Просмотр кода страницы Закон электромагнитной индукции Фарадея

{{Электродинамика}}

'''Зако́н электромагни́тной инду́кции Фараде́я''' является основным законом [[Электродинамика|электродинамики]], касающимся принципов работы [[трансформатор]]ов, [[Катушка индуктивности|дросселей]], многих видов [[Электродвигатель|электродвигателей]] и [[Электрический генератор|генераторов]].<ref name="Sadiku386">{{cite book |author=Sadiku, M. N. O. |title=Elements of Electromagnetics |year= 2007 |page =386 |publisher=Oxford University Press |edition=fourth |location=New York (USA)/Oxford (UK) |url=https://books.google.com/?id=w2ITHQAACAAJ&dq=isbn:0-19-530048-3 |isbn=0-19-530048-3}}</ref> Закон гласит:

{{Quotation|Для любого контура индуцированная [[электродвижущая сила]] (ЭДС) равна скорости изменения [[Магнитный поток|магнитного потока]], проходящего через этот контур, взятой со знаком минус.<ref name="Sadiku386"/>}}

или другими словами:

{{Quotation|Генерируемая ЭДС пропорциональна скорости изменения магнитного потока.}}

При этом индукционный ток направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызвавшей этот ток ([[правило Ленца]]).{{sfn|Калашников|с=208|1956}}

== История ==
[[Электромагнитная индукция]] была обнаружена независимо друг от друга [[Фарадей, Майкл|Майклом Фарадеем]] и [[Генри, Джозеф|Джозефом Генри]] в 1831 году, однако Фарадей первым опубликовал результаты своих экспериментов<ref>{{cite book |last=Ulaby |first=Fawwaz |title=Fundamentals of applied electromagnetics |edition=5th |year=2007 |url=https://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0132413264/ref=ord_cart_shr?%5Fencoding=UTF8&m=ATVPDKIKX0DER&v=glance |publisher=Pearson:Prentice Hall |isbn=0-13-241326-4 |page=255}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.nas.edu/history/members/henry.html|title=Joseph Henry|work=Distinguished Members Gallery, National Academy of Sciences|archiveurl=https://www.webcitation.org/65uGgCkL0?url=http://www.nas.edu/history/members/henry.html|archivedate=2012-03-04}}</ref>.

В первой экспериментальной демонстрации электромагнитной индукции (август 1831) Фарадей обмотал двумя проводами противоположные стороны железного тора (конструкция похожа на современный [[трансформатор]]). Основываясь на своей оценке недавно обнаруженного свойства электромагнита, он ожидал, что при включении тока в одном проводе особого рода волна пройдёт сквозь тор и вызовет некоторое электрическое влияние на его противоположной стороне. Он подключил один провод к [[гальванометр]]у и смотрел на него, когда другой провод подключал к батарее. В самом деле, он увидел кратковременный всплеск тока (который он назвал «волной электричества»), когда подключал провод к батарее, и другой такой же всплеск, когда отключал его.<ref>''Michael Faraday'', by L. Pearce Williams, p. 182-3</ref> В течение двух месяцев Фарадей нашёл несколько других проявлений электромагнитной индукции. Например, он увидел всплески тока, когда быстро вставлял магнит в катушку и вытаскивал его обратно, он генерировал постоянный ток во вращающемся вблизи магнита медном диске со скользящим электрическим проводом («[[Униполярный генератор|диск Фарадея]]»)<ref>''Michael Faraday'', by L. Pearce Williams, p. 191-5</ref>.

[[Файл:Faraday disk generator.jpg|thumb|Диск Фарадея]]
Фарадей объяснил электромагнитную индукцию с использованием концепции так называемых [[Силовые линии|силовых линий]]. Однако, большинство учёных того времени отклонили его теоретические идеи, в основном потому, что они не были сформулированы математически.<ref name=Williams510>''Michael Faraday'', by L. Pearce Williams, p. 510</ref> Исключение составил [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]], который использовал идеи Фарадея в качестве основы для своей количественной электромагнитной теории.<ref name=Williams510/><ref>Maxwell, James Clerk (1904), ''A Treatise on Electricity and Magnetism'', Vol. II, Third Edition. Oxford University Press, pp. 178-9 and 189.</ref><ref name="IEEUK">[http://www.theiet.org/about/libarc/archives/biographies/faraday.cfm «Archives Biographies: Michael Faraday», The Institution of Engineering and Technology.]</ref> В работах Максвелла аспект изменения во времени электромагнитной индукции выражен в виде дифференциальных уравнений. [[Оливер Хевисайд]] назвал это законом Фарадея, хотя он несколько отличается по форме от первоначального варианта закона Фарадея и не учитывает индуцирование ЭДС при движении. Версия Хевисайда является формой признанной сегодня группы уравнений, известных как [[уравнения Максвелла]].

[[Ленц, Эмилий Христианович|Эмилий Христианович Ленц]] сформулировал в 1834 году [[правило Ленца|закон (правило Ленца)]], который описывает «поток через цепь» и даёт направление индуцированной ЭДС и тока в результате электромагнитной индукции.

