Просмотр кода страницы Кольцо (математика)

{{Другие значения|Кольцо}}
{{about|структуре с [[ассоциативная операция|ассоциативным]] умножением|более общем определении|неассоциативное кольцо}}
'''Кольцо́''' (также ''ассоциативное кольцо'') в [[Общая алгебра|общей алгебре]] — [[алгебраическая структура]], в которой определены операция обратимого [[Сложение|сложения]] и операция [[Умножение|умножения]], по свойствам похожие на соответствующие операции над [[Число|числами]]. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел ([[Целое число|целых]], [[Вещественные числа|вещественных]], [[Комплексные числа|комплексных]]), совокупности числовых [[Функция (математика)|функций]], определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его [[Элемент множества|элементы]] можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом{{Sfn|Винберг|2011|с = 17—19}}.

Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся, и было введено понятие кольца<ref>{{статья | автор = Бельский А., Садовский Л. | заглавие = Кольца | ссылка = http://kvant.mccme.ru/1974/02/kolca.htm | издание = [[Квант (журнал)|Квант]] | номер = 2 | год = 1974}}</ref>.

Кольца являются основным объектом изучения [[теория колец|теории колец]] — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]], [[алгебраическая теория чисел|алгебраической теории чисел]], [[алгебраическая K-теория|алгебраической <math>K</math>-теории]], [[теория инвариантов|теории инвариантов]].

== История ==
Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 1860—1870-е годы было построение [[Делимость|теории делимости]] в общих полях [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]].
Решение этой задачи было опубликовано [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Рихардом Дедекиндом]] («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие [[Кольцо целых|кольца целых]] числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и [[Идеал (алгебра)|идеала]]<ref>{{Статья|автор = Erich Reck|ответственный = Edward N. Zalta|год = 2012-01-01|заглавие = Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics|ссылка = http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/dedekind-foundations/|издание = The Stanford Encyclopedia of Philosophy}}</ref>.
{{раздел не завершён}}

== Определение ==
Кольцо — [[множество]] <math>R</math>, на котором заданы две [[бинарная операция|бинарные операции]]: <math>+</math> и <math>\times</math> (называемые '''сложение''' и '''умножение'''), со следующими свойствами, выполняющимися для любых <math>a, b, c \in R</math>:

# <math>a + b = b + a</math> — [[Коммутативная операция|коммутативность]] сложения;
# <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> — [[Ассоциативная операция|ассоциативность]] сложения;
# <math>\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)</math> — существование [[Нейтральный элемент|нейтрального элемента]] относительно сложения;
# <math>\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b =  b + a = 0\right)</math> — существование противоположного элемента относительно сложения;
# <math>(a \times b) \times c=a \times (b \times c)</math> — ассоциативность умножения;
# <math>\left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \\ (b + c) \times a = (b \times a) + (c \times a) \end{matrix}\right.  </math> — [[дистрибутивность]].

Иными словами, кольцо — [[Алгебра (универсальная алгебра)|универсальная алгебра]] <math>\left(R, +, \times \right)</math>, являющаяся [[Абелева группа|абелевой группой]] относительно сложения <math>+</math>, [[Полугруппа|полугруппой]] относительно умножения <math>\times</math>, и обладающая двусторонней [[дистрибутивность]]ю <math>\times</math> относительно <math>+</math>.

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

* наличие [[Нейтральный элемент|единицы]]: <math>\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)</math> (''кольцо с единицей''), обычно единица обозначается 1;
* [[коммутативность]] умножения: <math>\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)</math> (''[[коммутативное кольцо]]'');

Иногда под кольцом понимают только кольца [[единица (алгебра)|с единицей]]{{Sfn|Атья, Макдональд|1972|с = 9}} (то есть требуют, чтобы <math>\left(R, \times \right)</math> была [[моноид]]ом), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы{{Sfn|Винберг|2011|с = 18—19}}).

Вместо символа <math>\times</math> часто используют символ <math>\cdot</math>, либо вовсе его опускают.

