Просмотр кода страницы Математическое совпадение

Говорят, что возникло '''математическое совпадение''', если два выражения дают почти одинаковые значения, хотя теоретически это совпадение никак объяснить нельзя.

Например, существует близость [[Круглые числа|круглого числа]] [[1000 (число)|1000]], выраженного как степень 2 и как степень 10:

<center>{{Quotation|<math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>}}</center>

Некоторые математические совпадения используется в [[Инженерное дело|инженерном деле]], когда одно выражение используется как аппроксимация другого.

==Введение==
Математическое совпадение часто связано с [[Целое число|целыми числами]], и удивительные («случайные») примеры отражают факт, что [[Вещественное число|вещественные числа]], возникающие в некоторых контекстах, оказываются по некоторым стандартам «близкой» аппроксимацией малых целых чисел или степени десятки, или, более обще, [[Рациональное число|рационального числа]] с малым [[Дробь (математика)|знаменателем]].  Другой вид математических совпадений, таких как целые числа, одновременно удовлетворяющие нескольким, внешне не связанным, критериям или совпадения, относящиеся к единицам измерения.  В классе чисто математических совпадений некоторые простые результаты имеют глубокое математическое основание, в то время как другие появляются «нежданно-негаданно».

Если дано [[Счётное множество|счётное]] число путей образования математических выражений, использующих конечное число символов, совпадение числа используемых символов и точности приближения может быть наиболее очевидным путём получения математического совпадения. Стандарта, однако, нет и {{не переведено 5|сильный закон малых чисел|||strong law of small numbers}} является видом аргумента, к которому прибегают, когда нет формального математического понимания. Необходимо некоторое [[Красота математики|эстетическое математическое]] чувство для вынесения решения о значении математического совпадения, является ли это исключительным явлением, либо это важный математический факт (см. раздел {{не переведено 5|Константа Рамануджана|«Константа Рамануджана»||Ramanujan's constant}} ниже о константе, которая появилась в печати несколько лет назад как научная [[День смеха|первоапрельская шутка]]{{sfn|Gardner|2001|с=674–694 }}).  Подводя итог, эти случайные совпадения рассматриваются из-за их курьёзности или для ободрения любителей математики на элементарном уровне.

==Некоторые примеры==

===Рациональные приближения===
Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Факт объясним в терминах представления иррациональных значений [[Непрерывная дробь|непрерывными дробями]], но почему эти невероятные совпадения случаются, часто остаётся неясным.

Часто используется рациональное приближение (непрерывными дробями) к отношению логарифмов различных чисел, что даёт (приближённое) совпадение степеней этих чисел{{sfn|Schroeder|2008|с=26–28}}.

====Совпадения с числом <math>\pi</math>====
* Первая [[Непрерывная дробь|подходящая дробь]] числа <math>\pi</math>, [3; 7] = 22/7 = 3,1428..., известна с времён [[Архимед]]а {{sfn|Beckmann|1971|с=101, 170}}, и даёт точность около 0,04%.  Третья подходящая дробь, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929..., которую нашёл  [[Цзу Чунчжи]] {{sfn|Mikami|1913|с=135}}, верна до шести десятичных знаков{{sfn|Beckmann|1971|с=101, 170}}. Эта высокая точность получается из-за того, что следующий член непрерывной дроби имеет необычно большое значение:  <math>\pi</math>= [3; 7, 15, 1, 292, ...]{{sfn|Weisstein|2003|с=2232}}.
* Совпадение, в котором участвует <math>\pi</math> и [[золотое сечение]] φ, задаётся формулой <math>\pi \approx 4 / \sqrt{\varphi} = 3,1446\dots</math>. Это соотношение связано с [[Треугольник Кеплера#Математическое совпадение |треугольником Кеплера]]. Некоторые исследователи считают, что это совпадение найдено в [[Пирамиды Гизы |пирамидах Гизы]], но крайне невероятно, что оно является преднамеренным{{sfn|Herz-Fischler|2000|с=67}}.
* Существует последовательность [[Точка Фейнмана|шести девяток]], которая начинается с 762-й позиции десятичного представления числа <math>\pi</math>. Для случайно выбранного [[Нормальное число|нормального числа]] вероятность любой выбранной последовательности шести цифр (например, 658 020) встречается редко в десятичном представлении, только 0,08 %. Есть гипотеза, что <math>\pi</math> является нормальным числом, но это не доказано.
* <math>\frac{5}{6}\pi\approx\varphi^2</math>; верно с точностью до 0,002 %.

