Просмотр кода страницы Закон Бернулли

[[Файл:DanielBernoulli.png|thumb|275px|Рисунок из «Гидродинамики» [[Бернулли, Даниил|Д. Бернулли]]: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.]]
{{Механика сплошных сред}}
{{Эта статья|об уравнении Бернулли в гидродинамике|Дифференциальное уравнение Бернулли|о дифференциальном уравнении Бернулли}}
'''Закон Бернулли'''{{sfn|''Ландсберг Г. С.'' Закон Бернулли|1985}} (также ''уравнение Бернулли''{{sfn|''Вишневецкий С. Л.'' Бернулли уравнение|1988}}{{sfn|''Титьенс О., Прандтль Л.'' Гидро- и аэромеханика|1933}}, ''теорема Бернулли''{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24. Теорема Бернулли}}{{sfn|''Милн-Томсон Л. М.'' Теоретическая гидродинамика|1964|}} или ''интеграл Бернулли''{{sfn|''Вишневецкий С. Л.'' Бернулли уравнение|1988}}{{sfn|''Седов Л. И.'' Механика сплошной среды|1970}}{{sfn|''Чёрный Г. Г.'' Газовая динамика|1988}}) устанавливает зависимость между скоростью [[Стационарность#Физика|стационарного]] потока жидкости и её [[давление|давлением]]. Согласно этому закону, если вдоль [[линия тока|линии тока]] давление жидкости возрастает, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования [[дифференциальное уравнение|уравнений]] [[гидродинамика|гидродинамики]]  [[идеальная жидкость|идеальной жидкости]]{{sfn|''Вишневецкий С. Л.'' Бернулли уравнение|1988}} (то есть без [[вязкость|вязкости]] и [[теплопроводность|теплопроводности]]).

== История == 
Для случая [[несжимаемая жидкость|несжимаемой жидкости]] результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в [[1738 год в науке|1738 году]] [[Даниил Бернулли|Даниилом Бернулли]]{{#tag:ref|В записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало внутреннее давление в жидкости{{sfn|''Трусделл К.'' Очерки по истории механики|2002}}{{sfn|''Михайлов Г. К.''|1999|страницы=17}}{{sfn|''Darrigol O.'' A history of hydrodynamics|2005|страницы=9}}.|group=K}}. В современном виде интеграл был опубликован [[Иоганн Бернулли|Иоганном Бернулли]] в 1743 году{{sfn|''Трусделл К.'' Очерки по истории механики|2002|страницы=255, 257}} для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] в 1757 году{{sfn|''Euler L.'' Continuation des recherches|1755 (1757)|страницы=331}}.

== Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости ==
{{Физическая величина
| Название    = Полное давление
| Символ      = 
| Размерность = <math>L^{-1}MT^{-2}</math>
| СИ          = [[Джоуль|Дж]]/м<sup>3</sup> = Па
| СГС         = [[Эрг|эрг]]/см<sup>3</sup>
| Примечания  = Постоянно вдоль [[линия тока|линии тока]] [[Стационарность|стационарного]] течения [[несжимаемая жидкость|несжимаемой жидкости]]. 
}}
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие [[закон сохранения энергии|закона сохранения энергии]]. Закон Бернулли утверждает, что величина <math>\rho v^2/2 + \rho g h+ p</math> сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
: <math>\frac{\rho v^2}{2} + \rho g h+ p = \text{const}.</math>
Здесь
: <math>\rho</math> — [[плотность]] жидкости;
: <math>v</math> — [[скорость]] потока;
: <math>h</math> — высота;
: <math>p</math> — [[давление]];
: <math>g</math> — [[ускорение свободного падения]].
{{Hider|
  title = ''Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии''|
  content = 
[[Файл:BernoullisLawDerivationDiagram.png |thumb|400px|right]]
Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике  [[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Д. В. Сивухина]]{{sfn|''Сивухин Д. В.'' Механика|1989|loc=§94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли}}. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями <math>A_1</math> и <math>A_2</math>, действует сила <math>F_1=p_1A_1</math>, а справа — противоположного направления сила <math>F_2=-p_2A_2</math>. Скорость <math>v</math> и давление <math>p</math>  в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2.  За бесконечно малое время <math>\Delta t</math> левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние <math>s_1=v_1\Delta t</math>, а правая — на расстояние <math>s_2=v_2\Delta t</math>. [[Работа (механика)|Работа]], совершённая силами давления, равна: 
: <center><math>W=F_1s_1+F_2s_2=\Delta t\left(v_1A_1p_1-v_2A_2p_2\right). </math></center>
В начале интервала времени <math>\Delta t</math> объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями <math>A_1</math> и <math>A_2</math>, состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: <math>\Delta m=\Delta t v_1A_1\rho_1=\Delta t v_2A_2\rho_2. </math>  Поэтому работа сил, выражение для  которой можно преобразовать к виду: <math>\Delta W=\Delta m\left(\frac{p_1}{\rho_1}-\frac{p_2}{\rho_2}\right), </math>   равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента <math>\Delta E_2</math> и левого голубого элемента <math>\Delta E_1</math>. 