[[Файл:Induction experiment.png|thumb|300px|Эксперимент Фарадея, показывающий индукцию между витками провода: жидкостная батарея ''(справа)'' даёт ток, который протекает через небольшую катушку ''(A)'', создавая магнитное поле. Когда катушки неподвижны, ток не индуцируется. Но когда маленькая катушка вставляется или извлекается из большой катушки ''(B)'', магнитный поток через катушку изменяется, вызывая ток, который регистрируется гальванометром ''(G)''.<ref>[https://books.google.com/books?id=JzBAAAAAYAAJ&pg=PA285 Poyser, Arthur William (1892), ''Magnetism and electricity: A manual for students in advanced classes'']. London and New York; Longmans, Green, & Co., p. 285, fig. 248</ref>]]

== Закон Фарадея как два различных явления ==
Некоторые физики отмечают, что закон Фарадея в одном уравнении описывает два разных явления: '''двигательную ЭДС''', генерируемую действием магнитной силы на движущийся провод, и '''трансформаторную ЭДС''', генерируемую действием электрической силы вследствие изменения магнитного поля. [[Джеймс Клерк Максвелл]] обратил внимание на этот факт в своей работе ''[[:Файл:On Physical Lines of Force.pdf|О физических силовых линиях]]'' в 1861 году. Во второй половине части II этого труда Максвелл даёт отдельное физическое объяснение для каждого из этих двух явлений. Ссылка на эти два аспекта электромагнитной индукции имеется в некоторых современных учебниках.<ref name=Griffiths1>{{cite book |author=Griffiths, David J. |title=Introduction to Electrodynamics |url=https://www.amazon.com/gp/reader/013805326X/ref=sib_dp_pt/104-2951702-6987112#reader-link |edition=Third |pages=301–3 |publisher=Prentice Hall |year=1999 |location=Upper Saddle River NJ |isbn=0-13-805326-X}}</ref> Как пишет Ричард Фейнман:<ref>{{cite book |author=Richard Phillips Feynman, Leighton R B & Sands M L |title=The Feynman Lectures on Physics |year= 2006 |page =Vol. II, pp. 17-2 |publisher=Pearson/Addison-Wesley |location=San Francisco |url=https://books.google.com/?id=zUt7AAAACAAJ&dq=intitle:Feynman+intitle:Lectures+intitle:on+intitle:Physics |isbn=0805390499 |nopp=true}}</ref>

{{Quotation|Таким образом, «правило потока» о том, что ЭДС в цепи равна скорости изменения магнитного потока через контур, применяется независимо от причины изменения потока: то ли потому что поле изменяется, то ли потому что цепь движется (или и то, и другое).... В нашем объяснении правила мы использовали два совершенно различных закона для двух случаев  –    <math>\stackrel{\mathbf{v \times B}}{}</math>   для «движущейся цепи» и   <math>\stackrel{\mathbf{\nabla \ x \ E \  = \  -\part_{\ t} B}}{}</math>   для «меняющегося поля».
<br>
Мы не знаем никакого аналогичного положения в физике, когда такие простые и точные общие принципы требовали бы для своего реального понимания анализа с точки зрения двух различных явлений.|'''Ричард Фейнман''',   ''[[Фейнмановские лекции по физике]]''}}

Отражение этой очевидной дихотомии было одним из основных путей, которые привели Эйнштейна к разработке [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]]:

{{Quotation|Известно, что электродинамика Максвелла — как её обычно понимают в настоящее время — при применении к движущимся телам приводит к асимметрии, которая, как кажется, не присуща этому явлению. Возьмем, к примеру, электродинамическое взаимодействие магнита и проводника. Наблюдаемое явление зависит только от относительного движения проводника и магнита, тогда как обычное мнение рисует резкое различие между этими двумя случаями, в которых либо одно, либо другое тело находится в движении. Ибо, если магнит находится в движении, а проводник покоится, в окрестности магнита возникает электрическое поле с определенной плотностью энергии, создавая ток там, где расположен проводник. Но если магнит покоится, а проводник движется, то в окрестности магнита никакое электрическое поле не возникает. В проводнике, однако, мы находим электродвижущую силу, для которой не существует соответствующей энергии самой по себе, но которая вызывает — предполагая равенство относительного движения в двух обсуждаемых случаях — электрические токи по тому же направлению и той же интенсивности, как в первом случае.
<br> <br>
Примеры подобного рода вместе с неудачной попыткой обнаружить какое-либо движение Земли относительно «светоносной среды» предполагают, что явления электродинамики, а также механики не обладают свойствами, соответствующими идее абсолютного покоя.
<br><br>
| '''Альберт Эйнштейн''', ''К электродинамике движущихся тел''<ref>A. Einstein, [http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/specrel.pdf On the Electrodynamics of Moving Bodies]</ref>}}

== Поток через поверхность и ЭДС в контуре ==
[[Файл:Surface integral illustration.svg|right|thumb|Определение поверхностного интеграла предполагает, что поверхность Σ поделена на мелкие элементы. Каждый элемент связан с вектором ''d'''''A''', величина которого равна площади элемента, а направление — по нормали к элементу во внешнюю сторону.]]
[[Файл:Vector field on a surface.svg|right|thumb|Векторное поле '''F'''('''r''', ''t'') определено во всём пространстве, а поверхность Σ ограничена кривой ∂Σ, движущейся со скоростью '''v'''. По этой поверхности производится интегрирование поля.]]
Закон электромагнитной индукции Фарадея использует понятие [[Магнитный поток|магнитного потока]] Φ<sub>''B''</sub> через замкнутую поверхность Σ, который определён через [[Поверхностные интегралы|поверхностный интеграл]]:
: :<math> \Phi = \iint\limits_{S} \mathbf{B_n} \cdot d \mathbf{S}, </math>
где ''d'''S''''' — площадь элемента поверхности Σ(''t''), '''B''' — магнитное поле, а '''B'''·''d'''''S''' — [[скалярное произведение]] '''B''' и ''d'''''S'''. Предполагается, что поверхность имеет «устье», очерченное замкнутой кривой, обозначенной ∂Σ(''t''). Закон индукции Фарадея утверждает, что когда поток изменяется, то при перемещении единичного положительного пробного заряда по замкнутой кривой ∂Σ возникает [[Электродвижущая сила|ЭДС]] <math>\mathcal{E}</math>, величина которой определяется по формуле:
: <math>|\mathcal{E}| = \left|{{d\Phi} \over dt} \right| \ ,</math>
где <math>|\mathcal{E}|</math> — величина электродвижущей силы (ЭДС) в [[вольт]]ах, а Φ<sub>''B''</sub> — [[магнитный поток]] в [[Вебер (единица измерения)|веберах]]. Направление электродвижущей силы определяется [[Правило Ленца|законом Ленца]].

