Просмотр кода страницы Лемма Бореля — Кантелли

'''Ле́мма Боре́ля — Канте́лли''' в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

== Первая лемма ==

Пусть дано [[вероятностное пространство]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> и последовательность [[Случайное событие|событий]] <math>\{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}</math>. Обозначим
:<math>A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m \right)</math>.
Тогда если [[Числовой ряд|ряд]] <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right)</math> сходится, то <math>\mathbb{P}(A) = 0</math>.

== Вторая лемма ==

Если все события <math>\{A_n\}_{n=1}^{\infty}</math> [[Независимость (теория вероятностей)|совместно независимы]], и ряд <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right)</math> расходится, то <math>\mathbb{P}(A) = 1</math>.

== Замечание ==

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий ''не'' требуется. 

== См. также ==
* [[Закон нуля или единицы]];
* [[Теорема о бесконечных обезьянах]];
* [[Борель, Эмиль]];
* [[Кантелли, Франческо Паоло]];
* {{iw|Конвергенция Куратовского||en|Kuratowski convergence}}
== Ссылки ==
* {{Springer|title=Borel–Cantelli lemma |id=B/b017040|first=A.V. |last=Prokhorov}}
[[Категория:Теория вероятностей]]
[[Категория:Леммы|Бореля — Кантелли]]
[[Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики|Б]]