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить <math>\rho_1=\rho_2=\rho</math> и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться [[Кинетическая энергия|кинетической]] и [[Потенциальная энергия|потенциальной]] энергией: <math>\Delta E_1=\Delta m\left(\frac{v^2_1}2+gh_1\right),</math> <math>\Delta E_2=\Delta m\left(\frac{v^2_2}2+gh_2\right).</math> После этого равенство <math>\Delta W=\Delta E_2-\Delta E_1</math> даёт: <math>p_1+\rho g h_1+\frac{\rho v_1^2}2 = p_2+\rho g h_2+\frac{\rho v_2^2}2</math>, или <math>p+\rho g h+\frac{\rho v^2}2={\rm const}</math>.
 <!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}
Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется ''полным давлением''{{sfn|''Вишневецкий С. Л.'' Бернулли уравнение|1988}}. Могут также использоваться термины «весовое давление» <math>\rho g h</math>, «статическое давление» <math>p</math> и «динамическое давление» <math>\rho v^2/2</math>. По словам [[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Д. В. Сивухина]]{{sfn|''Сивухин Д. В.'' Механика|1989|loc=§94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли}}, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл [[Кинетическая энергия|кинетической]] и [[Потенциальная энергия|потенциальной]] энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является [[Механическая работа|работой]] сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в [[гидравлика|гидравлике]] может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии<ref>{{книга|автор=Чугаев Р. Р.|заглавие=Гидравлика|место={{Л}}|издательство=[[Энергия (издательство)|Энергия]]|год=1975|страниц=600}}</ref>).

=== Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли ===
{{main|Формула Торричелли}}
[[Файл:TorricelliLaw.svg|thumb|275px|Иллюстрация формулы Торричелли]]
В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на [[свободная поверхность|свободной поверхности]] жидкости и на выходе из отверстия:
: <math>\rho g h + p_0 = \frac{\rho v^2}{2} + p_0,</math>
где
: <math>h</math> — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
: <math>v</math> — скорость истечения жидкости,
: <math>p_0</math> — [[атмосферное давление]].
Отсюда: <math>v = \sqrt{2gh}</math>. Это — [[формула Торричелли (гидродинамика)|формула Торричелли]]. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, [[свободное падение|свободно падающее]] с высоты <math>h</math>. Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде{{sfn|''Сивухин Д. В.'' Механика|1989|loc=§95. Примеры на применение уравнения Бернулли. Формула Торричелли}}.

=== Другие проявления и применения закона Бернулли ===
[[Файл:ЭФФЕКТ ВЕНТУРИ.GIF|275px|thumb|Закон Бернулли объясняет [[эффект Вентури]]: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части]]
Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для [[Ламинарное течение|ламинарных]] течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со [[скорость звука|скоростью звука]]{{sfn|''Сивухин Д. В.'' Механика|1989|loc=§94, формула (94.6)}}.
{{main|Эффект Вентури}}

Вдоль горизонтальной трубы координата <math>z</math> постоянна и уравнение Бернулли принимает вид <math>\frac{\rho v^2}{2} + p = \text{const}</math>. Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы [[расходомер|расходомера Вентури]]<ref>{{книга |автор=Молоканов Ю. К. |заглавие=Процессы и аппараты нефтегазопереработки |ссылка=http://chem21.info/page/107254081087012086069117039128018154208107006222 |место={{М}} |издательство=Химия |год=1980 |страницы=60 |страниц=408}}</ref> и [[Струйный насос|струйного насоса]]{{sfn|''Ландсберг Г. С.'' Закон Бернулли|1985}}.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «[[Олимпик (лайнер)#Происшествия|Олимпик]]»)<ref>{{cite web |url=http://allforchildren.ru/sci/perelman2-63.php |lang=ru |title=Отчего притягиваются корабли? |author=[[Перельман, Яков Исидорович|Я. И. Перельман]] |accessdate=2018-12-27}}</ref>.

=== Применение в гидравлике ===
{{main|Гидравлика|Гидравлические потери|Напор}}
Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — [[Гидравлика|гидравлики]]. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены  на «[[удельный вес]]» <math>\rho g</math>:
: <math>H = h + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \text{const},</math>
где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:
{{Физическая величина
| Название    = Напор{{sfn|Напор|1992}}
| Символ      = 
| Размерность = <math>L</math>
| СИ          = метр 
| СГС         = 
| Примечания  = Полное давление, делённое на [[удельный вес]]. 
}}
: <math>H</math> — гидравлическая высота{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24. Теорема Бернулли}} или [[напор]]{{sfn|Напор|1992}},
: <math>h</math> — [[нивелир]]ная высота{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24. Теорема Бернулли}},
: <math>\frac{p}{\rho g}</math> — пьезометрическая высота{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24. Теорема Бернулли}} или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор{{sfn|Напор|1992}},
: <math> \frac{v^2}{2g}</math> — скоростная высота{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24. Теорема Бернулли}} или скоростной напор{{sfn|Напор|1992}}.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на [[вязкость|вязкое]] [[трение]]. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «[[гидравлические потери]] напора»{{sfn|Напор|1992}}.

