Просмотр кода страницы Корни из единицы

[[Файл:Kreis5Teilung.svg|thumb|Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)]]
'''Корни n-й степени из единицы''' — [[комплексные числа|комплексные]] корни [[многочлен]]а <math>x^n-1</math>, где <math>n \geqslant 1</math>. Другими словами, это комплексные числа, <var>n</var>-я степень которых равна{{nbsp}}1. В [[Общая алгебра|общей алгебре]] рассматриваются также корни многочлена <math>x^n-1</math> не только в комплексном, но и в произвольном ином [[Поле (алгебра)|поле]], характеристика <math>p</math> которого не является делителем степени <math>n</math> многочлена{{sfn |Бурбаки|1965|с=188—189}}.

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в [[Теория чисел|теории чисел]], [[Дискретное преобразование Фурье|быстром преобразовании Фурье]]<ref>[http://pmpu.ru/vf4/interpolation/dft#дискретное_преобразование_фурье Дискретное преобразование Фурье]</ref>, теории [[Конечное расширение|расширений полей]], [[Построение с помощью циркуля и линейки|теории построений циркулем и линейкой]], [[Представление группы|представлениях групп]].

== Представление ==
Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:
: <math>1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0</math>
Тогда по [[формула Муавра|формуле Муавра]], получим выражение для <math>k</math>-го корня из единицы <math>u_k</math>:
: <math>u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1</math>

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:
: <math>u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1</math>
Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно <math>n</math>, и все они различны.

== Свойства ==

=== Геометрические свойства ===
Модуль каждого корня равен{{nbsp}}1. На [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]] корни из единицы образуют вершины [[Правильный многоугольник|правильного многоугольника]], вписанного в [[Единичная окружность|единичную окружность]]. Одной из вершин всегда является комплексная единица <math>1+0i.</math> Вещественных корней может быть либо два, если <math>n</math> чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если <math>n</math> нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если <math>u_k</math> — корень из единицы, то сопряжённое к нему число <math>\overline {u_k}</math> — тоже корень из единицы.

Пусть ''M'' — произвольная точка единичной окружности и <math>n>1.</math> Тогда сумма квадратов расстояний от ''M'' до всех корней <math>n-</math>й степени из единицы равна <math>2n</math><ref>{{книга |автор=Дужин С. В., Чеботаревский Б. Д. |заглавие=От орнаментов до дифференциальных уравнений. Популярное введение в теорию групп преобразований |место=Минск |издательство=Вышейшая школа |год=1988 |страниц=253 |страницы=34 |isbn=5-339-00101-6   |серия=Мир занимательной науки}}</ref>.

=== Алгебраические свойства ===
* Корни из единицы представляют собой [[целые алгебраические числа]].
* Корни из единицы образуют по умножению коммутативную [[Конечная группа|конечную]] [[Группа (алгебра)|группу]] порядка <math>n</math>. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. [[Обратный элемент]] для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. [[Нейтральный элемент|Нейтральным элементом]] группы является комплексная единица.
* Группа корней из единицы [[Изоморфизм групп|изоморфна]] аддитивной [[Сравнение по модулю|группе классов вычетов]] <math>\mathbb{Z}_n</math>. Отсюда следует, что она является [[Циклическая группа|циклической]] группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент <math>u_k</math>, индекс <math>k</math> которого [[Взаимно простые числа|взаимно прост]] с <math>n</math>.
** Следствия:
*** элемент <math>u_1</math> всегда является первообразным;
*** если <math>n</math> — [[простое число]], то степени любого корня, кроме <math>\pm 1</math>, охватывают всю группу;
*** число первообразных корней равно <math>\varphi (n)</math>, где <math>\varphi</math> — [[функция Эйлера]].
* Если <math>n > 1</math>, то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы <math>u</math> имеет место формула:
: <math>\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 .</math>
* <math>\prod_{k=1}^{n-1} |1-u_k| = n \qquad (n > 1)</math>

[[Файл:3rd roots of unity.svg|thumb|Кубические корни из единицы]]

=== Примеры ===
Кубические корни из единицы:
: <math>\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}</math>

