Просмотр кода страницы Кеплеровы элементы орбиты

[[Файл:Orbit ru.svg|thumb|right|300px|Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)]]
[[Файл:Elipse.svg|thumb|right|300px|Части эллипса (рис.2)]]

'''[[Кеплер, Иоганн|Кеплеровы]] элементы''' — шесть [[Элементы орбиты|элементов]] [[орбита|орбиты]], определяющих положение [[небесное тело|небесного тела]] в пространстве в [[Гравитационная задача N тел|задаче двух тел]]:
* '''большая полуось''' (<math>a</math>),
* '''эксцентриситет''' (<math>e</math>),
* '''наклонение''' (<math>i</math>),
* '''долгота [[восходящий узел|восходящего узла]]''' <!--(☊-->(<math>\Omega</math>),
* '''аргумент [[перицентр]]а''' (<math>\omega</math>),
* '''средняя аномалия''' (<math>M_o</math>).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

== Большая полуось ==
'''[[Большая полуось]]''' — это половина главной оси [[эллипс]]а <math>|AB|</math> (обозначена на рис.2 как ''a''). В [[астрономия|астрономии]] характеризует максимальное расстояние небесного тела от центра эллиптической орбиты.{{нет АИ|16|02|2013}}<!-- ref>В случае [[Солнечная Система|Солнечной Системы]] большая полуось [[Земля_(планета)|Земли]] — среднее расстояние от неё до [[Солнце|Солнца]] </ref>
 Чтобы высказывание имело смысл, надо сначала определить, что такое «среднее расстояние». Если имеется в виду полусумма максимального и минимального, то это как бы очевидно ибо их сумма и есть большая полуось, и вовсе непонятно, причём тут собственно Земля.
   Incnis Mrsi -->

== Эксцентриситет ==
'''[[Эксцентриситет|Эксцентрисите́т]]''' (обозначается «<math>e</math>» или «ε») — числовая характеристика [[коническое сечение|конического сечения]].
Эксцентриситет [[инвариант (физика)|инвариантен]] относительно движений плоскости и [[Преобразование подобия|преобразований подобия]]<ref>А. В. Акопян, А. А. Заславский ''[http://math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка,]'' — М.: [[МЦНМО]], 2007. — 136 с.</ref>.
Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:
: <math>\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>, где <math>b</math> — малая полуось (см. рис.2)
Можно разделить внешний вид [[орбита|орбиты]] на пять групп:
* <math>\varepsilon = 0</math> — [[окружность]]
* <math>0 < \varepsilon < 1</math> — [[эллипс]]
* <math>\varepsilon = 1</math> — [[парабола]]
* <math>1 < \varepsilon < \infty</math> — [[Гипербола (математика)|гипербола]], <math>b</math> — мнимое число
* <math> \varepsilon = \infty</math> — [[прямая]] (вырожденный случай)

== Наклонение ==
[[Файл:Inclination in Elliptical Orbit.png|thumb|<math>A</math> – объект <br /><math>B</math> – центральный объект <br /><math>C</math> – плоскость отсчёта <br /><math>D</math> – плоскость орбиты <br />&nbsp;<math>i</math>&nbsp; – '''''наклонение''''']]
'''Наклоне́ние''' <'''орбиты'''> ('''накло́н''' <'''орбиты'''>, '''накло́нность''' <'''орбиты'''>) небесного тела — это [[угол]] между [[Плоскость (геометрия)|плоскостью]] его [[Орбита|орбиты]] и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой '''''i''''' (от {{lang-en|inclination}}). Наклонение измеряется в [[Градус, минута, секунда|угловых градусах, минутах и секундах]].

: Если <math>0<i<90</math>°, то движение небесного тела называется '''прямым'''<ref>То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля</ref>.
: Если <math>90</math>°<math><i<180</math>°, то движение небесного тела называется '''[[Ретроградное движение|обратным]]'''.

* В применении к [[Солнечная система|Солнечной системе]], за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты [[Земля (планета)|Земли]] ([[плоскость эклиптики]]). Плоскости орбит других [[Планета|планет]] Солнечной системы и [[Луна|Луны]] отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
* Для [[Искусственный спутник Земли|искусственных спутников Земли]] за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость [[экватор]]а Земли.
* Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
* Для [[экзопланета|экзопланет]] и [[двойная звезда|двойных звёзд]] за плоскость отсчёта принимают [[Картинная плоскость|картинную плоскость]].