==== Совпадения с числом e====
* Последовательность цифр 1828 повторяется дважды близко к началу десятичного представления числа [[e (число)|e]] = 2,7 1828 1828.... <ref>В 1828-м году родился Лев Толстой, это позволяет запомнить число e с точностью до 10 знаков.</ref>
* Существует последовательность цифр «99 999 999» среди первых 500.000 знаков числа e<ref>{{cite web|first1=|last1=|title=The Number e to 1 Million Digits|url=https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil|website=|publisher=NASA|accessdate=14 February 2017}}</ref>

====Совпадения со степенями 2====
* Совпадение <math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math> верно с точностью 2,4 %. Рациональное приближение <math>\textstyle\frac{\log10}{\log2} \approx 3,3219 \approx \frac{10}{3}</math>, или <math> 2 \approx 10^{3/10}</math> совпадает с точностью до 0,3 %.  Это совпадение используется в инженерных раcчетах для аппроксимации удвоенной мощности как 3&nbsp;[[Децибел|dB]] (фактическое значение равно 3,0103&nbsp;dB – см. {{не переведено 5|Точка половинной мощности|||Half-power point}}), либо для перевода [[кибибайт]]ов в [[килобайт]]ы {{sfn|Beucher|2008|с=195}}{{sfn|Ayob|2008|с=278}}.
* Это же совпадение можно переписать как <math>128 = 2^7 \approx 5^3 = 125</math> (исключаем общий множитель <math>2^3</math>, так что относительная погрешность остаётся той же самой, 2,4 %), что соответствует рациональному приближению <math>\textstyle\frac{\log5}{\log2} \approx 2,3219 \approx \frac{7}{3}</math>, или <math> 2 \approx 5^{3/7}</math> (также в пределах 0,3 %). Это совпадение используется, например,  для установки [[Выдержка (фото)|выдержки]] в камерах как приближение степеней двойки (128, 256, 512) в последовательности выдержек 125, 250, 500, и т.д.{{sfn|Schroeder|2008|с=26–28}}.

==== Совпадения с музыкальными интервалами ====
* Совпадение <math>2^{19} \approx 3^{12}</math>, <math>\frac{\log3}{\log2} \approx 1,5849\dots \approx \frac{19}{12}</math> обычно используется в [[Музыка|музыке]] при настройке 7 [[полутон]]ов  [[Равномерно темперированный строй|равномерно темперированного строя]] в [[Чистая квинта|чистую квинту]] [[Натуральный строй|натурального строя]]:  <math>2^{7/12}\approx 3/2;</math>, что совпадает с точностью до 0,1%.  Чистая квинта служит основой [[Пифагоров строй|пифагорова строя]] и является наиболее распространённой системой в музыке.  Из вытекающей аппроксимации<math>{(3/2)}^{12}\approx 2^7</math> следует, что [[квинтовый круг]] завершается на семь [[Октава|октав]] выше начала{{sfn|Schroeder|2008|с=26–28}}.
* Совпадение <math>\sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5} = 1,33333319\ldots \approx \frac43</math> приводит к [[Схизма (интервал)|рациональной версии]] 12-TET ладов, как заметил [[Кирнбергер, Иоганн Филипп|Иоганн Кирнбергер]].
* Совпадение <math>\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35} = 4,00000559\ldots \approx 4</math> приводит к рациональной версии темперации [[Среднетоновый строй#Терминология и исторические замечания|среднетонового строя на 1/4 коммы]].
* Совпадение <math>\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9} = 0,99999999754\ldots \approx 1</math> ведёт к очень маленькому интервалу <math>2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}</math> (около [[Цент (музыка)|миллицента]]).
* Совпадение со степенью 2 (см. выше) приводит к тому, что три большие терции составляют октаву, <math>{(5/4)}^{3} \approx {2/1}</math>.  Это и другие похожие приближения в музыке называются [[Диеса|диесами]].