Для плотно намотанной [[Катушка индуктивности|катушки индуктивности]], содержащей ''N'' витков, каждый с одинаковым магнитным потоком Φ<sub>''B''</sub>, закон индукции Фарадея утверждает, что:

: <math> |\mathcal{E}| =  N \left| {{d\Phi_B} \over dt} \right|,</math>

где N — число витков провода, Φ<sub>''B''</sub> — магнитный поток в веберах на один виток.

При выборе пути ∂Σ(''t'') для нахождения ЭДС заметим, что путь должен удовлетворять двум основным требованиям: (i) путь должен быть замкнутым, и (ii) путь должен охватывать относительное движение частей контура (источник происхождения ''t''-зависимости в ∂Σ(''t'')). К требованиям не относится то, что путь должен совпадать с линией тока, но, конечно, ЭДС, которая находится по закону потока, будет считаться по выбранному пути. Если путь не совпадает с линией тока, то подсчитанная ЭДС, возможно, будет не та ЭДС, которая вызывает ток.

== Пример 1: пространственно меняющееся магнитное поле ==
[[Файл:Right-hand rule.PNG|thumb|250px|Рис. 3. Замкнутый прямоугольный провод движется вдоль оси ''x'' со скоростью '''v''' в магнитном поле, которое изменяется вдоль ''x''.]]
Рассмотрим случай на рисунке 3, на котором прямоугольная замкнутая проволочная петля, расположенная в плоскости ''xy'', перемещается в направлении оси ''x'' со скоростью ''v''. Центр петли ''x''<sub>C</sub> удовлетворяет условию ''v = dx<sub>C</sub> / dt''. Петля имеет длину ℓ в направлении оси ''y'' и ширину ''w'' в направлении оси ''x''. Зависящее от времени пространственно меняющееся магнитное поле ''B''(''x'') показано в направлении ''z''. Магнитное поле на левой стороне равно ''B''(''x<sub>C</sub> − w / 2''), а на правой стороне ''B''(''x<sub>C</sub> + w / 2''). Электродвижущую силу можно найти либо с помощью [[Сила Лоренца|закона Лоренца]], либо, что эквивалентно, используя вышеизложенный закон индукции Фарадея.

=== Закон Лоренца ===
Заряд ''q'' в проводнике на левой стороне петли испытывает [[Сила Лоренца|силу Лоренца]] ''q'' '''v <big>×</big>''' ''B'' '''k''' = −''q v B(x<sub>C</sub> − w / 2)'' '''j'''   ('''j, k''' — единичные векторы в направлениях ''y'' и ''z''; см. [[векторное произведение]] векторов), что вызывает ЭДС (работу на единицу заряда) '' v ℓ B(x<sub>C</sub> − w / 2)'' по всей длине левой стороны петли. На правой стороне петля аналогичное рассуждение показывает, что ЭДС равна '' v ℓ B(x<sub>C</sub> + w / 2)''. Две противоположные друг другу ЭДС толкают положительный заряд по направлению к нижней части петли. В случае, когда поле '''B''' возрастает вдоль х, сила на правой стороне будет больше, а ток будет течь по часовой стрелке. Используя [[Правило буравчика|правило правой руки]], мы получаем, что поле ''B'', создаваемое током, противоположно приложенному полю.<ref name=note2>В-поле наведенного тока ведет к снижению магнитного потока, в то время как движение цикла имеет тенденцию к увеличению (так как В (х) возрастает по мере цикла движений). Эти противоположные действия — пример [[Принцип Ле Шателье — Брауна|принципа Ле Шателье]] в форме закона Ленца.</ref> ЭДС, вызывающая ток, должна увеличиваться по направлению против часовой стрелки (в отличие от тока). Складывая ЭДС в направлении против часовой стрелки вдоль петли мы находим:

: <math> \mathcal{E} = v\ell  [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ . </math>

=== Закон Фарадея ===
В любой точке петли магнитный поток через неё равен:
: <math>\Phi_B = \pm \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx </math>
: <math>\qquad = \pm \ell \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx \ .</math>
Выбор знака определяется по принципу, имеет ли нормаль к поверхности в данной точке то же направление, что и '''B''', или противоположное. Если нормаль к поверхности имеет то же направление, что и поле ''B'' наведённого тока, этот знак отрицательный. Производная по времени от потока (найденная с помощью методов [[Дифференцирование сложной функции|дифференцирования сложной функции]] или по [[Формула Лейбница|правилу Лейбница]] дифференцирования интеграла) равна:

: <math>\frac {d \Phi_B} {dt} =  (-) \frac {d}{dx_C} \left[ \int_0^{\ell}dy \ \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} dx B(x)\right] \frac {dx_C}{dt} \  </math>
: <math>\qquad  = (-)  v\ell  [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ , </math>
(где ''v'' = d''x''<sub>C</sub> / d''t'' является скоростью движения петли в направлении оси х), что приводит к:
: <math> \mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} = v\ell  [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ , </math>
как и в предыдущем случае.

Эквивалентность этих двух подходов является общеизвестной, и в зависимости от решаемой задачи более практичным может оказаться либо тот, либо другой метод.

== Пример 2: проводник, движущийся в постоянном магнитном поле ==
[[Файл:Spindle.PNG|thumb|300px|Рис. 4. Два проводника замкнутые на проводящие обода образуют «рамку» вращающуюся с угловой скоростью ω в радиальном, направленном наружу магнитном поле '''B''' фиксированной величины. Ток подается щётками, касающимися верхнего и нижнего дисков с проводящими ободами.]]
На рис. 4 показан шпиндель, образованный двумя дисками с проводящими ободами, и проводники, расположенные вертикально между этими ободами. ток скользящими контактами подается на проводящие обода. Эта конструкция вращается в магнитном поле, которое направлено радиально наружу и имеет одно и то же значение в любом направлении. то есть мгновенная скорость проводников, ток в них и магнитная индукция, образуют правую тройку, что заставляет проводники вращаться.