Корни 4-й степени из единицы:
: <math>\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\} </math>

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:
: <math>\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.</math>
[[Файл:Cyclic group.svg|мини|220px|Корни 6-й степени из единицы как степени первого порождающего элемента ]]
Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:
: <math>\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} .</math>

== Круговые поля ==
{{main|Круговое поле}}
'''Круговое поле''', или '''поле деления круга''' степени ''n'' — это поле <math>K_n = \mathbb {Q}(u)</math>, порождённое присоединением к полю [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb {Q}</math> первообразного корня ''n''-й степени из единицы <math>u</math>. Круговое поле является [[подполе]]м поля комплексных чисел; оно содержит все корни ''n''-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории [[Целое алгебраическое число|целых алгебраических чисел]], [[Теория чисел|теории чисел]] и [[Теория Галуа|теории Галуа]].

Пример: <math>K_3</math> состоит из комплексных чисел вида <math>a+b \sqrt{3}\ i</math>, где <math>a, b</math> — рациональные числа.

'''[[Теорема Кронекера-Вебера]]''': всякое абелево [[конечное расширение]] поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

== Обобщения ==
Корни из единицы ''n''-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого [[Поле (алгебра)|алгебраического поля]] <math>K</math> как решения уравнения <math>x^n=1</math>, где <math>1</math> — единица поля <math>K</math>. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля <math>K</math>. Обратно, любая [[конечная группа|конечная подгруппа]] мультипликативной группы поля <math>K</math> содержит только корни из единицы и является [[Циклическая группа|циклической]]{{sfn |Математическая энциклопедия|1982}}.

Если [[характеристика поля]] ненулевая, то группа корней из единицы тривиальна (содержит только единицу поля).

== История ==
Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]. В своей монографии «[[Арифметические исследования]]» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на ''n'' равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с ''n'' сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:
: <math>x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=0 </math>
Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если ''n'' может быть представлено в виде <math>2^{2^r}+1</math>. Подход Гаусса использовали позднее [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] и [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]]. [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)<ref>{{книга |автор=Вилейтнер{{nbsp}}Г. |заглавие=История математики от Декарта до середины XIX{{nbsp}}столетия |издательство=ГИФМЛ |место=М. |год=1960 |страниц=468 |ref=Вилейтнер Г. |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/vileitner.djvu |страницы=87—89, 380. }}</ref>.

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века [[Общая алгебра|абстрактной алгебры]]. [[Эмми Нётер]] и [[Эмиль Артин]] использовали это понятие в теории [[Конечное расширение|расширений полей]] и обобщении [[Теория Галуа|теории Галуа]]{{sfn|Ван дер Варден. Алгебра|2004|с=150—155 и далее}}.

== См. также ==
* [[Круговой многочлен]]
* [[Первообразный корень из единицы]]

== Литература ==
* {{книга |автор=Бурбаки Н. |заглавие=Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы
  |место=М. |издательство=Наука |год=1965 |страницы=188 и далее |страниц=299 |ref=Бурбаки}}
* {{книга |автор=Ван дер Варден Б. Л. |ref=Ван дер Варден. Алгебра |ссылка=http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/library/van_der_varden.algebra.pdf |заглавие=Алгебра. Определения, теоремы, формулы |место=СПб. |издательство=Лань |год=2004 |страниц=624 |isbn=5-8114-0552-9 }} {{Wayback|url=http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/library/van_der_varden.algebra.pdf |date=20160304113857 }}
* {{книга |часть=Корень |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
  |место=М. |том=3 |страницы=15 |год=1982 |ref=Математическая энциклопедия
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
* {{cite web|first=James S.|last=Milne|title=Algebraic Number Theory|work=Course Notes|url=http://www.jmilne.org/math|year=1998|archiveurl=https://www.webcitation.org/66d42DClM?url=http://www.jmilne.org/math|archivedate=2012-04-02}}

== Ссылки ==
* [http://www.intuit.ru/studies/courses/1009/197/lecture/5122?page=1 Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Алгебраические числа}}

[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Многочлены]]
[[Категория:Комплексные числа]]