Просмотр кода страницы Куб (алгебра)

{{другие значения|Куб (значения)}}

[[Файл:CubeChart.svg|thumb|300px|y=x³, при целых значениях x от 1 до 25]]
'''Кубом''' [[Число|числа]] <math>x</math> называется результат [[Возведение в степень|возведения числа в степень]] 3, то есть [[Умножение|произведение]] трёх множителей, каждый из которых равен <math>x.</math> Эта арифметическая операция называется «возведением в куб», её результат обозначается <math>x^3</math>:
: <math>x^3=x \cdot x \cdot x </math>

Для возведения в куб обратной операцией является извлечение [[Кубический корень|кубического корня]]. Геометрическое название третьей степени «''куб''» связано с тем, что [[Математика в Древней Греции|античные математики]] рассматривали значения кубов как '''кубические числа''', особый вид [[Фигурные числа|фигурных чисел]] (см. ниже), поскольку куб числа <math>x</math> равен [[Объём (геометрия)|объёму]] [[Куб (геометрия)|куба]] с длиной ребра, равной <math>x</math>.


== Последовательность кубов ==
[[Числовая последовательность|Последовательность]] кубов неотрицательных чисел начинается числами<ref>{{OEIS long|578|en=The cubes: a(n) = n^3}}</ref>:
: {{nums|0|1|8|27|64|125|216|343|512|729|1000|1331|1728|link=nrl}}, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых <math>n</math> положительных [[Натуральное число|натуральных чисел]] вычисляется по формуле:
: <math>\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac {n(n+1)}{2}\right)^2</math>

=== Вывод формулы ===
Формулу суммы кубов можно вывести, используя [[таблица умножения|таблицу умножения]] и формулу суммы [[арифметическая прогрессия|арифметической прогрессии]]<ref>{{книга|автор=Роу С.|заглавие=Геометрические упражнения с куском бумаги|издание=2-е изд|место=Одесса|издательство=Матезис|год=1923|ссылка=http://www.mathesis.ru/book/rou2|страницы=68—70}}</ref>. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="background-color:transparent; width:50%;"
|- style="vertical-align:top;"

| style="width:50%; text-align:left;" |
{| class="wikitable" style="text-align:right;font-size:70%"
|+ Таблица умножения и кубы чисел
!width="4%"| ×
!width="4.8%"| 1
!width="4.8%"| 2
!width="4.8%"| 3
!width="4.8%"| 4
!width="4.8%"| 5
|-
! 1
|bgcolor=mediumslateblue| 1 ||bgcolor=skyblue| 2 ||bgcolor=royalblue| 3 ||bgcolor=aquamarine| 4 ||bgcolor=deepskyblue| 5  
|-
! 2
|bgcolor=skyblue| 2 ||bgcolor=skyblue| 4 ||bgcolor=royalblue|6 ||bgcolor=aquamarine| 8 ||bgcolor=deepskyblue| 10 
|-
! 3
|bgcolor=royalblue| 3 ||bgcolor=royalblue| 6 ||bgcolor=royalblue| 9 ||bgcolor=aquamarine| 12 ||bgcolor=deepskyblue| 15 
|-
! 4
|bgcolor=aquamarine| 4 ||bgcolor=aquamarine| 8 ||bgcolor=aquamarine| 12 ||bgcolor=aquamarine| 16 ||bgcolor=deepskyblue| 20 
|-
! 5
|bgcolor=deepskyblue| 5 ||bgcolor=deepskyblue| 10 ||bgcolor=deepskyblue| 15 ||bgcolor=deepskyblue| 20 ||bgcolor=deepskyblue| 25
|}
| style="width:50%; text-align:left;" |
{| class="wikitable" style="text-align:right;font-size:70%"
|+ Таблица умножения и арифметическая прогрессия
!width="4%"| ×
!width="4.8%"| 1
!width="4.8%"| 2
!width="4.8%"| 3
!width="4.8%"| 4
!width="4.8%"| 5
|-
! 1
|bgcolor=mediumslateblue| 1 ||bgcolor=mediumslateblue| 2 ||bgcolor=mediumslateblue| 3 ||bgcolor=mediumslateblue| 4 ||bgcolor=mediumslateblue| 5  
|-
! 2
|bgcolor=skyblue| 2 ||bgcolor=skyblue| 4 ||bgcolor=skyblue|6 ||bgcolor=skyblue| 8 ||bgcolor=skyblue| 10 
|-
! 3
|bgcolor=royalblue| 3 ||bgcolor=royalblue| 6 ||bgcolor=royalblue| 9 ||bgcolor=royalblue| 12 ||bgcolor=royalblue| 15 
|-
! 4
|bgcolor=aquamarine| 4 ||bgcolor=aquamarine| 8 ||bgcolor=aquamarine| 12 ||bgcolor=aquamarine| 16 ||bgcolor=aquamarine| 20 
|-
! 5
|bgcolor=deepskyblue| 5 ||bgcolor=deepskyblue| 10 ||bgcolor=deepskyblue| 15 ||bgcolor=deepskyblue| 20 ||bgcolor=deepskyblue| 25
|}
|}
Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

