Просмотр кода страницы Математическое ожидание

{{См. также|Условное математическое ожидание}}
'''Математи́ческое ожида́ние''' — одно из важнейших понятий в [[теория вероятностей|теории вероятностей]], означающее [[среднее значение|среднее]] (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение [[случайная величина|случайной величины]]<ref name="Vino">{{книга
 |автор          = 
 |часть          = 
 |заглавие       = «[[Математическая энциклопедия]]»
 |ссылка         = 
 |ответственный  = Главный редактор И. М. Виноградов
 |издание        = 
 |место          = {{comment|М.|Москва}}
 |издательство   = «Советская энциклопедия»
 |год            = 1979
 |том            = 
 |страницы       = 
 |страниц        = 1104
 |серия          = 51[03] М34
 |isbn           = 
 |тираж          = 148 800
}}</ref>.
В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонент случайного вектора.

В англоязычной литературе обозначается через <math>\mathbb{E}[X]</math><ref>{{книга
 |автор          = А. Н. Ширяев
 |часть          = 1
 |заглавие       = «Вероятность»
 |оригинал       = 
 |ссылка         = 
 |ответственный  =
 |издание        = 
 |место          = {{comment|М.|Москва}}
 |издательство   = МЦНМО
 |год            = 2007
 |том            = 
 |страницы       = 
 |страниц        = 968
 |серия          = 
 |isbn           = 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6
 |тираж          = 
}}</ref> (например, от {{lang-en|Expected value}} или {{lang-de|Erwartungswert}}),
в русскоязычной — <math>M[X]</math> (возможно, от {{lang-en|Mean value}} или {{lang-de|Mittelwert}}, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение <math>\mu</math>.

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно ''p'' — вероятности "единицы".
Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно ''np'', где ''n'' — количество таких случайных величин.
Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее ''стремится ''к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

== Определение ==
{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}
=== Общее определение через интеграл Лебега ===

Пусть задано [[вероятностное пространство]] <math>(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})</math> и определённая на нём [[случайная величина]] <math>X</math>. То есть, по определению, <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — [[измеримая функция]]. Если существует [[интеграл Лебега]] от <math>X</math> по пространству <math>\Omega</math>, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается <math>M[X]</math> или <math>\mathbb{E}[X]</math>.
: <math>M[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).</math>

=== Определение через функцию распределения случайной величины ===

 Если <math>F_X(x)</math> — [[функция распределения]] случайной величины, то её математическое ожидание задаётся [[интеграл Лебега — Стилтьеса|интегралом Лебега — Стилтьеса]]:
: <math>M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x);  x \in \mathbb R</math>.

=== Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения) ===

Математическое ожидание [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывной случайной величины]], распределение которой задаётся [[Плотность вероятности|плотностью]] <math>f_X(x)</math>, равно
: <math>M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx</math>.

=== Определение для дискретной случайной величины ===
Если <math>X</math> — [[Дискретное распределение|дискретная случайная величина]], имеющая [[Распределение вероятности|распределение]]
: <math>\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1</math>,
то прямо из определения [[Интеграл Лебега|интеграла Лебега]] следует, что
: <math>M[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i</math>.

==== Математическое ожидание целочисленной величины ====
* Если <math>X</math> — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
: <math>\mathbb{P}(X=j) = p_j,\; j=0,1,...;\quad \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1</math>
то её математическое ожидание может быть выражено через [[Производящая функция последовательности|производящую функцию последовательности]] <math>\{p_i\}</math>
: <math>P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k </math>
как значение первой производной в единице: <math>M[X] = P'(1)</math>. Если математическое ожидание <math>X</math> бесконечно, то <math>\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty</math> и мы будем писать <math>P'(1)=M[X]=\infty</math>

Теперь возьмём производящую функцию <math>Q(s)</math> последовательности «хвостов» распределения <math>\{q_k\}</math>
: <math>q_k=\mathbb{P}(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.</math>
Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией <math>P(s)</math> свойством: <math>Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}</math> при <math>|s|<1</math>.
Из этого по [[Формула конечных приращений|теореме о среднем]] следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:
: <math>M[X]=P'(1)=Q(1)</math>