=== Сила Лоренца ===
В этом случае на проводники действует [[Сила Ампера]], а на единичный заряд в проводнике [[Сила Лоренца]] — поток вектора магнитной индукции B , ток в проводниках, соединяющих проводящие обода, направлен нормально к вектору магнитной индукции, тогда сила, действующая на заряд в проводнике, будет равна

: <math>F = qBv\, , </math>
''где v = скорости движущегося заряда''<ref name="services.eng.uts.edu.au">Chapter 5, Electromagnetic Induction, http://services.eng.uts.edu.au/cempe/subjects_JGZ/ems/ems_ch5_nt.pdf {{Wayback|url=http://services.eng.uts.edu.au/cempe/subjects_JGZ/ems/ems_ch5_nt.pdf |date=20110822151949 }}</ref>

Следовательно, сила действующая на проводники

: <math> \mathcal {F} = IB \ell , </math>
где l — длина проводников

Здесь мы использовали B как некую данность, на самом деле она зависит от геометрических размеров ободов конструкции, и это значение можно вычислить, используя [[Закон Био — Савара — Лапласа]] . Данный эффект используется и в другом устройстве, называемом [[Рельсотрон]]

=== Закон Фарадея ===
'''Интуитивно привлекательный, но ошибочный подход к использованию правила потока''' выражает поток через цепь по формуле Φ<sub>B</sub> = ''B w ''ℓ, где ''w'' — ширина движущейся петли.

Ошибочность такого подхода в том, что это не рамка в обычном понимании этого слова. Прямоугольник на рисунке образован отдельными проводниками, замкнутыми на обод. Как видно на рисунке, ток по обоим проводникам течет в одном направлении, то есть здесь отсутствует понятие '''«замкнутый контур»'''

Наиболее простое и понятное объяснение этому эффекту дает понятие [[сила Ампера]]. То есть вертикальный проводник может быть вообще один, чтобы не вводить в заблуждение. Или же проводник '''конечной толщины''' может быть расположен на оси, соединяющей обода. Диаметр проводника должен быть конечным и отличаться от нуля, чтобы [[Момент силы | момент]] [[Сила Ампера| силы Ампера]] был ненулевой.

== Уравнение Фарадея — Максвелла ==
[[Файл:Stokes' Theorem.svg|thumb|right|Рис. 6. Иллюстрация теоремы Кельвина-Стокса с помощью поверхности '''Σ''', её границы '''∂Σ''' и ориентации ''' ''n'' ''', установленной [[Правило правой руки|правилом правой руки]].]]
Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, описываемое уравнением Фарадея — Максвелла:

{{Equation box 1
| indent =:
| equation = <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t},</math>
| cellpadding
| border
| border colour = #50C878
| background colour = #ECFCF4}}

где:
: <math>\nabla\times</math> обозначает [[Ротор (математика)|ротор]]
: '''E''' — [[электрическое поле]]
: '''B''' — [[Магнитное поле|плотность магнитного потока]].

Это уравнение присутствует в современной системе [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]], часто его называют законом Фарадея. Однако, поскольку оно содержит только частные производные по времени, его применение ограничено ситуациями, когда заряд покоится в переменном по времени магнитном поле. Оно не учитывает{{уточнить}} электромагнитную индукцию в случаях, когда заряженная частица движется в магнитном поле.

В другом виде закон Фарадея может быть записан через ''интегральную форму'' [[Теорема Стокса#Формула Кельвина — Стокса|теоремы Кельвина-Стокса]]:<ref name=Harrington>{{cite book |author=Roger F Harrington |title = Introduction to electromagnetic engineering |year = 2003 |page =56 |publisher = Dover Publications |location=Mineola, NY |isbn = 0486432416 |url = https://books.google.com/?id=ZlC2EV8zvX8C&pg=PA57&dq=%22faraday%27s+law+of+induction%22 }}</ref>

: <math> \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = - \int_{\Sigma}  { \partial \over {\partial t} } \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}. </math>

Для выполнения интегрирования требуется независимая от времени поверхность '''Σ''' (рассматриваемая в данном контексте как часть интерпретации частных производных). Как показано на рис. 6:

: '''Σ''' — поверхность, ограниченная замкнутым контуром '''∂Σ''', причём, как '''Σ''', так и '''∂Σ''' являются фиксированными, не зависящими от времени,
: '''E''' — электрическое поле,
: d'''ℓ''' — [[Бесконечно малое|бесконечно малый]] элемент контура '''∂Σ''',
: '''B''' — [[магнитное поле]],
: d'''A''' — бесконечно малый элемент вектора поверхности '''Σ'''.

Элементы d'''ℓ''' и d'''A''' имеют неопределённые знаки. Чтобы установить правильные знаки, используется [[правило правой руки]], как описано в статье о [[Теорема Стокса#Формула Кельвина — Стокса|теореме Кельвина-Стокса]]. Для плоской поверхности Σ положительное направление элемента пути ''d'''''ℓ''' кривой ∂Σ определяется правилом правой руки, по которому на это направление указывают четыре пальца правой руки, когда большой палец указывает в направлении нормали '''n''' к поверхности Σ.