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их '''взаимное наклонение''', по [[Теоремы косинусов (сферическая геометрия)|формуле косинуса угла]].

== Долгота восходящего узла ==
'''Долгота́ [[Узел орбиты|восходя́щего узла́]]''' — один из основных элементов [[орбита|орбиты]], используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с [[юг]]а на [[север]]. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) [[Плоскость (математика)|плоскость]], содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют [[плоскость эклиптики]] (движение [[Планета|планет]], [[Комета|комет]], [[астероид]]ов вокруг [[Солнце|Солнца]]), плоскость [[экватор]]а планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна ([[точка весеннего равноденствия]]). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

== Аргумент перицентра ==
'''Аргуме́нт [[Апоцентр и перицентр|перице́нтра]]''' — определяется как [[угол]] между направлениями из притягивающего центра на ''[[восходящий узел]]'' орбиты и на [[перицентр]] (ближайшую к притягивающему центру [[Точка (геометрия)|точку]] [[Орбита|орбиты]] небесного тела), или угол между линией узлов и [[линия апсид|линией апсид]]. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0[[Градус (геометрия)|°]]-360°. 

При исследовании [[экзопланета|экзопланет]] и [[двойная звезда|двойных звёзд]] в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через [[Звезда|звезду]] и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с [[Земля|Земли]]. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает [[картинная плоскость|картинную плоскость]], приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра [[По часовой стрелке и против часовой стрелки|против часовой стрелки]].

Обозначается (<math>\omega</math>).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как <math>\bar{\omega}</math>. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным<ref>{{книга|автор=Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|заглавие=Fundamental Astronomy|часть=6. Celestial Mechanics|издательство=Springer Science & Business Media|год=2007|издание=5-е изд|страницы=117—118|ссылка=https://books.google.com/books?id=DjeVdb0sLEAC&pg=PA117}}</ref>.

== Средняя аномалия ==
[[Файл:Аномалии.gif|thumb|right|Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.]]
[[Файл:Diagram Anomalies Kepler orbit.svg|lang=ru|thumb|left|300px|Аномалии (рис.3)]]
'''Средняя аномалия''' для тела, движущегося по [[Невозмущённое движение|невозмущённой]] орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения [[перицентр]]а. Таким образом, средняя [[Аномалия (астрономия)|аномалия]] есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой <math>M</math> (от {{lang-en|mean anomaly}})

В [[звёздная динамика|звёздной динамике]] '''средняя аномалия''' <math>M</math> вычисляется по следующим формулам:

: <math>M = M_0 + n(t-t_0)</math>

где:
:* <math>M_0</math> — средняя аномалия на эпоху <math>t_0</math>,
:* <math>t_0</math> — начальная эпоха,
:* <math>t</math> — эпоха, на которую производятся вычисления, и
:* <math>n</math> — [[Уравнение Кеплера#Эллиптическая орбита|среднее движение]].

Либо через [[уравнение Кеплера]]:

: <math>M=E - e \cdot \sin E</math>

где:
* <math>E</math> — [[эксцентрическая аномалия]] (<math>E</math> на рис.3),
* <math>e</math> — [[эксцентриситет]].

== Вычисление кеплеровых элементов ==
{{нет ссылок в разделе|дата=26 октября 2018}}
Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения <math>\mathbf r_0(x_0,y_0,z_0)</math> и вектор скорости <math>\mathbf {{\dot r}({\dot x_0}, {\dot y_0}, {\dot z_0})}</math> на момент времени <math>t</math>. Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:
: <math>r^2_0 = x^2_0 + y^2_0 + z^2_0</math>
: <math>\dot r^2_0 = \dot x^2_0 + \dot y^2_0 + \dot z^2_0</math>
: <math>r_0 \cdot \dot r_0 = x_0 \cdot \dot x_0  +  y_0 \cdot \dot y_0 +  z_0 \cdot \dot z_0</math>
По [[интеграл энергии|интегралу энергии]]:
: (1) <math>\frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}\mu</math>, где ''μ'' — [[гравитационный параметр]], равный произведению [[Гравитационная постоянная|гравитационной постоянной]] на массу небесного тела; для Земли ''μ'' = 3,986005{{e|5}} км³/c², для Солнца ''μ'' = 1,32712438{{e|11}} км³/c².
Следовательно, по формуле (1) находим <math>a</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Элементы орбиты]]

{{Небесная механика}}
{{Иоганн Кеплер}}

[[Категория:Небесная механика]]
[[Категория:Системы небесных координат]]
[[Категория:Орбиты]]