Просмотр кода страницы Континуум-гипотеза

{{Универсальная карточка}}
'''Конти́нуум-гипо́теза''' (''проблема континуума'', ''первая проблема Гильберта'') — выдвинутое в [[1877 год в науке|1877 году]] [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Георгом Кантором]] предположение о том, что любое бесконечное подмножество [[Континуум (теория множеств)|континуума]] является либо [[счётное множество|счётным]], либо [[Континуум (теория множеств)|континуальным]]. Другими словами, гипотеза предполагает, что [[мощность множества|мощность]] континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества [[Действительное число|действительных чисел]] всегда можно установить [[взаимно-однозначное соответствие]] либо между элементами этого множества и множеством [[Целое число|целых чисел]], либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами [[Наивная теория множеств|наивной теории множеств]] не увенчались успехом, в дальнейшем показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в [[ZFC|аксиоматике Цермело — Френкеля]] (как с [[Аксиома выбора|аксиомой выбора]], так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с [[Аксиома детерминированности|аксиомой детерминированности]] (ZF+AD).

== История ==
{{also|Иерархия алефов}}
Континуум-гипотеза стала первой из [[проблемы Гильберта|двадцати трёх математических проблем]], о которых [[Гильберт, Давид|Гильберт]] доложил на [[Международный конгресс математиков|II Международном Конгрессе математиков]] в [[Париж]]е в [[1900 год]]у. Поэтому континуум-гипотеза известна также как '''''первая проблема Гильберта'''''.

В [[1940 год в науке|1940 году]] [[Гёдель, Курт|Гёдель]] доказал, что [[отрицание]] континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — [[Аксиоматика теории множеств|системе аксиом Цермело — Френкеля]] с [[Аксиома выбора|аксиомой выбора]], а в [[1963 год в науке|1963 году]] [[Коэн, Пол|Коэн]] с помощью разработанного им {{Не переведено|:en:Forcing (mathematics)|Метод форсинга|метода форсинга}} доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC<ref>''Пол Дж. Коэн'' Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.</ref>. Оба эти результата опираются на предположение о [[Непротиворечивость|непротиворечивости]] ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы <math>\mathrm {ZFC+\neg CH}</math> имеет смысл задавать вопрос: для каких [[Порядковое число|ординалов]] <math>\alpha</math> может выполняться равенство <math>\mathfrak c=\aleph_\alpha</math>? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году {{Не переведено|:en:Easton's theorem|теорема Истона}}.

== Эквивалентные формулировки ==
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:
* Прямая <math>\R</math> может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел <math>a, b, c, d</math> не выполняется условие <math>a + b = c + d</math><ref>http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf{{ref-en}}{{Недоступная ссылка|date=Сентябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>.
* Плоскость <math>\R^2</math> может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид <math>y=f(x)</math> (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или <math>x=f(y)</math> (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)<ref>{{книга
 |автор         = [[Вацлав Серпинский]]
 |заглавие      = Cardinal And Ordinal Numbers
 |место         = [[Warszawa]]
 |издательство  = Polish Scientific Publishers
 |год           = 1965
}}{{ref-en}}</ref>.
* Пространство <math>\R^3</math> можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям <math>Ox</math>, <math>Oy</math> и <math>Oz</math>, соответственно, лишь в конечном числе точек<ref>{{книга
 |автор         = [[Вацлав Серпинский]]
 |заглавие      = О теории множеств
 |место         = М.
 |издательство  = Просвещение
 |год           = 1966
}}</ref>.
* Пространство <math>\R^3</math> можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка <math>P</math>, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через <math>P</math>, лишь в конечном числе точек<ref>http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-05/setplane.ps</ref>.

== Вариации и обобщения ==
'''Обобщённая континуум-гипотеза''' заключается в предположении, что для любого бесконечного [[Кардинальное число|кардинала]] <math>\aleph_\alpha</math> выполняется равенство <math>2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}</math> или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество <math>S</math>, найдётся подмножество, равномощное [[булеан]]у <math>\mathcal P (S)</math><ref>{{БСЭ3|статья= Континуума проблема|автор= [[Драгалин, Альберт Григорьевич|А. Г. Драгалин]]}}</ref>.

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали [[Серпинский, Вацлав|Серпинский]] в 1947 году и [[Шпеккер]] в 1952 году, из неё следует [[аксиома выбора]].

== См. также ==
* [[Аксиома Мартина]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья |автор=Катин Ю. Е. |заглавие=Из истории проблемы континуума |издание=История и методология естественных наук |выпуск=9 |год=1970 |место=М. |издательство=МГУ |страницы=248—261}}
* ''[[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]]'' [http://mi.mathnet.ru/intd14 Проблема континуума] // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.

{{Проблемы Гильберта}}

[[Категория:Проблемы Гильберта|#01]]
[[Категория:Аксиомы теории множеств]]
[[Категория:Мощность множеств]]
[[Категория:Бесконечность]]