===Числовые выражения ===

====Выражения со степенями <math>\pi</math> ====
* <math>\pi^2\approx10;</math> с точностью около 1,3% <ref name="Pi">Frank Rubin, [http://www.contestcen.com/pi.htm The Contest Center – Pi].</ref> Это можно понять в терминах формулы [[Дзета-функция Римана|дзета-функции]] <math>\zeta(2)=\pi^2/6.</math><ref>[http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/pi10.pdf Why is <math>\pi^2</math> so close to 10?] (Почему <math>\pi^2</math> так близок к 10?), [[Элкис, Ноам|Noam Elkies]]</ref> Это совпадение использовалось при разработке [[Логарифмическая линейка|логарифмических линеек]], когда шкала начинается с <math>\pi</math>, а не с <math>\sqrt{10},</math>.
* <math>\pi^2\approx 227/23,</math> с точностью до 0,0004%.<ref name="Pi"/>
* <math>\pi^3\approx 31,</math> с точностью до 0,02%.
* <math>\sqrt[5]{\pi^3+1}\approx 2,</math> с точностью до 0,004%.
* <math>\pi\approx\left(9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4},</math> или <math>22\pi^4\approx 2143</math><ref name=wolfram/> с точностью до 8 десятичных знаков (согласно [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Рамануджану]]: ''Quarterly Journal of Mathematics'', XLV, 1914, pp.&nbsp;350–372).  Рамануджан утверждает, что эта "любопытная аппроксимация" для <math>\pi</math> была «получена эмпирически» и не имеет связи с теорией, которая развивалась в статье.
:<math> \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3,1415926525 \dots </math>
:<math> \sqrt[5]{306} = 3,14155 \dots </math>
:<math> \sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3,1415924 \dots </math>
:<math> \sqrt[7]{\frac{21142}{7}} = 3,14159 \dots </math>
Некоторые правдоподобные связи выполняются с высокой степени точности, но, тем не менее, остаются совпадениями. Примером служит

: <math>
\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{8}.
</math>

Две стороны этого выражения отличаются лишь в 42-ом десятичном знаке<ref>http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/math-future.pdf</ref>.

==== Выражения со степенями <math>\pi</math> и ''e''====
* <math>\pi^4+\pi^5\approx e^6</math>, с точностью 0,000 005%<ref name=wolfram/>
* <math>\sqrt[4]{3^3 e^\pi}</math> очень близко к 5, точность около 0,008%.
* <math>{ 3 }^{ \frac { \pi +e }{ 4 }  }</math> очень близко к 5, точность около 0,000 538% (Joseph Clarke, 2015)
* <math>e^\pi - \pi\approx 19,99909998 </math> очень близко к 20 (Конвей, Слоан, Плоуф, 1988). Это совпадение эквивалентно <math>(\pi+20)^i=-0,999 999 999 2\ldots -i\cdot 0,000 039\ldots \approx -1</math><ref name=wolfram>{{MathWorld|urlname=AlmostInteger|title=Almost Integer}}</ref>
* <math> \pi^{3^2}/e^{2^3}=9,9998\ldots\approx 10</math><ref name=wolfram/>

