Просмотр кода страницы История логарифмов

'''История логарифмов''' как алгебраического понятия прослеживается с античных времён. Идейным источником и стимулом применения [[логарифм]]ов послужил тот факт (известный ещё [[Архимед]]у<ref name=USP9/>), что при перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=206}}: <math>a^b \cdot a^c = a^{b+c}</math>.

== Предшественники ==
Индийский математик VIII века {{iw|Вирасена|Вирасена|en|Virasena}}, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4<ref>{{citation| contribution=History of Mathematics in India |title=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|location=New Delhi |publisher=Popular Prakashan|year=2000| contribution-url=https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref>.

[[Файл:Stifel log.jpg|мини|340px|слева|Логарифмическая таблица М. Штифеля, «''Arithmetica integra''», 1544]]
Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в [[XVI век]]е быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением [[Корень (математика)|корней]]. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц [[Геометрическая прогрессия|геометрическую]] и [[Арифметическая прогрессия|арифметическую]] прогрессии, при этом геометрическая будет исходной{{sfn|Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=9|name=USP9}}. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также [[возведение в степень]] и [[извлечение корня]].

Первым эту идею опубликовал в своей книге «''Arithmetica integra''» (1544) [[Штифель, Михаэль|Михаэль Штифель]], который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи{{sfn |История математики, том II|1970|с=54—55}}<ref>{{Citation|title = Precalculus mathematics |author=Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley |publisher=Holt, Rinehart, Winston |location=New York |year=1972|isbn=978-0-03-077670-0 |page=182| url=https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным [[Рациональное число|рациональным]]{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=210}} (первые шаги в этом направлении сделали [[Орем, Николай|Николай Орем]] в XIV веке и [[Никола Шюке]] в XV веке).

== Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов» ==
{{See also|Неперов логарифм}}
[[Файл:John Napier.jpg|thumb|220px|<center>[[Джон Непер]]</center>]]
В [[1614 год]]у шотландский математик-любитель [[Непер, Джон|Джон Непер]] опубликовал на латинском языке сочинение под названием «''Описание удивительной таблицы логарифмов''» ({{lang-lat|Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio}}). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов [[синус (функция)|синусов]], [[косинус]]ов и [[тангенс]]ов, с шагом 1'. Термин ''логарифм'', предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «''Построение удивительной таблицы логарифмов''» ({{lang-lat|Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio}}), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=13|name=USP13 }}. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты{{sfn |История математики, том II|1970|с=56}}; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]].

Понятия [[Функция (математика)|функции]] тогда ещё не было, и Непер определил логарифм [[Кинематика|кинематически]], сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом<ref>{{книга |заглавие=Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей |ответственный=Под ред. [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Просвещение |год=1977 |страниц=224 |страницы=40 }}</ref>:
<blockquote>Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.</blockquote>
В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить [[Дифференциальное уравнение|дифференциальным уравнением]]{{sfn |История математики, том II|1970|с=59|name=HIST59 }}:
: <math> \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{M}</math>,
где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков ([[Десятичная дробь|десятичные дроби]] тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = {{formatnum:10000000}}.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию <math>\operatorname{LogNap}(x)</math>, то она связана с натуральным логарифмом следующим образом<ref name=HIST59/>:
:: <math>\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))</math>
Очевидно, <math>\operatorname{LogNap}(M) = 0</math>, то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для <math>x<M</math> выполняется. <math>\operatorname{LogNap}(0) = \infty</math>.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют [[Геометрическая прогрессия|геометрическую прогрессию]], то их логарифмы образуют прогрессию [[Арифметическая прогрессия|арифметическую]]. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:
: <math>\operatorname{LogNap}(a \cdot b)=\operatorname{LogNap}(a)+\operatorname{LogNap}(b)-\operatorname{LogNap}(1)</math>

== Дальнейшее развитие ==
Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака{{sfn |История математики, том II|1970|с=61|name=IM61 }}. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. [[Кеплер, Иоганн|Кеплер]] в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц ({{lang-lat|Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos}}){{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=39}}. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению [[Рудольфинские таблицы|Рудольфинских таблиц]], которые закрепили успех [[Гелиоцентрическая система мира|гелиоцентрической астрономии]].

[[Файл:Briggs - Canon logarithmorum pro numeris serie naturali crescentibus ab 1. ad 20000., s.d. - 72507.jpg|мини|Таблицы Бригса]]
Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор [[Бригс, Генри|Генри Бригс]] издал 14-значные таблицы [[Десятичный логарифм|десятичных логарифмов]] (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл ({{lang-en|John Speidell}}) переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил{{sfn |История математики, том II|1970|с=63}}<ref>''Charles Hutton.'' [https://books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y#v=onepage&q=Speidell%20logarithm&f=false Mathematical Tables.] London, 1811, p. 30.</ref>.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и [[Отред, Уильям|Уильям Отред]] изобрели первую [[Логарифмическая линейка|логарифмическую линейку]], до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера{{sfn |История математики, том II|1970|с=65-66}}. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]]<ref>{{книга |автор=Березин С. И. |заглавие=Счётная логарифмическая линейка |место=М. |издательство=Машиностроение |год=1968 }}</ref>. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.
[[Файл:Sliderule 2005.jpg|thumb|600px|center|Логарифмическая линейка. Умножение 1,3 × 2 или деление 2,6 / 2 (см. шкалы C и D).]]

Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик [[Сен-Венсан, Грегуар де|Грегуар де Сен-Венсан]] показал, что площадь под [[Гипербола (математика)|гиперболой]] <math>y=\frac {1}{x}</math> меняется по логарифмическому закону{{sfn |История математики, том II|1970|с=133}}. В 1668 году немецкий математик [[Меркатор, Николас|Николас Меркатор (Кауфман)]] открыл и опубликовал в своей книге ''Logarithmotechnia'' разложение логарифма в бесконечный «[[ряд Меркатора]]»{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=52|name=USP52 }}. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:
# Формирование и признание общего понятия [[Иррациональное число|иррациональных]] и [[Трансцендентное число|трансцендентных чисел]]{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=51, 286, 352}}.
# Появление [[Показательная функция|показательной функции]] и общего понятия [[Числовая функция|числовой функции]], [[E (число)|числа Эйлера]], развитие теории [[Разностная схема|разностных уравнений]]{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=213, 217}}.
# Начало работы с бесконечными рядами<ref name=USP52/>.
# Общие методы решения [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] различных типов.
# Существенное развитие теории [[Вычислительные методы|численных методов]], требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание ''a'' указывалось то левее и выше символа ''log'', то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа ''log'': <math>\log_a b</math>. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — <math>\lg, \; \ln</math> для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века<ref>{{cite book |last=Cajori. |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics, 5th ed |pages=152 |publisher=AMS Bookstore |date=1991 |isbn=0821821024 |url=https://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}}</ref>.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной [[Возведение в степень|возведению в степень]] — впервые появилось у [[Валлис, Джон|Валлиса]] (1685) и [[Бернулли, Иоганн|Иоганна Бернулли]] (1694), а окончательно было узаконено [[Эйлер, Леонард|Эйлером]]<ref name=IM61/>. В книге «Введение в анализ бесконечных» ([[1748]]) Эйлер дал современные определения как [[показательная функция|показательной]], так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма<ref>{{книга |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики. В двух томах |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=II |год=1963 |страницы=25 }}</ref>. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на [[Комплексное число|комплексную область]].

== Логарифмические таблицы ==
[[Файл:Abramowitz&Stegun.page97.agr.jpg|thumb|Логарифмические таблицы]]
Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам (раздел «[[Антилогарифм]]ы») выполнить [[Потенцирование (математика)|потенцирование]], то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]], причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал [[Бюрги, Йост|Йост Бюрги]], друг [[Кеплер, Иоганн|Кеплера]] ([[1620]]). В [[1617 год]]у [[оксфорд]]ский профессор математики [[Бригс, Генри|Генри Бригс]] опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц [[Вега, Георг|Георга Веги]] ([[1783]]) появилось только в [[1857 год в науке|1857 году]] в Берлине (таблицы [[Бремикер, Карл|Бремикера]]){{sfn |История математики, том II|1970|с=62}}.

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Л. Ф. Магницкого]]<ref>{{книга |автор=Гнеденко Б. В. |заглавие=Очерки по истории математики в России, издание 2-е |место=М. |издательство=КомКнига |год=2005 |страниц=296 |isbn=5-484-00123-4 |страницы=66}}</ref>. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов<ref>{{книга|заглавие=Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия }}</ref>:
# [[Брадис, Владимир Модестович|''Брадис В. М.'']] Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали [[экспоненциальная запись|мантиссы]] десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
# ''[[Вега, Георг|Вега Г.]]'' Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
# ''[[Бремикер, Карл|Бремикер К.]]'' Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов с [[Тригонометрические функции|тригонометрическими функциями]].
# Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
# Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
# Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

== Расширение логарифма на комплексную область ==
Первые попытки распространить [[Комплексный логарифм|логарифмы на комплексные числа]] предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] и [[Иоганн Бернулли]], однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма{{sfn |История математики, том III|1972|с=325-328|name=IM3-325 }}. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбером]] и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить <math>\log(-x) = \log(x)</math>, в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число<ref name=IM3-325/>. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной<ref>{{книга |автор=Рыбников К. А. |заглавие=История математики. В двух томах |место=М. |издательство=Изд. МГУ |том=II |год=1963 |страницы=27, 230-231}}</ref>. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей [[Энциклопедия, или Толковый словарь наук, искусств и ремёсел|«Энциклопедии»]] и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции{{sfn |Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций|1981|с=122-123}}, определяемой как интеграл от <math>\frac{1}{z}</math>. [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]], опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию [[Риманова поверхность|римановых поверхностей]].

Разработка теории [[Конформное отображение|конформных отображений]] показала, что [[Проекция Меркатора|меркаторская проекция]] в [[Картография|картографии]], возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм<ref>{{книга |автор=Клейн Ф. |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm |том=II. Геометрия |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=416 |страницы=159-161 }}</ref>.

== Литература ==
* {{книга |автор=Абельсон И. Б. |заглавие=Рождение логарифмов
  |ссылка=http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog00.htm |страниц=231
  |место=М.—Л. |издательство=Гостехиздат |год=1948 }}
* {{книга |автор=Гиршвальд Л. Я. |заглавие=История открытия логарифмов
  |место = Харьков |издательство=Изд-во Харьковского университета |год=1952 |страниц=33 }}
* {{книга |автор=Клейн Ф. |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей
  |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm |том=I. Арифметика. Алгебра. Анализ
  |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=432
  |ref=Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей }}
* {{книга |часть=Математика XVII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=II |ref=История математики, том II }}
* {{книга |часть=Математика XVIII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |ref=История математики, том III }}
* {{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
  |заглавие=Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций
  |ref=Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций
  |место=М. |издательство=Наука |том=II |год=1981 }}
* {{книга |автор=[[Успенский, Яков Викторович|Успенский Я. В.]]
  |заглавие=Очерк истории логарифмов |место=Петроград |год=1923 |страниц=78
  |издательство=Научное книгоиздательство |ref=Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов }}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

{{История математики}}

[[Категория:Логарифмы]]
[[Категория:История математики]]