Просмотр кода страницы Коническое сечение

{{другие значения|Конус (значения)}}
[[Файл:Conic sections.png|thumb|right|Конические сечения: <span style="color:yellow;background-color:lightgrey;">окружность</span>, <span style="color:red;background-color:lightgrey;">эллипс</span>, <span style="color:blue;background-color:lightgrey;">парабола</span> (плоскость сечения параллельна образующей конуса), <span style="color:green;background-color:lightgrey;">гипербола</span>.]]
[[Файл:Conic sections 2-noeng.png|thumb|Три основных конических сечения]]
[[Файл:Blue cut-cone.gif|thumb|right]]

'''Кони́ческое сече́ние''', или '''ко́ника'''<ref>Lohwater’s A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 162</ref>, — пересечение [[Плоскость (математика)|плоскости]] с поверхностью кругового [[конус]]а. Существует три главных типа конических сечений: [[эллипс]], [[парабола]] и [[Гипербола (математика)|гипербола]], кроме того, существуют вырожденные сечения: [[Точка (геометрия)|точка]], [[прямая]] и пара прямых.
[[Окружность]] можно рассматривать как частный случай [[Эллипс|эллипса]].

Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом
: <math> a^2 z^2 = x^2 + y^2 </math> (в [[Декартова система координат|декартовой системе координат]])
Здесь
: <math> a = \operatorname{tg} \theta </math>
: <math>\theta</math> — угол между образующей конуса и его осью.

Если плоскость проходит через [[начало координат]], то получается вырожденное сечение.
В невырожденном случае,
* если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс,
* если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу,
* если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть, все конические сечения являются [[квадрика]]ми, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику, которая не может быть получена как сечение конуса, но она может быть получена как сечение цилиндра — вырожденного конуса, и обычно считается «вырожденным коническим сечением»).

== История ==
Конические сечения были известны ещё математикам [[Древняя Греция|Древней Греции]]. 

Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» [[Аполлоний Пергский|Аполлония Пергского]] (около 200 г. до н. э.). 
По-видимому он первым описал фокусы эллипса и [[Гипербола (математика)|гиперболы]]<ref name="cajori">Florian Cajori, A History of Mathematics, 5th edition 1991</ref>{{rp|41}}.

[[Папп Александрийский]] первым описал фокус параболы и вывел общее уравнение для конического сечения как [[геометрическое место точек]], для которых отношение расстояний до точки фокуса и [[Директриса (геометрия)|директрисы]] постоянно<ref name="cajori"/>{{rp|48}}.

== Эксцентриситет ==
[[Файл:Eccentricity.png|right|thumb|280px|<FONT COLOR="#ff0000">Эллипс (''e''=1/2)</FONT>, <FONT COLOR="#00ff00">парабола (''e''=1)</FONT> и <FONT COLOR="#0000ff">гипербола (''e''=2)</FONT> с фиксированными фокусом ''F'' и директрисой.]]
{{основная|Эксцентриситет}}
Все невырожденные конические сечения, кроме [[окружность|окружности]], можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку <math>F</math> и прямую <math>d</math> и зададим вещественное число <math>e\ge0</math>. Тогда [[геометрическое место точек]], для которых расстояние до точки <math>F</math> и до прямой <math>d</math> отличается в <math>e</math> раз, является коническим сечением.
Точка <math>F</math> называется '''фокусом''' конического сечения,
прямая <math>d</math> — '''[[Директриса|директрисой]]''',
число <math>e</math> — [[эксцентриситет]]ом.
:<math>|FM| = e\cdot |MM'|,\  MM' \bot d</math>

В зависимости от эксцентриситета, получится:

* при <math>e>1</math> — [[Гипербола (математика)|гипербола]].
* при <math>e=1</math> — [[парабола]];
* при <math>e<1</math> — [[эллипс]];

Для [[окружность|окружности]] полагают <math>e=0</math> (хотя фактически при <math>e=0</math> ГМТ является только точка <math>F</math>).

Эксцентриситет связан с параметрами конуса и расположением секущей плоскости относительно оси конуса следующим соотношением<ref name="geom">{{книга|автор=[[Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]]|заглавие=Геометрия|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1983|страниц=288}}</ref>{{rp|46,47}}:
:<math>e=\frac{\sin(90^\circ-\psi)}{\sin(90^\circ-\varphi)}=\frac{\cos\psi}{\cos\varphi},</math>

здесь <math>\psi</math> — угол наклона секущей плоскости к оси конуса, <math>\varphi</math> — угол между образующей и осью конуса, равный половине угла раствора конуса. Из этой формулы видно, что, пересекая данный конус плоскостью, можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает <math>\frac{1}{\cos\varphi}</math>. Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси.