====Выражения с <math>\pi</math>, ''e'' и 163====
* <math>{163}\cdot (\pi - e) \approx 69</math>, [http://www.google.com/search?q=100*(163*(pi-e)%2F69-1) с точностью 0,0005%]<ref name=wolfram/>
* <math>\frac{163}{\ln 163} \approx 2^{5}</math>, [http://www.google.com/search?q=100*((163/ln(163))^(1/5)%2F2-1) с точностью 0,000004%]<ref name=wolfram/>
* {{не переведено 5|Константа Рамануджана|||Ramanujan's constant}}: <math>e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744</math>, точность <math>2,9\cdot 10^{-28}\%</math>, открытая в 1859 [[Эрмит, Шарль|Шарлем Эрмитом]]{{sfn|Barrow|2002}}.  Эта очень близкая аппроксимация не является типичным ''случайным'' математическим совпадением, где неизвестно никакого математического объяснения. Это следствие факта, что 163 является {{не переведено 5|Число Хигнера|числом Хигнера||Heegner number}}.

==== Выражения с логарифмами====

<math>\ln 2\approx \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{5}}</math> (точность 0,00024%).

===Другие любопытные числовые совпадения ===
* <math>10! = 6! \cdot 7! = 1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot 7!</math>.<ref>Harvey Heinz, [http://www.magic-squares.net/narciss.htm#Factorial%20Products ''Narcissistic Numbers''].</ref>
* <math>\, 2^3=8</math> и <math>3^2=9\,</math> являются единственными нетривиальными последовательными степенями положительных целых чисел ([[Гипотеза Каталана]]).
* <math>\,4^2 = 2^4</math> является единственным целочисленным решением уравнения <math>a^b = b^a</math>, в предположении, что  <math>a\neq b</math><ref>Ask Dr. Math, [http://mathforum.org/library/drmath/view/66166.html "Solving the Equation x^y = y^x"].</ref> (см. формальный метод решения в статье [[W-функция Ламберта]])
* [[Числа Фибоначчи|Число Фибоначчи]] ''F''<sub>296182</sub> (вероятно) является [[Полупростое число|полупростым числом]], поскольку ''F''<sub>296182</sub> = ''F''<sub>148091</sub> × ''L''<sub>148091</sub>, где  ''F''<sub>148091</sub> (30949 знаков) и [[Числа Люка|число Люка]] ''L''<sub>148091</sub> (30950 знаков) являются [[Вероятно простое число|вероятно простыми]].<ref>David Broadhurst, [http://primes.utm.edu/curios/page.php?number_id=3994 "Prime Curios!: 10660...49391 (61899-digits)"].</ref>
* В обсуждении [[Парадокс дней рождения|парадокса дней рождения]] возникает число <math>\lambda=\frac{1}{365}{23\choose 2}=\frac{253}{365}</math>, которое «забавно» равно <math>\ln(2)</math> с точностью до 4 знаков{{sfn|Arratia, Goldstein, Gordon|1990|с=403–434}}.