== Математическое ожидание случайного вектора ==
Пусть <math>X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайный вектор. Тогда по определению
: <math>M[X]=(M[X_1],\dots,M[X_n])^{\top}</math>,
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

== Математическое ожидание преобразования случайной величины ==
Пусть <math>g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> — [[борелевы функции|борелевская функция]], такая что случайная величина <math>Y = g(X)</math> имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула
: <math>M\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i,</math>
если <math>X</math> имеет дискретное распределение;
: <math>M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x) f_X(x)\, dx,</math>
если <math>X</math> имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если [[распределение вероятностей|распределение]] <math>\mathbb{P}^X</math> случайной величины <math>X</math> общего вида, то
: <math>M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\, \mathbb{P}^X(dx).</math>

В специальном случае, когда <math>g(X) = X^k</math>, математическое ожидание <math>M[g(X)] = M[X^k]</math> называется [[Моменты случайной величины|<math>k</math>-м моментом]] случайной величины.

== Простейшие свойства математического ожидания ==
{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}
* Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.
:: <math>M[a] = a</math>
: <math>a \in \mathbb{R}</math> — константа;
* Математическое ожидание линейно, то есть
:: <math>M[aX+bY] = aM[X]+bM[Y]</math>,
: где <math>X,Y</math> — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а <math>a,b\in \mathbb{R}</math> — произвольные константы;
В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно - разности) их математических ожиданий.

* Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если <math>0 \leqslant X \leqslant Y</math> [[Почти достоверное событие|почти наверняка]], и <math>Y</math> — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <math>X</math> также конечно, и более того
:: <math>0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y]</math>;
* Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если <math>X = Y</math> [[Почти достоверное событие|почти наверняка]], то
:: <math>M[X]=M[Y]</math>.
* Математическое ожидание произведения двух [[Независимость (теория вероятностей)#Независимые случайные величины|независимых]] или [[Корреляция|некоррелированных]]<ref>{{Cite web|url=http://sernam.ru/book_tp.php?id=50|title=Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках|publisher=sernam.ru|accessdate=2018-01-10}}</ref> случайных величин <math>X,Y</math> равно произведению их математических ожиданий
:: <math>M[XY] = M[X]M[Y]</math>.

== Дополнительные свойства математического ожидания ==
{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}
* [[Неравенство Маркова]]
* [[Теорема Леви о монотонной сходимости]]
* [[Теорема Лебега о мажорируемой сходимости]]
* [[Тождество Вальда]]
* [[Лемма Фату]]
* [[Правило Лопиталя]]
* Математическое ожидание случайной величины <math>X</math> может быть выражено через её [[Производящая функция моментов|производящую функцию моментов]] <math>G(u)</math> как значение первой производной в нуле: <math>M[X] = G'(0)</math>

== Примеры ==
{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}
* Пусть случайная величина имеет [[дискретное равномерное распределение]], то есть <math>\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.</math> Тогда её математическое ожидание
: <math>M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i</math>
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
* Пусть случайная величина имеет [[непрерывное равномерное распределение]] на интервале <math>[a,b]</math>, где <math>a<b</math>. Тогда её плотность имеет вид <math>f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)</math> и математическое ожидание равно
: <math>M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}</math>.

* Пусть случайная величина <math>X</math> имеет стандартное [[распределение Коши]]. Тогда
: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty</math>,
то есть математическое ожидание <math>X</math> не определено.

== См. также ==
* [[Дисперсия случайной величины]]
* [[Моменты случайной величины]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга| автор = [[Феллер, Уильям|Феллер В.]] |заглавие = Введение в теорию вероятностей и её приложения |оригинал = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition |ответственный = Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича,  С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова |часть = Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции |место = {{М}} |издательство = Мир |издание = 2-е изд |год = 1964 |страницы = 270—272}}

== Ссылки ==
* [http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/4_1/ Математическое ожидание и его свойства на http://www.toehelp.ru]

{{вс}}
{{Среднее}}

[[Категория:Теория вероятностей]]
[[Категория:Средние величины]]