Интеграл по '''∂Σ''' называется ''интеграл по пути'' или ''[[Криволинейный интеграл|криволинейным интегралом]]''. [[Поверхностные интегралы|Поверхностный интеграл]] в правой части уравнения Фарадея-Максвелла является явным выражением для магнитного потока Φ<sub>B</sub> через '''Σ'''. Обратите внимание, что ненулевой интеграл по пути для '''E''' отличается от поведения электрического поля, создаваемого зарядами. Генерируемое зарядом '''E'''-поле может быть выражено как градиент [[Скалярное поле|скалярного поля]], которое является решением [[Уравнение Пуассона|уравнения Пуассона]] и имеет нулевой интеграл по пути.

Интегральное уравнение справедливо для ''любого'' пути '''∂Σ''' в пространстве и любой поверхности '''Σ''', для которой этот путь является границей. <!-- Однако следует отметить, что в этой формуле '''∂Σ''' и '''Σ''' понимаются как не зависящими от времени. Эта интегральная форма не может относиться к '''двигательной''' ЭДС, потому что '''Σ''' не зависит от времени. Обратите также внимание, что это уравнение не имеет ссылки на ЭДС <math>\overset{ \mathcal{E}}{} </math>,&thinsp, да и не может её иметь без введения силы Лоренца, позволяющей произвести вычисление работы.-->

[[Файл:Faraday Area.PNG|thumbnail|300px|Рис. 7. Площадь заметания элемента вектора ''d'''''ℓ''' кривой '''∂Σ''' за время ''dt'' при движении со скоростью '''v'''.]]

<!--
Используя полную силу Лоренца для расчета ЭДС,

: <math>\mathcal{E} = \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(  \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ ,</math>

заявление закон индукции Фарадея более общим, чем интегральная форма уравнений Максвелла-Фарадея уравнение (см. Лоренца сила):

a statement of Faraday’s law of induction more general than the integral form of the Maxwell-Faraday equation is (see [[Lorentz force]]):

: <math> \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(  \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ </math> <math> \ =-\frac {d} {dt}  \iint_{\Sigma (t)} d \boldsymbol {A} \cdot \mathbf {B}(\mathbf{r},\ t) \ , </math>

где ∂ Σ (T) является замкнутой траектории перемещения ограничивающий движущейся поверхности Σ (T), а V-скорость движения. См. рисунок 2. Обратите внимание, что обычная производная по времени используется, а не частная производная времени, что означает изменение во времени Σ (T) должны быть включены в дифференциации. В подынтегральное элемент кривая г ℓ движется со скоростью v.
-->
Используя<ref>K. Simonyi, Theoretische Elektrotechnik, 5th edition, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, equation 20, page 47</ref>
: <math>\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int\limits_{A}{\mathbf{B}}\text{ d}\mathbf{A}=\int\limits_{A}{\left( \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathbf{v}\ \text{div}\ \mathbf{B}+\text{rot}\;(\mathbf{B}\times \mathbf{v}) \right)\;\text{d}}\mathbf{A}</math>
и принимая во внимание <math>\text{div}\mathbf{B}=0</math> ([[Ряд Гаусса]]), <math>\mathbf{B}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{B}</math> ([[Векторное произведение#Алгебраические свойства векторного произведения|Векторное произведение]]) и <math>\int_A \text{rot}\; \mathbf{X} \;\mathrm{d}\mathbf{A} = \oint_{\partial A} \mathbf{X} \;\text{d}\boldsymbol{\ell}</math> ([[Теорема Стокса#Формула Кельвина — Стокса|теорема Кельвина — Стокса]]), мы находим, что полная производная магнитного потока может быть выражена

: <math>\int\limits_{\Sigma}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \textrm{d}\mathbf{A} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\int\limits_{\Sigma}{\mathbf{B}}\text{ d}\mathbf{A} + \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{v}\times \mathbf{B}\,\text{d} \boldsymbol{\ell}.</math>

Добавляя член <math>\oint \mathbf{v} \times \mathbf{B} \mathrm{d}\mathbf{\ell}</math> к обеим частям уравнения Фарадея-Максвелла и вводя вышеприведённое уравнение, мы получаем:

: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma }{(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})}\text{d}\ell =\underbrace{-\int\limits_{\Sigma }{\frac{\partial }{\partial t}}\mathbf{B}\text{d}\mathbf{A}}_{\text{induced}\ \text{emf}}+\underbrace{\oint\limits_{\partial \Sigma }{\mathbf{v}}\times \mathbf{B}\text{d}\ell }_{\text{motional}\ \text{emf}}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int\limits_{\Sigma }{\mathbf{B}}\text{ d}\mathbf{A},</math>

что и является законом Фарадея. Таким образом, закон Фарадея и уравнения Фарадея-Максвелла физически эквивалентны.

Рис. 7 показывает интерпретацию вклада магнитной силы в ЭДС в левой части уравнения. Площадь, заметаемая сегментом ''d'''''ℓ''' кривой '''∂Σ''' за время ''dt'' при движении со скоростью '''v''', равна:

: <math> d\mathbf{A} = -d \boldsymbol{\ell \times v } dt \ , </math>

так что изменение магнитного потока ΔΦ<sub>B</sub> через часть поверхности, ограниченной '''∂Σ''' за время ''dt'', равно:

: <math>\frac {d \Delta \Phi_B} {dt} = -\mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell \times v } \ = -\mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell} \ , </math>

и если сложить эти ΔΦ<sub>B</sub>-вклады вокруг петли для всех сегментов ''d'''''ℓ''', мы получим суммарный вклад магнитной силы в закон Фарадея. То есть этот термин связан с ''двигательной'' ЭДС.