===Совпадения, связанные с десятичной системой ===
* <math>2^5 \cdot 9^2 = 2592</math>. Т.е. 2592 является [[Число Фридмана|числом Фридмана]].<ref name="Friedman">Erich Friedman, [http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html Problem of the Month (August 2000)].</ref>
* <math>3^3+4^4+3^3+5^5=3435</math>.
* <math>\,1! + 4! + 5! = 145</math>. Это [[факторион]], и их только 4 (в десятичной системе) — 1, 2, 145, 40585.<ref>{{OEIS|A014080}}</ref>
* <math>\frac {16} {64} = \frac {1\!\!\!\not6} {\not6  4} = \frac {1} {4}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac {26} {65} = \frac {2\!\!\!\not6} {\not6  5} = \frac {2} {5}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac {19} {95} = \frac {1\!\!\!\not9} {\not9  5} = \frac {1} {5}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{49}{98}=\frac{4\!\!\!\not9}{\not98}=\frac{4}{8}</math> ({{не переведено 5|Неправильные сокращения|||anomalous cancellation}}<ref>{{Mathworld|title=Anomalous Cancellation|urlname=AnomalousCancellation}}</ref>). Кроме того, произведение этих четырёх дробей равно в точности 1/100.
* <math>\,(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4{,}913</math>; <math>\,(5 + 8 + 3 + 2)^3 = 5{,}832</math>; и <math>\,(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19{,}683</math>.<ref>{{OEIS|A061209}}</ref>
* <math>\,2^7 - 1 = 127</math>. Можно переписать равенство <math>\,127 = -1 + 2^7</math>, что делает 127 наименьшим числом Фридмана<ref name="Friedman"/>.
* <math>\,1^3 + 5^3 + 3^3 = 153</math> ; <math>\,3^3 + 7^3 + 0^3 = 370</math> ; <math>\,3^3 + 7^3 +1^3 = 371</math> ; <math>\,4^3 + 0^3 +7^3 = 407</math> —[[Числа Армстронга|самовлюблённые числа]]<ref>{{OEIS|A005188}}</ref>
* <math>\,(3 + 4)^3 = 343 </math><ref>[http://primes.utm.edu/curios/page.php/343.html Prime Curios!: 343].</ref>
* <math>\,588^2+2353^2 = 5882353 </math>, а также <math>1/17 = 0,0588235294117647\ldots</math> при округлении до 8 знаков 0,05882353. Совпадение упомянул Гильберт Лабелле в ~1980. Кроме того, 5882353 является простым.
* <math>\,2646798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7</math>.  Наибольшее такое число — 12157692622039623539.<ref>{{OEIS|A032799}}</ref>
* <math>\sin(666^\circ) = \cos(6\cdot6\cdot6^\circ) = - \varphi/2</math>, где <math>\varphi</math> — [[золотое сечение]]<ref name=BeastNumber>{{MathWorld|title=Beast Number|urlname=BeastNumber}}</ref> (удивительное равенство с углом, выраженным в градусах) (см. [[Число зверя]])
* <math>\,\phi(666)=6\cdot6\cdot6</math>, где <math>\phi</math> — [[функция Эйлера]]<ref name=BeastNumber/>

===Числовые совпадения в физическом мире ===

====Длина шести недель ====
Число секунд в шести неделях, или 42 днях, равно в точности 10! ([[факториал]]) секунд (так как <math>24 = 4!</math>, <math>42 = 6 \cdot 7</math> и <math>60^2 = 5 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10</math>). Многие заметили это совпадение, в частности, [[42 (число)|число 42]] имеет важное значение в романе [[Адамс, Дуглас|Дугласа Адамса]] «''[[Автостопом по галактике (роман)|Автостопом по галактике]]''».

====Скорость света====
[[Скорость света]] (по определению) равна в точности 299.792.458&nbsp;м/с, очень близко к 300,000,000&nbsp;м/с. Это чисто совпадение, поскольку метр был первоначально определён как 1/10.000.000 расстояния между земным полюсом и экватором на уровне моря, длина земной окружности получилась около 2/15 световой секунды<ref name="Miracles">{{cite web|last=Michon|first=Gérard P.|title=Numerical Coincidences in Man-Made Numbers|url=http://www.numericana.com/answer/miracles.htm|work=Mathematical Miracles|accessdate=29 April 2011}}</ref>. 

====Гравитационное ускорение ====
{{см. также|Секундный маятник}}
Не являясь константной, а зависящей от [[Широта|широты]] и [[Долгота|долготы]], числовое значение [[ускорение свободного падения]] на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что достаточно близко к 10. Это означает, что в результате [[Законы Ньютона|второго закона Ньютона]] вес килограмма массы на земной поверхности Земли соответствует примерно 10 [[Ньютон (единица измерения)|ньютонам]] приложено на объект силы {{sfn|Leduc|2003|с=25}}.

