признаков внутренне согласованна. Если эта внутренняя согласованность отражает искомый ''психологический конструкт'', то параметры линейной диагностической модели (веса признаков) дает метод главных компонент.

=== Эконометрика ===
Метод главных компонент — один из ключевых инструментов [[эконометрика|эконометрики]], он применяется для наглядного представления данных, обеспечения лаконизма моделей, упрощения счёта и интерпретации, сжатия объёмов хранимой информации. Метод обеспечивает максимальную информативность и минимальное искажение геометрической структуры исходных данных.

=== Социология ===
В [[социология|социологии]] метод необходим для решения первых двух основных задач<ref>''Гуц А. К., Фролова Ю. В.'', Математические методы в социологии, Серия: Синергетика: от прошлого к будущему. — Издательство «УРСС», 2007. — 216 с.</ref>:
# анализ данных (описание результатов опросов или других исследований, представленных в виде массивов числовых данных);
# описание социальных явлений (построение моделей явлений, в том числе и математических моделей).

=== Политология ===
В [[Политология|политологии]] метод главных компонент был основным инструментом проекта «Политический атлас современности»<ref>Политический атлас современности: Опыт многомерного статистического анализа политических систем современных государств. — М.: Изд-во «МГИМО-Университет», 2007. — 272 с.</ref> для линейного и нелинейного анализа рейтингов 192 стран мира по пяти специально разработанным интегральным индексам (уровня жизни, международного влияния, угроз, государственности и демократии). Для картографии результатов этого анализа разработана специальная [[геоинформационная система]], объединяющая географическое пространство с пространством признаков. Также созданы карты данных политического атласа, использующие в качестве подложки двумерные главные многообразия в пятимерном пространстве стран. Отличие карты данных от географической карты заключается в том, что на географической карте рядом оказываются объекты, которые имеют сходные географические координаты, в то время как на карте данных рядом оказываются объекты (страны) с похожими признаками (индексами).

=== Сокращение размерности динамических моделей ===
[[Проклятие размерности]] затрудняет моделирование сложных систем. Сокращение размерности модели — необходимое условие успеха моделирования. Для достижения этой цели создана разветвленная математическая технология. Метод главных компонент также используется в этих задачах (часто под названием ''истинное'' или ''собственное ортогональное разложение'' — {{lang-en|proper orthogonal decomposition (POD)}}). Например, при описании динамики [[турбулентность|турбулентности]] динамические переменные — поле скоростей — принадлежат бесконечномерному пространству (или, если представлять поле его значениями на достаточно мелкой сетке, — конечномерному пространству большой размерности). Можно набрать большую коллекцию мгновенных значений полей и применить к этому множеству многомерных «векторов данных» метод главных компонент. Эти главные компоненты называются также ''эмпирические [[собственные векторы]]''. В некоторых случаях (''структурная турбулентность'') метод дает впечатляющее сокращение размерности<ref>''Berkooz G, Holmes Ph., and. Lumley J. L'', [http://pca.narod.ru/ProOrthDecHydroAnnurev1993.pdf The proper orthogonal decomposition in the analysis of turbulent flows,] Annu. Rev. Fluid Mech. 25 (1993), 539—575. Первая публикация для анализа турбулентности — ''Lumley, J. L.'', The structure of inhomogeneous turbulence. In Atmospheric Turbulence and Wave Propagation, ed. A. M. Yaglom, V. I. Tatarski, pp. 166—178. Moscow: Nauka, 1967. (Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн. Труды Международного коллоквиума. Москва, 15—22 июня 1965 г. Под ред. А. М. Яглома и В. И. Татарского. М.: Наука, 1967, 374 стр. с илл. и карт. (АН СССР. Междувед. геофиз. ком. Ин-т физики атмосферы). Интересно, что авторы этих работ возводят историю своего подхода к работам [[Косамби, Дамодар Дхармананд|Косамби]] (1943), [[Лоэв, Мишель|Лоэва]] (1945), [[Кархунен, Кари|Кархунена]] (1946), [[Пугачёв, Владимир Семёнович|Пугачёва]] (1953) и [[Обухов, Александр Михайлович|Обухова]] (1954), не обратив внимание на работы Пирсона и 40 лет предшествующей истории метода.</ref> Другие области применения этой техники сокращения динамических моделей чрезвычайно разнообразны — от теоретических основ [[Химическая технология|химической технологии]] до [[Океанология|океанологии]] и [[Климатология|климатологии]].