== Простейшие свойства ==
Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:
* относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
* для любого элемента кольца [[Обратный элемент|обратный]] к нему по сложению элемент единственен;
* нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
* <math>a \cdot 0 = 0,</math> то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
* <math>(-b) = (-1) \cdot b,</math> где <math>(-b)</math> — элемент, обратный к <math>b</math> по сложению;
* <math>(-a) \cdot b = (-ab);</math>
* <math>(-a) \cdot (-b) = (ab).</math>{{Sfn|Курош|1968|с = 273—275}}{{Sfn|Винберг|2011|с = 18—19}}

== Основные понятия ==

=== Виды элементов кольца ===
Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным{{Переход|#Примеры}}). Тогда левый [[делитель нуля]] — ненулевой элемент <math>a</math> кольца <math>R,</math> для которого существует ненулевой элемент <math>b</math> кольца <math>R</math>, такой что <math>ab=0.</math> Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример:
рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале <math>(-1, 1).</math> Положим <math>f(x)=\max(0, x),</math> <math>g(x)=\max(0, -x).</math> тогда <math>f\ne0, g\ne0, fg=0,</math> то есть <math>f, g</math> являются делителями нуля. Здесь условие <math>f\ne0</math> означает, что <math>f</math> является функцией, отличной от нуля, но не означает, что <math>f</math> нигде не принимает значение <math>0.</math>{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 51—53}}

[[Нильпотентный элемент]] — элемент <math>a,</math> такой что <math>a^n = 0</math> для некоторого <math>n > 0.</math> Пример: [[матрица (математика)|матрица]] <math>\bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr).</math> Нильпотентный элемент всегда является [[Делитель нуля|делителем нуля]] (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно{{sfn|Атья, Макдональд|1972|с = 11}}.

[[Идемпотентный элемент]] <math>e</math> — такой элемент, что <math>e\cdot e=e.</math> Например, идемпотентен любой [[оператор проектирования]], в частности, следующий:
<math>\bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 0\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)</math>
в кольце матриц <math>2\times 2.</math>{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 359}}

Если <math>a</math> — произвольный элемент кольца с единицей <math>R,</math> то левым обратным элементом к <math>a</math> называется <math>a^{-1}_{l}</math> такой, что <math>a^{-1}_{l}a=1.</math> Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента <math>a</math> есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что <math>a</math> обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается <math>a^{-1}.</math> Сам элемент называется обратимым элементом.{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 51—53}}

=== Подкольцо ===
{{main|Подкольцо}}
Подмножество <math>A\subset R</math> называется '''подкольцом''' <math>R,</math> если <math>A</math> само является кольцом относительно операций, определённых в <math>R.</math> При этом говорят, что <math>R</math> — расширение кольца <math>A.</math>{{Sfn|Винберг|2011|с = 407}} Другими словами, непустое подмножество <math>A\subset R</math> является подкольцом, если
* <math>A</math> является аддитивной подгруппой кольца <math>R,</math> то есть для любых <math>x, y \in A : x+y, -x \in A,</math>
* <math>A</math> замкнуто относительно умножения, то есть для любых <math>x, y \in A : xy \in A.</math>

По определению, подкольцо [[Непустое множество|непусто]], поскольку содержит [[нулевой элемент]]. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца{{Sfn|Куликов|1979|с = 110—111}}.

Подкольцо наследует свойство коммутативности{{Sfn|Винберг|2011|с = 21}}.

[[Пересечение множеств|Пересечение]] любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество <math>E\subset R</math> называется подкольцом, порождённым <math>E,</math> а <math>E</math> — системой образующих для кольца <math>R.</math> Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих <math>E,</math> удовлетворяет этому определению.{{Sfn|Куликов|1979|с = 110—111}}

Подкольцо кольца с единицей <math>R,</math> порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца <math>R.</math> Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца <math>R.</math>{{Sfn|Куликов|1979|с = 437}}

=== Идеалы ===
{{main|Идеал (алгебра)}}
Определение и роль идеала кольца сходны с определением [[нормальная подгруппа|нормальной подгруппы]] в теории [[группа (математика)|групп]]{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 64}}.