=== Пример 3: точка зрения движущегося наблюдателя ===
Возвращаясь к примеру на рис. 3, в движущейся системе отсчета выявляется тесная связь между ''E''- и ''B''-полями, а также между ''двигательной'' и ''индуцированной'' ЭДС.<ref>В этом примере предполагается, что скорости движения намного меньше скорости света, поэтому корректировкой поля, связанной с [[Преобразования Лоренца|преобразованиями Лоренца]], можно пренебречь.</ref> Представьте себе наблюдателя, движущегося вместе с петлёй. Наблюдатель вычисляет ЭДС в петле с использованием как закона Лоренца, так и с использованием закона электромагнитной индукции Фарадея. Поскольку этот наблюдатель движется с петлей, он не видит никакого движения петли, то есть нулевую величину '''v <big>×</big> B'''. Однако, поскольку поле ''B'' меняется в точке ''x'', движущийся наблюдатель видит изменяющееся во времени магнитного поля, а именно:

: <math> \mathbf{B} = \mathbf{k}{B}(x+vt) \ ,</math>

где ''' ''k'' ''' — единичный вектор в направлении ''z''.<ref name=note3>Единственным способом определения этого является измерение ''x'' от ''x''<sub>C</sub> в движущемся контуре, скажем ξ = ''x'' — ''x''<sub>C</sub> (''t''). Тогда за время ''t'' движущийся наблюдатель увидит поле ''B'' (ξ, ''t''), тогда как неподвижный наблюдатель увидит в той же точке поле ''B'' [ ξ + ''x''<sub>C</sub> (''t'') ] = ''B'' (ξ + ''x''<sub>C0</sub> + ''v t'') при ''x''<sub>C0</sub> = ''x''<sub>C</sub> (''t'' = 0).</ref>

==== Закон Лоренца ====
Уравнение Фарадея-Максвелла говорит, что движущийся наблюдатель видит электрическое поле ''E''<sub>y</sub> в направлении оси ''y'', определяемое по формуле:

: <math> \nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{k}\ \frac {dE_y}{dx}  </math>

: <math>\qquad =- \frac { \partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\mathbf{k}\frac {d B(x+vt)} {dt} = -\mathbf{k}\frac {dB}{dx} v \  \ . </math>

Применяя правило [[Дифференцирование сложной функции|дифференцирования сложной функции]]:

: <math> \frac {dB}{dt} = \frac {dB}{d(x+vt)} \frac {d(x+vt)}{dt} =\frac {dB} {dx} v \ . </math>

Решение для ''E''<sub>y</sub> с точностью до постоянной, которая ничего не добавляет в интеграл по петле:

: <math> E_y (x,\ t) = -B(x+vt) \ v \ .</math>

Используя закон Лоренца, в котором имеется только компонента электрического поля, наблюдатель может вычислить ЭДС по петле за время ''t'' по формуле:

: <math> \mathcal{E} = -\ell  [ E_y (x_C+w/2,\ t) - E_y(x_C-w/2,\ t)] </math>
: <math>\qquad  = v\ell  [ B(x_C+w/2+v t) - B(x_C-w/2+vt)] \ , </math>

и мы видим, что точно такой же результат найден для неподвижного наблюдателя, который видит, что центр масс ''x''<sub>C</sub> сдвинулся на величину ''x''<sub>C</sub> + ''v t''. Однако, движущийся наблюдатель получил результат под впечатлением, что в законе Лоренца действовала только ''' ''электрическая'' ''' составляющая, тогда как неподвижный наблюдатель думал, что действовала только ''' ''магнитная'' ''' составляющая.

==== Закон индукции Фарадея ====
Для применения закона индукции Фарадея рассмотрим наблюдателя, движущегося вместе с точкой ''x''<sub>C</sub>. Он видит изменение магнитного потока, но петля ему кажется неподвижной: центр петли ''x''<sub>C</sub> фиксирован, потому что наблюдатель движется вместе с петлей. Тогда поток:

: <math>\Phi_B =-\int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x+vt) dx \ ,</math>

где знак минуса возникает из-за того, что нормаль к поверхности имеет направление, противоположное приложенному полю ''B''. Из закона индукции Фарадея ЭДС равна:

: <math> \mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} =  \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dt}B(x+vt) dx</math>
: <math>\qquad =  \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dx}B(x+vt)\ v\  dx</math>

: <math>\qquad =v\ell \  [ B(x_C+w/2+vt) - B(x_C-w/2+vt)] \ , </math>

и мы видим тот же результат. Производная по времени используется при интегрировании, поскольку пределы интегрирования не зависят от времени. Опять же, для преобразования производной по времени в производную по ''x'' используются методы дифференцирования сложной функции.

Неподвижный наблюдатель видит ЭДС как ''' ''двигательную'' ''', тогда как движущийся наблюдатель думает, что это ''' ''индуцированная'' ''' ЭДС.<ref name=Davidson>{{cite book |author=Peter Alan Davidson |title=An Introduction to Magnetohydrodynamics |year= 2001 |page =44 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge UK |isbn=0521794870 |url=https://books.google.com/?id=t4dg3scoE5AC&pg=PA44&dq=relativity+%22Faraday%27s+law%22}}</ref>

== Электрический генератор ==
[[Файл:Faraday's disc.PNG|thumb|200px|Рис. 8. Электрический генератор на основе диска Фарадея. Диск вращается с угловой скоростью ω, при этом проводник, расположенный вдоль радиуса, движется в статическом магнитном поле '''B'''. Магнитная сила Лоренца '''v <big>×</big> B''' создаёт ток вдоль проводника по направлению к ободу, затем цепь замыкается через нижнюю щётку и ось поддержки диска. Таким образом, вследствие механического движения генерируется ток.]]
{{Main|Электрический генератор}}
Явление возникновения ЭДС, порождённой по закону индукции Фарадея из-за относительного движения контура и магнитного поля, лежит в основе работы [[Электрический генератор|электрических генераторов]]. Если [[Магнит|постоянный магнит]] перемещается относительно проводника или наоборот, проводник перемещается относительно магнита, то возникает электродвижущая сила. Если проводник подключён к электрической нагрузке, то через неё будет течь ток, и следовательно, механическая энергия движения будет превращаться в электрическую энергию. Например, ''дисковый генератор'' построен по тому же принципу, как изображено на рис. 4. Другой реализацией этой идеи является [[Униполярный генератор|диск Фарадея]], показанный в упрощённом виде на рис. 8. Обратите внимание, что и анализ рис. 5, и прямое применение закона силы Лоренца показывают, что ''твёрдый'' проводящий диск работает одинаковым образом.

