Просмотр кода страницы Интегральное уравнение

'''Интегра́льное уравне́ние''' — [[функциональное уравнение]], содержащее [[интегральное преобразование]] над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об '''[[интегро-дифференциальное уравнение|интегро-дифференциальном уравнении]]'''.

== Классификация интегральных уравнений ==

=== Линейные интегральные уравнения ===
Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:
: <math>\varphi(x)=\lambda\int\limits_{a}^{b}K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x)</math>
где <math>\varphi(x)</math> — искомая функция, <math>f(x)</math>, <math>K(x,\;s)</math> — известные функции, <math>\lambda</math> — параметр. Функция <math>K(x,\;s)</math> называется ''ядром'' интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.

==== Уравнения Фредгольма ====
{{main|Интегральное уравнение Фредгольма}}

===== Уравнения Фредгольма 2-го рода =====
Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:
: <math>\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).</math>
Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: <math>a\leqslant x,\;s\leqslant b</math>, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: <math>K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])</math>, либо удовлетворять условиям:
: <math>\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^2\,dx<+\infty.</math>
Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют ''фредгольмовыми''. Если <math>f(x)\equiv 0</math> на <math>[a,\;b]</math>, то уравнение называется '''однородным''', иначе оно называется '''неоднородным интегральным уравнением'''.

===== Уравнения Фредгольма 1-го рода =====
Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:
: <math>\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),</math>
при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

==== Уравнения [[Вольтерра, Вито|Вольтерры]] ====
{{main|Интегральное уравнение Вольтерры}}

===== Уравнения Вольтерры 2-го рода =====
Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:
: <math>\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.</math>

===== Уравнения Вольтерры 1-го рода =====
Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:
: <math>\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).</math>
В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:
: <math>\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\
0, & x<s\leqslant b.\end{cases}</math>
Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

=== Нелинейные уравнения ===
Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

==== Уравнения Урысона ====
{{main|Интегральное уравнение Урысона}}

: <math>\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).</math>
Постоянная <math>M</math> — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

==== Уравнения Гаммерштейна ====
{{main|Интегральное уравнение Гаммерштейна}}

Уравнения Гаммерштейна являются важным [[Частный случай формулы|частным случаем]] уравнения Урысона:
: <math>\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,</math>
где <math>K(x,\;s)</math> — фредгольмово ядро.

==== Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна ====
Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:
: <math>\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int\limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots</math>

==== Нелинейное уравнение Вольтерры ====
: <math>\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,</math>
где функция <math>F(x,\;s,\;\varphi)</math> непрерывна по совокупности своих переменных.

== Методы решения ==
Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для [[дифференциальные уравнения|дифференциальных уравнений]], не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

=== Преобразование Лапласа ===
Метод [[Преобразование Лапласа|преобразования Лапласа]] может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид [[Свёртка (математический анализ)|свёртки двух функций]]:
: <math>\int\limits_0^x f(x-t)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),</math>
то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:
: <math>\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(x-s)\varphi(s)\,ds.</math>
Например, дано такое уравнение:
: <math>\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(x-s)\varphi(s)\,ds.</math>
Применим [[преобразование Лапласа]] к обеим частям уравнения:
: <math>\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),</math>
: <math>\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1}{(p-1)^2}.</math>
Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:
: <math>\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})'_p\Big|_{p=1}=xe^x.</math>

=== Метод последовательных приближений ===
Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:
: <math>|\lambda||b-a|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.</math>
Это условие необходимо для сходимости [[Ряд Лиувилля — Неймана|ряда Лиувилля — Неймана]]:
: <math>\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),</math>
который и является решением уравнения. <math>(K^kf)(x)</math> — <math>k</math>-ая степень интегрального оператора <math>(Kf)(x)</math>:
: <math>(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.</math>
Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых <math>|\lambda|</math>.

Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях <math>|\lambda|</math>, а не только при малых.