[[Файл:EsferasFocalesDeDandelinDirectrizDeElipses01.png|thumb|left|Эллипс (синий) как коническое сечение, разделяющее [[шары Данделена]]; директрисы эллипса (Df1 и Df2), его фокусы (f1 и f2) и эксцентриситет (e)]]

== Шары Данделена ==
{{main|Шары Данделена}}
Некоторые важные свойства конических сечений получаются при рассмотрении двух шаров, касающихся конического сечения и конуса — ''шаров Данделена''. Например, с их помощью устанавливается геометрический смысл фокуса, директрисы и эксцентриситета конического сечения<ref name="geom"/>{{rp|46,47}}.

== Свойства ==
* Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение.

== Группы преобразований ==
*[[Эксцентриситет]] двух невырожденных конических сечений совпадает тогда и только тогда, когда они могут быть переведены друг в друга преобразованием [[подобие|подобия]].
* [[Аффинное преобразование|Аффинные преобразования]] сохраняют только знак эксцентриситета, т.е. с точки зрения [[Аффинная геометрия|аффинной геометрии]] существует только три различных невырожденных конических сечения: эллипс, парабола и гипербола.
* Все невырожденные конические сечения неразличимы в [[проективная геометрия|проективной геометрии]].

== Координатное представление ==

=== Декартовы координаты ===
В [[декартовы координаты|декартовых координатах]], конические сечения описываются общим квадратным [[многочлен]]ом:
:<math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, </math>
Иначе говоря, конические сечения являются [[Кривая второго порядка|кривыми второго порядка]]. Знак [[дискриминант]]а
:<math>B^2-4AC, </math>
определяет тип конического сечения.
* Если дискриминант меньше нуля, то это [[эллипс]], точка или пустое множество.
* Если дискриминант равен нулю, то это [[парабола]], [[прямая]] или пара параллельных прямых.
* Если дискриминант больше нуля, то это [[гипербола (математика)|гипербола]] или пара пересекающихся прямых

=== Полярные координаты ===
В [[полярные координаты|полярных координатах]] <math>(\rho,\theta)</math>, с центром в одном из фокусов и нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением
: <math>\rho (1 + e \cos \theta) = l</math>
где ''е'' обозначает эксцентриситет, а ''l'' фокальный параметр.

== [[Гравитация]] ==
В рамках [[классическая механика|классической механики]] траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений [[закон обратных квадратов|закона обратных квадратов]] — [[закон всемирного тяготения|закону всемирного тяготения]], и вследствие этого является одной из конических кривых — параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — эллипсы, гиперболы<ref>{{статья |автор= David U. Hughes.|заглавие= On hyperbolic comets|ссылка= http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1991JBAA..101..119H&amp;data_type=PDF_HIGH&amp;whole_paper=YES&amp;type=PRINTER&amp;filetype=.pdf|язык= en|издание= Journal of the British Astronomical Association|год= 1991|volume= 101|номер= 2|страницы= 119-120}}
</ref> или «почти параболические»<ref>[http://elibrary.ru/item.asp?id=13037018 Особенности захвата комет галлеевского типа с почти параболических орбит<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref> (см. также [[Небесная механика]]), траектория полёта пушечного ядра без учёта влияния воздуха — дуга эллипса близкого к параболе.

== См. также ==
* [[Квадрика]]
* [[Кривая второго порядка]]
* [[Коническая константа]]
* [[Конус]]
* [[Кубика]]
* [[Поверхность второго порядка]]
* [[Теорема Паскаля]]
* [[Теорема Брианшона]]
* [[Фигуры Лиссажу]]
* [[Конструкция Штейнера]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* А. В. Акопян, А. А. Заславский ''[http://math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка,]'' — М.: [[МЦНМО]], 2007. — 136 с.
* И. Н. Бронштейн, [http://kvant.mccme.ru/1975/05/obshchie_svojstva_konicheskih.htm ''Общие свойства конических сечений''], [[Квант (журнал)|Квант]], №&nbsp;5, 1975.
* Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/kon-fossen.djvu ''Наглядная геометрия''], глава I.
* Р. Курант, Г. Роббинс, [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm ''Что такое математика?''] Глава IV, § 8.
* А. И. Маркушевич [https://web.archive.org/web/20080914045448/http://ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04]
* [[Шаль, Мишель]]. [[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XV|Об ангармоническом свойстве точек конического сечения]] и проч. // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. XV-XVI. М., 1883.

== Ссылки ==
{{commonscat-inline|Conic sections}}

{{Конические сечения}}
{{Кривые}}

[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Аналитическая геометрия]]