Непустое подмножество <math>I</math> кольца <math>R</math> называется левым идеалом, если:
* <math>I</math> является аддитивной [[подгруппа|подгруппой]] кольца, то есть сумма любых двух элементов из <math>I</math> принадлежит <math>I,</math> а также <math>a\in I\Rightarrow -a\in I.</math>

* <math>I</math> замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого <math>a\in I,</math> <math>r\in R</math> верно <math>ra\in I</math>.
Из первого свойства следует и замкнутость <math>I</math> относительно умножения внутри себя, так что <math>I</math> является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.

Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца <math>R</math> — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца <math>R</math> может определяться как ядро некоторого [[гомоморфизм]]а <math>f : R \to R'</math>{{Sfn|Фейс|1977|с = 153}}.

Если <math>x</math> — элемент кольца <math>R</math>, то множество элементов вида <math>Rx</math> (соответственно, <math>xR</math>) называется левым (соответственно, правым) [[главный идеал|главным идеалом]], порождённым <math>x</math>. Если кольцо <math>R</math> коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый <math>x,</math> обозначается <math>(x).</math> Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными{{Sfn|Куликов|1979|с = 430—431}}.

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется [[простое кольцо|простым]], если [[факторкольцо]] по этому идеалу не имеет делителей нуля. Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется [[Максимальный идеал|максимальным]]{{Sfn|Винберг|2011|с = 406}}.

=== Гомоморфизм ===
Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, [[гомоморфизм]] из кольца <math>R</math> в кольцо <math>S</math> — [[функция (математика)|функция]] <math>f : R \to S,</math> такая что
# <math>f(a + b) = f(a) + f(b)</math>,
# <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b), ~\forall a, b \in ~R</math>.

В случае колец с единицей иногда требуют также условия <math>f(1) = 1</math>{{Sfn|Фейс|1979|с = 10}}{{Sfn|Винберг|2011|с = 388}}.

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует [[обратная функция|обратный]] гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. [[Автоморфизм]] — гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом{{Sfn|Куликов|1979|с = 107—108}}.

Если <math>f:R\to S</math> — гомоморфизм колец, множество элементов <math>R,</math> переходящих в ноль, называется [[ядро (алгебра)|ядром]] <math>f</math> (обозначается <math>\mathrm{ker} f</math>). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом{{Sfn|Куликов|1979|с = 432}}. С другой стороны, образ <math>f</math> не всегда является идеалом, но является подкольцом <math>S</math>{{Sfn|Фейс|1977|c = 153}} (обозначается <math>\mathrm{im} f</math>).

=== Факторкольцо ===
{{main|Факторкольцо}}
Определение факторкольца по идеалу аналогично определению [[факторгруппа|факторгруппы]]. Более точно, факторкольцо кольца <math>R</math> по двустороннему идеалу <math>I</math> — множество [[класс смежности|классов смежности]] аддитивной группы <math>R</math> по аддитивной подгруппе <math>I</math> со следующими операциями:
* <math>(a + I) + (b + I) = (a + b) + I</math>,
* <math>(a + I)(b + I) = (ab) + I</math>.

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм <math>p: R \to R/I</math>, задаваемый как <math>x \mapsto x + I</math>. Ядром при этом является идеал <math>I</math>.

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец:
пусть <math>f : R \to R',</math> тогда <math>\mathrm{Im} f</math> изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма
<math>\mathrm{Im} f \simeq A/\mathrm{Ker} f</math>{{Sfn|Винберг|2011|с = 387—390}}.