=== Сенсорная оценка пищевых продуктов ===
Свое применение метод главных компонент получил при проведении сенсорной (органолептической) оценки свойств пищевых продуктов<ref>{{Статья|автор=Harry T. Lawless, Hildegarde Heymann|заглавие=Data Relationships and Multivariate Applications|ссылка=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4419-6488-5_18|язык=en|издание=Food Science Text Series|место=New York, NY|издательство=Springer New York|год=2010|страницы=433–449|isbn=9781441964878, 9781441964885|doi=10.1007/978-1-4419-6488-5_18}}</ref>. Метод главных компонент позволяет проводить классификации пищевых продуктов в тех случаях, когда для характеристики их свойств используется одновременно большое число дескрипторов, например при оценке свойств вина,<ref>{{Статья|заглавие=Correlation between volatile composition and sensory properties in Spanish Albariño wines|ссылка=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0026265X09002240|язык=en|издание=Microchemical Journal|год=2010-07-01|том=95|выпуск=2|страницы=240–246|issn=0026-265X|doi=10.1016/j.microc.2009.12.007}}</ref> мармелада,<ref>{{Статья|автор=Nataliya V Zhilinskaya,  Varuzhan A Sarkisyan, Valentina M Vorobieva, Irina S Vorobieva, Alla A Kochetkova, Elena A Smirnova, Irina V Glazkova|заглавие=Development of a marmalade for patients with type 2 diabetes: Sensory characteristics and acceptability|ссылка=https://doi.org/10.1177/1082013218779748|язык=английский|издание=Food Science and Technology International|тип=периодическое издание|год=2018|месяц=06|число=7|том=|номер=|страницы=|issn=10820132}}</ref> экструдированных пищевых продуктов,<ref>{{Статья|заглавие=Texture profile and correlation between sensory and instrumental analyses on extruded snacks|ссылка=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0260877413004111|язык=en|издание=Journal of Food Engineering|год=2014-01-01|том=121|страницы=9–14|issn=0260-8774|doi=10.1016/j.jfoodeng.2013.08.007}}</ref> сыра,<ref>{{Статья|заглавие=Characterisation of the sensory properties and market positioning of novel reduced-fat cheese|ссылка=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1466856413001562|язык=en|издание=Innovative Food Science & Emerging Technologies|год=2014-01-01|том=21|страницы=169–178|issn=1466-8564|doi=10.1016/j.ifset.2013.10.003}}</ref> и других.

== Альтернативы и обобщения ==
Метод главных компонент — наиболее распространённый подход к [[снижение размерности|снижению размерности]], однако существуют и другие способы, в частности, [[метод независимых компонент]], [[многомерное шкалирование]], а также многочисленные нелинейные обобщения: метод главных кривых и многообразий, [[Упругая карта|метод упругих карт]], [[поиск наилучшей проекции]] ({{lang-en|Projection Pursuit}}), [[Искусственная нейронная сеть|нейросетевые]] методы «[[Нейросетевое сжатие данных|узкого горла]]», [[Самоорганизующаяся карта Кохонена|самоорганизующиеся карты Кохонена]].

== См. также ==
* [[SSA (метод)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
;Классические работы
* ''Pearson K.'', On lines and planes of closest fit to systems of points in space, Philosophical Magazine, (1901) 2, 559—572; [http://pca.narod.ru/ а также на сайте PCA].
* ''Sylvester J.J.'', On the reduction of a bilinear quantic of the nth order to the form of a sum of n products by a double orthogonal substitution, Messenger of Mathematics, 19 (1889), 42—46; [http://pca.narod.ru/ а также на сайте PCA].
* ''Frećhet M. '' Les élements aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié. Ann. Inst. H. Poincaré, 10 (1948), 215—310.

;Основные руководства
* ''Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д.'' Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности.— М.: Финансы и статистика, 1989.— 607 с.
* ''Jolliffe I.T.'' [https://www.springer.com/statistics/statistical+theory+and+methods/book/978-0-387-95442-4 Principal Component Analysis], Series: [https://www.springer.com/series/692 Springer Series in Statistics], 2nd ed., Springer, NY, 2002, XXIX, 487 p.&nbsp;28 illus. ISBN 978-0-387-95442-4

;Современные обзоры
* ''Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A. Y.'' (Eds.), [https://www.springer.com/west/home/math/cse?SGWID=4-10045-22-173750210-0 Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction], [https://www.springer.com/west/home/math/cse?SGWID=4-10045-69-173622682-0 Series: Lecture Notes in Computational Science and Engineering] 58, Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 2007, XXIV, 340 p.&nbsp;82 illus. ISBN 978-3-540-73749-0 (а также [http://pca.narod.ru/ онлайн]).

;Учебное программное обеспечение
* Java-апплет «Метод главных компонент и самоорганизующиеся карты» (E.M. Mirkes, [http://www.math.le.ac.uk/people/ag153/homepage/PCA_SOM/PCA_SOM.html Principal Component Analysis and Self-Organizing Maps: applet]. University of Leicester, 2011). Свободно распространяемая программа с моделями метода главных компонент, [[Самоорганизующаяся карта Кохонена|самоорганизуюшихся карт]] (SOM) и растущих самоорганизующихся карт (Growing Self-Organized Maps, GSOM). Дано описание алгоритмов (англ.), приведены руководства и некоторые публикации. Используется для выполнения небольших студенческих исследовательских работ по сравнению различных алгоритмов аппроксимации данных.

== Ссылки ==
* [http://math-info.hse.ru/Rmd/hsequantling/2015-16/lecture3.html Курс «Анализ лингвистических данных: квантитативные методы и визуализация»]
* [http://www.eng.umd.edu/~jzsimon/biol708L/ref/ShlensPCATutorial.pdf A tutorial on Principal Components Analysis], Jonathon Shlens, 22, 2009; Version 3.01.
* [http://pca.narod.ru Нелинейный метод главных компонент] (сайт-библиотека)
* [https://web.archive.org/web/20090528101113/http://www.chemometrics.ru/materials/textbooks/pca.htm Онлайн руководство «Метод Главных Компонент (PCA)»] c примерами, выполненными в рабочей книге Excel, Алексей Померанцев.
{{Машинное обучение}}

[[Категория:Факторный анализ]]
[[Категория:Математическое моделирование]]
[[Категория:Системный анализ]]
[[Категория:Машинное обучение]]
[[Категория:Визуализация данных]]