:<math>k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3</math>

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:
:<math>k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}</math>

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

:<math>\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=1}^n k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{k=1}^n k=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>

== Некоторые свойства ==
* В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в&nbsp;отличие от [[квадрат (число)|квадрата]])
* В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:

:{| class="standard" style="text-align: center"
!width="50%"| последняя<br />цифра
!width="50%"| предпоследняя<br />цифра
|-
| 0 || 0
|-
| 5 || 2, 7
|-
| 4, 8 || чётная
|-
| 2, 6 || нечётная
|-
| 1, 3, 7, 9 || любая
|}

== Кубы как фигурные числа ==
«Кубическое число» <math>Q_n = n^3</math> исторически рассматривалось как разновидность пространственных [[Фигурные числа|фигурных чисел]]. Его можно представить как разность квадратов последовательных [[Треугольное число|треугольных чисел]]<ref name=DD78/> <math>T_n</math>:
: <math>Q_n = (T_n)^2 - (T_{n-1})^2, n\geqslant 2</math> 
* Следствие: сумма первых <math>n</math> кубических чисел равна квадрату <math>n</math>-го треугольного числа:
: <math>Q_1 + Q_2 + Q_3 + \dots + Q_n = (T_n)^2</math>

Разность между двумя соседними кубическими числами есть [[центрированное шестиугольное число]].
* Следствие: сумма первых <math>n</math> центрированных шестиугольных чисел есть кубическое число <math>Q_n</math><ref name=DD78/>.

Выражение кубического числа через [[Тетраэдральное число|тетраэдральные]]<ref name=DD78/> <math>\Pi^{(3)}_n</math>:
: <math>Q_n = \Pi^{(3)}_n + 4\Pi^{(3)}_{n-1} + \Pi^{(3)}_{n-2} </math>, где <math>n > 2.</math>

Одна из «[[Гипотезы Поллока|гипотез Поллока]]» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, {{OEIS|A018889}}), а двум числам нужны все девять: 23 и 239. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано){{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=231—232}}.

[[Производящая функция последовательности|Производящая функция]] кубических чисел имеет вид{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=78—81|name=DD78}}:
:<math>f(x) = \frac {x(x^2+4x+1)}{(x-1)^4}; \quad |x|<1</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |ref=За страницами учебника математики
  |заглавие=За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия |isbn=5-09-006575-6
  |место=М. |издательство=Просвещение |год=1996 |страницы=30 |страниц=320}}
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |заглавие=История математики в школе
  |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
  |издательство=Просвещение |место=М. |год=1964 |страниц=376 }}
* {{книга |автор=Деза Е., Деза М. |заглавие=Фигурные числа |ref=Деза Е., Деза М.
  |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2016 |страниц=349 |isbn=978-5-4439-2400-7 }} 

== Ссылки ==
* [http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_40_7873.pdf Фигурные числа]
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/FigurateNumbers.html Figurate Numbers] на сайте MathWorld{{ref-en}}

{{Фигурные числа}}

[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Математические операции]]
[[Категория:Фигурные числа]]