=== Метод резольвент ===
{{main|Резольвента интегрального уравнения}}
Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:
: <math>\begin{align}
K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\
K_1(t,\;s)=K(t,\;s),
\end{align}</math>
то ''повторными ядрами'' ядра <math>K(x,\;s)</math> будут ядра <math>K_p(x,\;s)</math>:
: <math>K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.</math>
Ряд, составленный из повторных ядер,
: <math>\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),</math>
называется ''[[Резольвента интегрального уравнения|резольвентой]]'' ядра <math>K(x,\;s)</math> и является [[Регулярная сходимость ряда|регулярно сходящимся]] при <math>a\leqslant x</math>, <math>s\leqslant b</math> и вышеупомянутому условию сходимости [[Ряд Лиувилля — Неймана|ряда Лиувилля — Неймана]]. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:
: <math>\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.</math>
Например, для интегрального уравнения
: <math>\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds</math>
повторными будут следующие ядра:
: <math>K_0(x,\;s)=xs,</math>
: <math>K_1(x,\;t)=xt,</math>
: <math>K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},</math>
: <math>K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},</math>
: <math>\ldots</math>
: <math>K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},</math>
а резольвентой — функция
: <math>\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.</math>
Тогда решение уравнения находится по формуле:
: <math>\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.</math>

=== Метод сведения к алгебраическому уравнению ===

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является ''вырожденным'', то есть <math>K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)</math>, само интегральное уравнение можно свести к [[Система линейных алгебраических уравнений|системе алгебраических уравнений]]. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:
: <math>\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{i=1}^N c_if_i(x)+f(x),</math>
где <math>c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds</math>. Умножив предыдущее равенство на <math>g_i(x)</math> и проинтегрировав его по <math>x</math> на отрезке <math>[a,\;b]</math>, приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел <math>c_i</math>:
: <math>c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,</math>
где <math>a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx</math> и <math>b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx</math> — числовые коэффициенты.

Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции <math>K(x,\;s)</math>.<ref name = "Krasnov">''Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И.'' Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1976. — С. 214.</ref>

=== Замена интеграла конечной суммой ===

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: <math>\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)</math>, где <math>K(x,t)</math> и <math>f(x)</math> имеют непрерывные производные нужного порядка, <math>\lambda</math> - заданное число. Используем квадратурную формулу: <math>\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})</math>, где <math>x_{1}, x_{2}, ... x_{n}</math> - точки на отрезке <math>[a, b]</math>, а коэффициенты <math>A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}</math> не зависят от вида функции <math>\Phi(x)</math>. Рассмотрим исходное уравнение в точках <math>x_{k}</math>: <math>\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})</math>. Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: <math>\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})</math>. Получаем линейную систему <math>n</math> алгебраических уравнений с <math>n</math> неизвестными <math>\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})</math>, которые являются приближёнными значениями решения <math>\varphi(x)</math> в точках <math>x_{1}, x_{2}, ... x_{n}</math>. В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: <math>\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})</math><ref name = "Krasnov" />.

== Приложения ==
Термин «интегральное уравнение» ввёл в [[1888 год]]у [[Дюбуа-Реймон, Поль|П. Дюбуа-Реймон]], однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в [[1811 год]]у [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] решил [[Преобразование Фурье|задачу об обращении интеграла]], которая теперь носит его имя.

=== Формула обращения Фурье ===
{{main|Преобразование Фурье}}
Задача состоит в нахождении неизвестной функции <math>f(y)</math> по известной функции <math>g(x)</math>:
: <math>g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.</math>
[[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] получил выражение для функции <math>f(y)</math>:
: <math>f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.</math>