== Некоторые особые классы колец ==
* Кольцо с единицей <math>1 \neq 0</math>, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется [[тело (алгебра)|телом]]{{Sfn|Винберг|2011|с = 523}}.
* Коммутативное тело называется [[поле (алгебра)|полем]]{{Sfn|Фейс|1977|с = 152}}; иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных [[идеал (алгебра)|идеалов]]{{Sfn|Атья, Макдональд|1972|с = 11}}{{Sfn|Куликов|1979|c = 430}}.
* Коммутативное кольцо без делителей нуля называется [[Область целостности|областью целостности]] (или целостным кольцом){{Sfn|Винберг|2011|с = 118}}. Любое поле является областью целостности, но обратное неверно{{Sfn|Атья, Макдональд|1972}}.
* Целостное кольцо <math>R</math>, не являющееся полем, называется [[Евклидово кольцо|евклидовым]], если на кольце задана норма <math>N\colon R \to Z_+</math> такая, что:
*# для любых ненулевых <math>a,b \in R</math> верно, что <math>N(a) \le N(ab)</math>;
*# для любых ненулевых <math>a,b \in R</math> существуют <math>q,r \in R</math> такие, что <math>a = qb + r</math> и <math>r = 0</math> или <math>N( r ) < N(b)</math>{{Sfn|Винберг|2011|с = 118}}.
* Целостное кольцо, в котором всякий [[Идеал (алгебра)|идеал]] является главным, называется [[кольцо главных идеалов|кольцом главных идеалов]]; всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов{{Sfn|Винберг|2011|с = 21}}.
* {{якорь|Числовое кольцо}}Кольцо, элементами которого являются [[число|числа]], а операциями — [[сложение]] и [[умножение]] чисел, называют '''''числовым кольцом''''', например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное{{Sfn|Курош|1968|с = 266}}.

== Примеры ==
* <math>\{ 0\}</math> — [[тривиальное кольцо]], состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей{{Sfn|Винберг|2011|с = 18—19}}. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения [[Теория категорий|теории категорий]], так как при этом в категориях колец возникает [[терминальный объект]].
* <math>\mathbb{Z}</math> — [[целые числа]] (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как [[алгебра над кольцом|алгебру]] над <math>\Z</math>. Также это [[начальный объект]] в категории {{math|'''Ring'''}} колец с единицей.{{Sfn|Фейс|1977}}{{Sfn|Фейс|1979}}
* <math>\mathbb{Z}_n</math> — [[конечное кольцо]] [[Сравнение по модулю|вычетов]] по модулю натурального числа {{mvar|n}}. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число {{mvar|n}} [[Простое число|простое]].{{Sfn|Винберг|2011|с = 28—34}} Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории [[конечное поле|конечных полей]]. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры [[Конечнопорождённая абелева группа|конечнопорождённых абелевых групп]], их также можно использовать для построения [[p-адическое число|{{mvar|p}}-адических чисел]].
* <math>\mathbb{Q}</math> — кольцо [[рациональное число|рациональных чисел]], являющееся полем. Это простейшее поле [[Характеристика поля|характеристики]] 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\R</math> и {{mvar|p}}-адических чисел <math>\Q_p,</math> где {{mvar|p}} — произвольное простое число{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 509—512}}.
* Для произвольного коммутативного кольца <math>R</math> можно построить [[кольцо многочленов]] от {{mvar|n}} переменных <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> с коэффициентами в <math>R.</math>{{Sfn|Куликов|1979|с = 110—111}} В частности, <math>R[x][y]=R[x,y].</math> Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через [[тензорное произведение]]: <math>R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).</math>
* Кольцо подмножеств множества <math>X</math> — кольцо, элементами которого являются подмножества в <math>X</math>. Операция сложения есть [[симметрическая разность]], а умножение — [[пересечение множеств]]:
: <math>A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),</math>
: <math>A \cdot B = A \cap B.</math>
: Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё <math>X.</math> Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть <math>A\cdot A = A.</math> Любой элемент является своим обратным по сложению: <math>A+A=0.</math> Кольцо подмножеств важно в теории [[Булева алгебра|булевых алгебр]] и [[Мера множества|теории меры]], в частности в построении [[Теория вероятностей|теории вероятностей]]{{Sfn|Винберг|2011|с = 18—19}}.