В примере диска Фарадея диск вращается в однородном магнитном поле, перпендикулярном диску, в результате чего возникает ток в радиальном плече благодаря силе Лоренца. Интересно понять, как получается, что чтобы управлять этим током, необходима механическая работа. Когда генерируемый ток течёт через проводящий обод, по [[Теорема о циркуляции магнитного поля|закону Ампера]] этот ток создаёт магнитное поле (на рис. 8 оно подписано «индуцированное B» — Induced B). Обод, таким образом, становится [[электромагнит]]ом, который сопротивляется вращению диска (пример [[Правило Ленца|правила Ленца]]). В дальней части рисунка обратный ток течёт от вращающегося плеча через дальнюю сторону обода к нижней щётке. Поле В, создаваемое этим обратным током, противоположно приложенному полю, вызывая ''сокращение'' потока через дальнюю сторону цепи, в противовес ''увеличению'' потока, вызванного вращением. На ближней стороне рисунка обратный ток течёт от вращающегося плеча через ближнюю сторону обода к нижней щётке. Индуцированное поле B ''увеличивает'' поток по эту сторону цепи, в противовес ''снижению'' потока, вызванного вращением. Таким образом, обе стороны цепи генерируют ЭДС, препятствующую вращению. Энергия, необходимая для поддержания движения диска в противовес этой реактивной силе, в точности равна вырабатываемой электрической энергии (плюс энергия на компенсацию потерь из-за трения, из-за выделения [[Закон Джоуля — Ленца|тепла Джоуля]] и прочее). Такое поведение является общим для всех генераторов преобразования [[Механическая энергия|механической энергии]] в электрическую.

Хотя закон Фарадея описывает работу любых электрических генераторов, детальный механизм в разных случаях может отличаться. Когда магнит вращается вокруг неподвижного проводника, меняющееся магнитное поле создаёт электрическое поле, как описано в уравнении Максвелла-Фарадея, и это электрическое поле толкает заряды через проводник. Этот случай называется ''' ''индуцированной'' ''' ЭДС. С другой стороны, когда магнит неподвижен, а проводник вращается, на движущиеся заряды воздействует магнитная сила (как описывается законом Лоренца), и эта магнитная сила толкает заряды через проводник. Этот случай называется ''' ''двигательной'' ''' ЭДС.<ref name=Griffiths2>{{cite book | author=Griffiths, David J. | title=Introduction to Electrodynamics |url=https://www.amazon.com/gp/reader/013805326X/ref=sib_dp_pt/104-2951702-6987112#reader-link |edition=Third |pages=301–303 | publisher=Prentice Hall | year=1999 |location=Upper Saddle River NJ | isbn=0-13-805326-X}}</ref>

== Электродвигатель ==
{{Main|Электродвигатель}}
Электрический генератор может работать в «обратном направлении» и становиться двигателем. Рассмотрим, например, диск Фарадея. Предположим, постоянный ток течёт через проводящее радиальное плечо от какого-либо напряжения. Тогда по закону силы Лоренца на этот движущийся заряд воздействует сила в магнитном поле ''B'', которая будет вращать диск в направлении, определённым правилом левой руки. При отсутствии эффектов, вызывающих диссипативные потери, таких как трение или [[Закон Джоуля — Ленца|тепло Джоуля]], диск будет вращаться с такой скоростью, чтобы ''d Φ<sub>B</sub> / dt'' было равно напряжению, вызывающему ток.

== Электрический трансформатор ==
{{Main|Трансформатор}}
ЭДС, предсказанная законом Фарадея, является также причиной работы электрических трансформаторов. Когда электрический ток в проволочной петле изменяется, меняющийся ток создаёт переменное магнитное поле. Второй провод в доступном для него магнитном поле будет испытывать эти изменения магнитного поля как изменения связанного с ним магнитного потока ''d'' Φ<sub>B</sub> / ''d t''. Электродвижущая сила, возникающая во второй петле, называется '''индуцированной ЭДС''' или '''ЭДС трансформатора'''. Если два конца этой петли связать через электрическую нагрузку, то через неё потечёт ток.

== Электромагнитные расходомеры ==
{{Main|Электромагнитные расходомеры}}
Закон Фарадея используется для измерения расхода электропроводящих жидкостей и суспензий. Такие приборы называются магнитными расходомерам. Наведённое напряжение ℇ, генерируемое в магнитном поле ''B'' за счет проводящей жидкости, движущейся со скоростью ''v'', определяется по формуле:

: <math>\mathcal{E}= B \ell v,</math>

где ℓ — расстояние между электродами в магнитном расходомере.

== Паразитная индукция и тепловые потери ==
В любом металлическом объекте, движущемся по отношению к статическому магнитному полю, будут возникать [[вихревые токи|индукционные токи]], как и в любом неподвижном металлическом предмете по отношению к движущемуся магнитному полю. Эти энергетические потоки в сердечниках трансформаторов нежелательны, из-за них в слое металла течёт электрический ток, который нагревает металл.

В соответствии с правилом Ленца [[вихревые токи]] протекают внутри проводника по таким путям и направлениям, чтобы своим действием возможно сильнее противится причине, которая их вызывает. Вследствие этого при движении в магнитном поле на хорошие проводники действует тормозящая сила, вызываемая взаимодействием вихревых токов с магнитным полем. Этот эффект используется в ряде приборов для демпфирования колебаний их подвижных частей.   