Это совпадение на самом деле связано с вышеупомянутым совпадением квадрата <math>\pi</math> с 10. Одно из ранних определений метра — длина маятника, период колебания которого равна двум секундам. Поскольку период полного колебания примерно задаётся формулой ниже, после алгебраических выкладок, получим, что гравитационная постоянная равна квадрату <math>\pi</math><ref>{{cite web|url=https://www.wired.com/2013/03/what-does-pi-have-to-do-with-gravity/|title=What Does Pi Have To Do With Gravity?|publisher=Wired|date=March 8, 2013|accessdate=October 15, 2015}}</ref>
:<math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли очень близка 40,000,000 метрам, определение метра было изменено, чтобы отразить этот факт, поскольку это был более объективный стандарт (гравитационная постоянная на поверхности Земли не постоянна). Это привело к увеличению длины метра чуть меньше чем на 1 %, что попадало в пределы экспериментальных ошибок измерения.

Ещё одно совпадение — что ''[[Ускорение свободного падения|величина g]]'', равная примерно 9,8&nbsp;м/с<sup>2</sup>, равна  1,03&nbsp;[[Световой год|светового года]]/год<sup>2</sup>, что близко к 1. Это совпадение связано с фактом, что ''g'' близко к 10 в [[Международная система единиц|системе единиц СИ]] (м/с<sup>2</sup>), как упоминалось выше, вместе с фактами, что число секунд в году близко к численному значению ''c''/10, где ''c'' — [[скорость света]] в м/с.

====Константа Ридберга====
[[Постоянная Ридберга]], умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к <math>\frac{\pi^2}{3}\times 10^{15}</math>Гц:<ref name="Miracles"/>

:<math>\underline{3,2898}41960364(17) \times 10^{15}</math>Гц  <math>= R_\infty c</math> {{sfn|NIST}}.

:<math>\underline{3,2898}68133696\ldots = \frac{\pi^2}{3}</math>

===Постоянная тонкой структуры===
[[Постоянная тонкой структуры]] <math>\alpha</math> близка к <math>\frac1{137}</math> и была гипотеза, что она в точности равна <math>\frac1{137}</math>.

:<math>\alpha = \frac1{137,035999074\dots}</math>

Хотя это совпадение не столь строго, как некоторые выше, замечательно, что <math>\alpha</math> является [[Безразмерная величина|безразмерной константой]], так что это совпадение не связано с используемой системой мер.

==См. также==
* {{не переведено 5|Почти целое число|||Almost integer}}
* [[Антропный принцип]]
* [[Парадокс дней рождения]]
* {{не переведено 5|Частичный изоморфизм|||Exceptional isomorphism}}
* [[Числа Армстронга]]
* [[Экспериментальная математика]]
* [[Треугольник Кеплера#Математическое совпадение]]
*[[Формула Коидэ]]