== Конструкции ==

=== Прямое произведение ===
[[Прямое произведение|Произведение]] <math>R\times S</math> колец <math>R</math> и <math>S</math> можно снабдить естественной структурой кольца: для любых <math>r_1,r_2\in R</math>, <math>s_1,s_2\in S</math>:
* <math>(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),</math>
* <math>(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).</math>

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно){{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 33}}.

Пусть <math>R</math> — [[коммутативное кольцо]] и <math>\mathfrak{a}_1, \cdots,  \mathfrak{a}_n</math> — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их [[сумма идеалов|сумма]] равна всему кольцу). [[Китайская теорема об остатках]] утверждает, что отображение:
: <math>R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x +  \mathfrak{a}_1, \ldots , x +  \mathfrak{a}_n)</math>
сюръективно, а его ядро — <math>\prod \mathfrak{a}_i = \cap  \mathfrak{a}_i</math> ([[произведение идеалов]], [[пересечение идеалов]]){{Sfn|Фейс|1979|с = 10}}.

=== Кольцо эндоморфизмов ===
Множество [[эндоморфизм]]ов [[Абелева группа|абелевой группы]] <math>(A, +)</math> образует кольцо, обозначаемое <math>\operatorname{End}(A)</math>. Сумма двух эндоморфизмов определяется покомпонентно: <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>, а произведение — как композиция: <math>(fg)(x)=f(g(x))</math>. Если <math>(A, +)</math> — неабелева группа, то <math>f+g</math>, вообще говоря, не равно <math>g+f</math>, тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 173}}.

=== Поле частных и кольцо частных ===
{{main|Поле частных|Кольцо частных}}
Для [[целостное кольцо|целостного кольца]] <math>R</math> существует конструкция, позволяющая построить наименьшее [[поле (алгебра)|поле]], содержащее его. [[Поле частных]] кольца <math>R</math> — множество [[класс эквивалентности|классов эквивалентности]] формальных дробей <math>p/q,\; p,q\in R</math> по следующему [[отношение эквивалентности|отношению эквивалентности]]:
: <math>{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}</math> тогда и только тогда, когда <math>{p_1q_2}= {p_2q_1},</math>

с обычными операциями: <math>{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.</math>

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходится воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, мультипликативно замкнутая система <math>S</math> в коммутативном кольце <math>R</math> (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда [[кольцо частных]] <math>S^{-1}R</math> — множество классов эквивалентности формальных дробей <math>r/s,\; r\in R, s\in S</math> по отношению эквивалентности:
: <math>{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}</math> тогда и только тогда, когда существует <math>s'\in S</math>, такое что <math>s'{r_1s_2-r_2s_1}= 0.</math>

Также эту конструкцию называют [[Локализация кольца|локализацией кольца]] (так как в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]] она позволяет исследовать локальные свойства [[алгебраическое многообразие|многообразия]] в отдельной его точке). Пример: кольцо [[десятичная дробь|десятичных дробей]] — локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе
<math>S=\{10^n|n\geqslant 0\}.</math>

Существует естественное отображение <math>R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.</math> Его [[ядро (алгебра)|ядро]] состоит из таких элементов <math>r</math>, для которых существует <math>s \in S</math>, такое что <math>rs = 0</math>. В частности, для целостного кольца это отображение [[инъективность|инъективно]]{{Sfn|Ван дер Варден|1975|с = 450—452}}{{Sfn|Курош|1968|с = 305—311}}.

== Категорное описание ==
{{якорь|Категорное описание}}
Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют [[теория категорий|категорию]], обычно обозначаемую <math>\mathbf{Ring}</math> (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают <math>\mathbf{Rng}</math>). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она [[полная категория|полна и кополна]]. Это значит, что в ней существуют все малые [[предел (теория категорий)|пределы]] и копределы (например, [[произведение (теория категорий)|произведения]], [[копроизведение|копроизведения]], [[ядро (теория категорий)|ядра]] и [[коядро (теория категорий)|коядра]]). Категория колец с единицей обладает [[начальный объект|начальным объектом]] (кольцо <math>\mathbb Z</math>) и [[терминальный объект|терминальным объектом]] (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — [[моноид (теория категорий)|моноид]] в [[категория абелевых групп|категории абелевых групп]] (абелевы группы образуют [[моноидальная категория|моноидальную категорию]] относительно операции [[тензорное произведение|тензорного произведения]]). [[Действие группы|Действие]] кольца ''R'' на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как [[моноид]] по умножению) превращает абелеву группу в ''R''-[[модуль над кольцом|модуль]]. Понятие модуля обобщает понятие [[векторное пространство|векторного пространства]]: грубо говоря, модуль — «векторное пространство над кольцом».{{Sfn|Фейс|1977}}{{Sfn|Фейс|1979}}