Есть ряд методов, используемых для борьбы с этими нежелательными индуктивными эффектами.
* Электромагниты в электрических двигателях, генераторах и трансформаторах не делают из сплошного металла, а используют тонкие листы жести, называемые «ламинатами». Эти тонкие пластины уменьшают паразитные вихревые токи, как будет описано ниже.
* Катушки индуктивности в электронике обычно используют [[Магнитопровод|магнитные сердечники]], чтобы минимизировать паразитный ток. Их делают из смеси металлического порошка со связующим наполнителем, и они имеют различную форму. Связующий материал предотвращает прохождение паразитных токов через порошковый металл.

=== Расслоение электромагнита ===
[[Файл:Hawkins Electrical Guide - Figure 292 - Eddy currents in a solid armature.jpg|300px|left]]
Вихревые токи возникают, когда сплошная масса металла вращается в магнитном поле, так как внешняя часть металла пересекает больше силовых линий, чем внутренняя, следовательно, индуцированная электродвижущая сила неравномерна и стремится создать токи между точками с наибольшим и наименьшим потенциалами. Вихревые токи потребляют значительное количество энергии, и часто приводят к вредному повышению температуры.<ref name="Imagesand"><cite>Images and reference text are from the public domain book: Hawkins Electrical Guide, Volume 1, Chapter 19: Theory of the Armature, pp. 272—273, Copyright 1917 by Theo. Audel & Co., Printed in the United States</cite></ref>
{{clear}}
[[Файл:Hawkins Electrical Guide - Figure 293 - Armature core with a few laminations showing effect on eddy currents.jpg|300px|left]]
На этом примере показаны всего пять ламинатов или пластин для демонстрации расщепление вихревых токов. На практике число пластин или перфорация составляет от 40 до 66 на дюйм, что приводит к снижению потерь на вихревых токах примерно до одного процента. Хотя пластины могут быть отделены друг от друга изоляцией, но поскольку возникающие напряжения чрезвычайно низки, то естественной ржавчины или оксидного покрытия пластин достаточно, чтобы предотвратить ток через пластины.<ref name="Imagesand" />
{{clear}}
[[Файл:Small DC Motor pole laminations and overview.jpg|300px|left]]
Это ротор от двигателя постоянного тока диаметром примерно 20 мм, используемого в проигрывателях компакт-дисков. Обратите внимание, для снижения паразитных индуктивных потерь сделано расслоение полюса электромагнита на части.
{{clear}}

=== Паразитные потери в катушках индуктивности ===
[[Файл:Hawkins Electrical Guide - Figure 291 - Formation of eddy currents in a solid bar inductor.jpg|300px|left]]
На этой иллюстрации сплошной медный стержень катушки индуктивности во вращающемся якоре просто проходит под кончиком полюса N магнита. Обратите внимание на неравномерное распределение силовых линий через стержень. Магнитное поле имеет большую концентрацию и, следовательно, сильнее на левом краю медного стержня (a, b), тогда как слабее по правому краю (c, d). Поскольку два края стержня будут двигаться с одинаковой скоростью, это различие в напряженности поля через стержень создаст вихри тока внутри медного стержня.<ref><cite>Images and reference text are from the public domain book: Hawkins Electrical Guide, Volume 1, Chapter 19: Theory of the Armature, pp. 270—271, Copyright 1917 by Theo. Audel & Co., Printed in the United States</cite></ref>

Это одна из причин, по которой устройства с высоким напряжением, как правило, более эффективны, чем низковольтные устройства. Высоковольтные устройства имеют множество небольших витков провода в двигателях, генераторах и трансформаторах. Эти многочисленные небольшие витки провода в электромагните разбивают вихревые потоки, а в пределах больших, толстых катушек индуктивности низкого напряжения образуется вихревые токи большей величины.
{{clear}}

== См. также ==
{{multicol}}
* [[Майкл Фарадей]]
* [[Магнитное поле]]
* [[Магнитный поток]]
* [[Теорема о циркуляции магнитного поля]]
* [[Правило Ленца]]
* [[Сила Лоренца]]
{{multicol-break}}
* [[Теорема Стокса]]
* [[Векторный анализ]]
* [[Индуктивность]]
* [[Электрический импеданс]]
* [[Униполярный генератор]]
* [[Генератор переменного тока]]
{{multicol-end}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20080725021957/http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/electromagneticinduction/index.html A simple interactive Java tutorial on electromagnetic induction]
* [https://web.archive.org/web/20080530092914/http://www.physics.smu.edu/~vega/em1304/lectures/lect13/lect13_f03.ppt R. Vega ''Induction: Faraday’s law and Lenz’s law'' — Highly animated lecture]
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University]
* [https://web.archive.org/web/20150923212031/http://www.cvel.clemson.edu/emc/tutorials/Faraday/Faradays_Law.html Faraday’s Law for EMC Engineers]
* [https://books.google.com/books?id=vAsJAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=intitle:a+intitle:treatise+intitle:on+intitle:electricity+intitle:an+intitle:magnetism&lr=&as_brr=0&source=gbs_book_other_versions_r&cad=0_1#v=onepage&q&f=false Maxwell, James Clerk (1881), ''A treatise on electricity and magnetism, Vol. II'', Chapter III, § 530, p. 178.] Oxford, UK: Clarendon Press. ISBN 0-486-60637-6.
* [https://web.archive.org/web/20090226225302/http://www.nadn.navy.mil/Users/physics/tank/Public/FaradaysLaw.pdf Tankersley and Mosca: ''Introducing Faraday’s law''.]

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Калашников, Сергей Григорьевич|Калашников С.Г.]] | заглавие = Электричество | место = М. | издательство  = Гостехтеориздат | год = 1956 | страниц = 664 | isbn = | ref = Калашников}}

[[Категория:Электродинамика]]
[[Категория:Законы электромагнетизма|Фарадея]]
[[Категория:Электромеханика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Фарадея электромагнитной индукции]]