=== Сведение задачи Коши к интегральному уравнению ===
К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит [[задача Коши]] для [[Обыкновенное дифференциальное уравнение|обыкновенных дифференциальных уравнений]]:
: <math>\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.</math>
В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по <math>t</math> от <math>a</math> до <math>t</math>:
: <math>x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.</math>
Решение начальной задачи для [[Обыкновенное дифференциальное уравнение#Линейные уравнения|линейных дифференциальных уравнений]] приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в [[1837 год]]у воспользовался [[Лиувилль]]. Пусть, например, поставлена задача:
: <math>x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x'(a)=0.</math>
Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:
: <math>x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)</math>
решение может быть найдено [[Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)|методом вариации постоянных]] и представлено в виде:
: <math>x(t)=\cos\lambda(t-a)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t g(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.</math>
Тогда для исходного уравнения получается:
: <math>x(t)=\cos\lambda(t-a)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\,d\tau</math>
— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.

[[Обыкновенное дифференциальное уравнение#Линейные уравнения|Линейное дифференциальное уравнение]] <math>n</math>-го порядка
: <math>\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t)=F(t),\qquad t>a,</math>
: <math>x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}</math>
также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

=== Задача Абеля ===
{{main|Задача о таутохроне}}
Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является [[задача Абеля]]. В [[1823 год]]у [[Абель, Нильс Хенрик|Абель]], занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:
: <math>f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,</math>
где <math>f(x)</math> — заданная функция, а <math>\varphi(x)</math> — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи [[Механика|механики]] или [[Физика|физики]] (минуя [[дифференциальные уравнения]]). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний<ref>{{Книга|автор = [[Ландау, Лев Давидович|Ландау{{nbsp}}Л.{{nbsp}}Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лившиц{{nbsp}}Е.{{nbsp}}М.]]|заглавие = Теоретическая физика: учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика.|издание = 5-е изд. стереот.|место = М|издательство = ФИЗМАТЛИТ|год = 2004|страницы = 42-43|страниц = 224|isbn = 5-9221-0055-6}}</ref>

У [[Абель, Нильс Хенрик|Абеля]] формулировка задачи выглядела примерно так:

<blockquote>
Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости <math>(\xi,\;\eta)</math> по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой <math>x</math>, достигла оси <math>O\xi</math> за время <math>t=f_1(x)</math>, где <math>f_1(x)</math> — заданная функция.
</blockquote>

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью <math>O\xi</math> как <math>\beta</math> и применить [[законы Ньютона]], можно прийти к следующему уравнению:
: <math>\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta)=\frac{1}{\sin\beta}.</math>

== См. также ==
* [[Интегральное преобразование Абеля]]
* [[Теория Фредгольма]]
* [[Функция Грина]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Краснов М. Л.|заглавие=Интегральные уравнения: введение в теорию|издательство=М.: Наука|год=1975}}
* {{книга|автор=[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]], [[Жаринов, Виктор Викторович|Жаринов В. В.]]|заглавие=Уравнения математической физики|издательство=М.: Физматлит|год=2004|isbn=5-9221-0310-5}}
* {{книга|автор=Петровский И. Г.|заглавие=Лекции об уравнениях с частными производными,  3-е изд|год=1961}}
* {{Книга|автор = Васильева{{nbsp}}А.{{nbsp}}Б., Тихонов{{nbsp}}Н.{{nbsp}}А.|заглавие = Интегральные уравнения|ответственный = |издание = 2-е изд., стереотип|место = М|издательство = ФИЗМАТЛИТ|год = 2002|страницы = |страниц = 160|isbn = 5-9221-0275-3}}
* {{книга|автор=[[Забрейко, Петр Петрович|Забрейко П. П.]], Кошелев А. И., [[Красносельский, Марк Александрович|Красносельский М. А.]]|заглавие=Интегральные уравнения|издательство=М.: Наука|год=1968|isbn=}}
{{Нет иллюстрации}}
{{нет ссылок|дата=19 июня 2018}}

{{Интегральное исчисление}}
{{Математическая физика}}

[[Категория:Интегральное исчисление]]
[[Категория:Интегральные уравнения| ]]