== Специальные классы колец ==
{{кол}}
* [[Артиново кольцо]]
* [[Дедекиндово кольцо]]
* [[Дистрибутивное кольцо]]
* [[Дифференциальная алгебра|Дифференциальное кольцо]]
* [[Кольцо главных идеалов]]
* [[Евклидово кольцо]]
* [[Кольцо Безу]]
* [[Кольцо Ли]]
* [[Конечное кольцо]]
* [[Локальное кольцо]]
* [[Нётерово кольцо]]
* [[Область целостности]]
* [[Область главных идеалов]]
* [[Первичное кольцо]]
* [[Полулокальное кольцо]]
* [[Полупервичное кольцо]]
* [[Полупростое кольцо]]
* [[Полуцепное кольцо]]
* [[Простое кольцо]]
* [[Факториальное кольцо]]
* [[Цепное кольцо]]
{{конец кол}}

Обобщения — [[неассоциативное кольцо]], [[полукольцо]], [[почтикольцо]].

== Структуры над кольцами ==
* [[Алгебра над кольцом]]
* [[Бимодуль над кольцом]]
* [[Модуль над кольцом]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга| автор=[[Атья, Майкл Фрэнсис|М. Атья]], И. Макдональд|заглавие = Введение в коммутативную алгебру| место= {{М}} | издательство = Мир | год = 1972 |страниц = 160 | ref=Атья, Макдональд}}
* ''Бельский А., Садовский Л.'' [http://kvant.mccme.ru/1974/02/kolca.htm Кольца.] [[Квант (журнал)|Квант]] № 2, 1974.
* {{книга| автор=[[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден Б. Л.]]|заглавие = Алгебра| место= {{М}} | издательство = Мир | год = 1975 |страниц = 623 | ref=Ван дер Варден}}
* {{книга| автор=[[Винберг, Эрнест Борисович|Винберг Э. Б.]]|заглавие = Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.| место= {{М}} | издательство = МЦНМО | год = 2011 |страниц = 592 | ref=Винберг}}
* {{книга| автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]]|заглавие = История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.| место= {{М}} | издательство = Просвещение | год = 1983 |страниц = 351 | ref=Глейзер}}
* {{книга| автор=[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]],[[Юшкевич, Адольф Павлович|Юшкевич А. П.]](ред.) |заглавие = Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей| место= {{М}} | издательство = Наука | год = 1978 |страниц = 255 | ref=Колмогоров}}
* {{книга| автор=Куликов Л. Я.|заглавие = Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов| место= {{М}} | издательство = Высш. школа | год = 1979 |страниц = 559 | ref=Куликов}}
* {{книга| автор=[[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]]|заглавие = Курс высшей алгебры.| место= {{М}} | издательство = Наука | год = 1968 |страниц = 431 | ref=Курош}}
* {{книга| автор=Фейс К.|заглавие = Алгебра. Кольца, модули, категории.|том = 1| место= {{М}} | издательство = Мир | год = 1977 |страниц = 688 | ref=Фейс}}
* {{книга| автор=Фейс К.|заглавие = Алгебра. Кольца, модули, категории.|том = 2| место= {{М}} | издательство = Мир | год = 1979 |страниц = 464 | ref=Фейс}}
* {{книга| автор=Херстейн И.|заглавие = Некоммутативные кольца | место= {{М}} | издательство = Мир | год = 1972 |страниц = 190 | ref=Херстейн}}

[[Категория:Теория колец]]