==Примечания==
{{примечания|2}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{книга
|автор=Martin Gardner 
|ref=Gardner
|заглавие=The Colossal Book of Mathematics
|год=2001
|издательство=W. W. Norton & Company
|место=New York
|isbn=0-393-02023-1
|страницы= 674–694
|часть=Six Sensational Discoveries
}}
*{{книга
|автор=Yoshio Mikami
|ref=Mikami
|заглавие=Development of Mathematics in China and Japan
|издательство=B. G. Teubner
|страницы= 135
|год=1913
|url= https://books.google.com/books?id=4e9LAAAAMAAJ&q=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan%22+355&dq=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan%22+355 
}}
*{{книга
|заглавие=A History of Pi
|автор=Petr Beckmann
|ref=Beckmann
|издательство=Macmillan
|год=1971
|isbn= 978-0-312-38185-1
|страницы= 101, 170
|url= https://books.google.com/books?id=TB6jzz3ZDTEC&pg=PA101&dq=pi+113+355++digits
 }}
*{{книга
|заглавие=The Shape of the Great Pyramid
|автор=Roger Herz-Fischler
|ref=Herz-Fischler
|издательство=Wilfrid Laurier University Press
|год=2000
|isbn= 978-0-889-20324-2
|страницы= 67
|url= https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent
 }}
*{{книга
|заглавие=Matlab und Simulink
|автор=Ottmar Beucher
|ref=Beucher
|издательство=Pearson Education
|год=2008
|isbn= 978-3-8273-7340-3
|страницы= 195
|url= https://books.google.com/books?id=VgLCb7B3OtYC&pg=PA195&dq=3.0103+1024+1000
 }}
*{{книга
|заглавие=Digital Filters in Hardware: A Practical Guide for Firmware Engineers
|автор=K. Ayob
|ref=Ayob
|издательство=Trafford Publishing
|год=2008
|isbn= 978-1-4251-4246-9
|страницы= 278
|url= https://books.google.com/books?id=6nmnbIxpY3MC&pg=PA278&dq=3.0103-db
 }}
*{{книга
|заглавие=Number theory in science and communication
|автор=Manfred Robert Schroeder
|ref=Schroeder
|издательство=Springer
|издание=2nd
|год=2008
|isbn= 978-3-540-85297-1
|страницы= 26–28
|url= https://books.google.com/books?id=2KV2rfP0yWEC&pg=PA27&dq=coincidence+circle-of-fifths+1024+7-octaves+%22one+part+in+a+thousand%22
 }}
*{{книга
|автор= John D Barrow
|ref=Barrow
|заглавие=The Constants of Nature
|издательство=Jonathan Cape 
|год=2002 
|место=London 
|isbn= 0-224-06135-6 
}}
*{{статья
|автор=Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon
|ref=Arratia, Goldstein, Gordon
|выпуск= 4
|издание= [[Statistical Science]]
|jstor= 2245366
|mr= 1092983
|страницы= 403–434
|заглавие=Poisson approximation and the Chen-Stein method
|том=5
|год=1990
|doi=10.1214/ss/1177012015
}}
*{{книга
|заглавие=Our Inheritance in the Great Pyramid
|автор=Charles Smythe
|ref=Smythe
|страницы= 39
|url= https://books.google.com/books?id=xB0WSOokTg0C&pg=PA39
|год=2004
|издательство=Kessinger Publishing
|isbn=1-4179-7429-X
}}
*{{книга
|заглавие=Cracking the AP Physics B & C Exam, 2004–2005 Edition
|страницы= 25
|автор=Steven A. Leduc
|ref=Leduc
|url=https://books.google.com/books?id=XcX_TvhNjK0C&pg=PA25&dq=approximation
|isbn=0-375-76387-2
|год=2003
|издательство=Princeton Review Publishing
}}
*{{cite web
|title=Rydberg constant times c in Hz
|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz
|work=Fundamental physical constants
|publisher=NIST
|ref=NIST
|accessdate=25 July 2011
}}
*{{книга
|заглавие=What If?
|автор=Randall Munroe
|ref=Munroe
|год=2014
|isbn=9781848549562
}}
*{{книга
|заглавие=The Shape of the Great Pyramid
|автор=Roger Herz-Fischler
|ref=Herz-Fischler
|издательство=Wilfrid Laurier University Press
|год=2000
|isbn= 978-0-889-20324-2
|страницы= 67
|url = https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent
 }}
*{{книга
|заглавие=CRC concise encyclopedia of mathematics
|автор=Eric W. Weisstein
|ref=Weisstein
|издательство=CRC Press
|год=2003
|isbn=978-1-58488-347-0
|страницы=2232
|url = https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent
 }}
{{refend}}
==Ссылки==
* {{книга
|автор=В. Левшин
|заглавие=Магистр рассеянных наук
|место=Москва
|издательство=Детская Литература
|год=1970
|страницы=256
}}
* [[Харди, Годфри Харолд|Hardy, G. H.]] – ''[[Апология математика|A Mathematician's Apology]].'' – New York: Cambridge University Press, 1993,  (ISBN 0-521-42706-1)
* {{MathWorld|urlname=AlmostInteger|title=Almost Integer}}
* [http://www.futilitycloset.com/category/science-math/ Various mathematical coincidences] in the "Science & Math" section of futilitycloset.com
* Press, W. H., [http://www.nr.com/whp/NumericalCoincidences.pdf Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate]

[[Категория:Математические термины]]
[[Категория:Математические головоломки и досуг]]
{{rq|checktranslate|style}}