== Интеграл Бернулли в баротропных течениях ==
{{main|Баротропность}}
Уравнение Бернулли может быть выведено и из [[Уравнение движения сплошной среды|уравнения движения жидкости]]{{#tag:ref|«…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа»{{sfn|''Бэтчелор Дж.'' Введение в динамику жидкости|1973|с=208|loc=Примечание Г. Ю. Степанова}}.|group=K}}{{#tag:ref|«Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий»{{sfn|''Гольдштейн Р. В., Городцов В. А.'' Механика сплошных сред|2000|с=104}}.|group=K}}. При этом течение предполагается стационарным и [[баротропность|баротропным]]. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: <math>\rho=\rho(p)</math>, что позволяет ввести ''функцию давления''{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§23, уравнение (9)}} <math>\mathcal P = \int{\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}}.</math> В этих предположениях величина
: <math>\frac {v^2}{2} + gh + \mathcal P = \text{const}</math>
постоянна вдоль любой линии тока и любой [[вихревая линия|вихревой линии]]. Соотношение справедливо для течения в любом [[потенциальное векторное поле|потенциальном поле]], при этом <math>gh</math> заменяется на потенциал [[массовая сила|массовой силы]] <math>\varphi</math>.
{{Hider|  title = ''Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения'' |  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
[[Уравнение Громеки — Лэмба]]{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§23, уравнение (7)}}{{sfn|''Седов Л. И.'' Механика сплошной среды|1970|loc=Глава VIII. §2, уравнение (2.1)}} (квадратные скобки обозначают [[векторное произведение]]) имеет вид:
: <math>\frac{\partial \vec v}{\partial t}+\operatorname{grad}\left(\frac{v^2}{2}\right)+\left[\mathrm{rot}\,\vec v , \vec v\right]=-\frac1\rho\operatorname{grad}p+\vec{F}</math>
В силу сделанных предположений <math>\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0,</math> <math>\frac{\operatorname{grad}p}{\rho}=\operatorname{grad}{\cal P}</math> и <math>\vec{F}=-\operatorname{grad}\varphi</math> (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен <math>\varphi=g\,h</math>), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:
: <math>\operatorname{grad}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}\right)+\left[\mathrm{rot}\,\vec v , \vec v\right]=0 </math>
[[Скалярное произведение]] этого уравнения на единичный вектор <math>\vec{l}=\frac{\vec{v}}{v},</math> касательный к линии тока, даёт:
: <math> \frac\partial{\partial l}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}\right)=0 </math>
так как произведение [[градиент]]а на единичный вектор [[Градиент#Связь с производной по направлению|даёт производную по направлению]] <math>\frac\partial{\partial l}</math>, а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока <math>\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}=\mathrm{const}.</math> Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по <math>\mathrm{rot}\,\vec v. </math>
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}
Для [[потенциальное векторное поле|безвихревых]] баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости <math>\vec v=\operatorname{grad}\psi</math>, интеграл Бернулли в виде <math>\frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac {\left(\operatorname{grad}\psi\right)^2}{2}+ gh+ {\cal P}  =\mathrm{const}</math>{{#tag:ref|В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как [[интеграл Коши — Лагранжа]]{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§42. Интеграл Лагранжа — Коши}}|group=K}} сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§42. Интеграл Лагранжа — Коши}}. 
=== Формула Сен-Венана — Ванцеля ===
Если в течении [[Идеальный газ#Совершенный газ (гидроаэромеханика)|совершенного газа]] выполняется ''[[адиабатический процесс|адиабатический]] закон''{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24, уравнение (29)}}
:<math>p=\frac{p_0}{\rho_0^\gamma}\rho^\gamma,\qquad\rho=\frac{\rho_0}{p_0^{1/\gamma}}p^{1/\gamma},\qquad{\cal P}=-\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right],</math>
то уравнение Бернулли выражается так{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24, уравнение (30)}} (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):
: <math>\frac{v^2}{2}-\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right]=\mathrm{const}</math> вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
: <math>\gamma = \frac{C_p}{C_V}</math> — [[показатель адиабаты]] газа, выражающийся через [[теплоёмкость|теплоёмкости]] при постоянном давлении и при постоянном объёме,
: <math>p,\ \rho</math> — давление и плотность газа,
: <math>p_0,\ \rho_0</math> — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за <math>p_0,\ \rho_0,</math> тогда скорость истечения выражается через внешнее давление <math>p</math> по формуле [[Сен-Венан, Адемар Жан-Клод Барре де|Сен-Венана]] — Ванцеля{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24, уравнение (31)}}:
: <math>v^2=\frac{2\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right].</math>

== Термодинамика закона Бернулли ==
{{main|Энтальпия}}
Из [[Термодинамика|термодинамики]] следует, что вдоль линии тока ''любого'' стационарного течения идеальной жидкости
: <math>\frac{v^2}{2} + w + \varphi = \text{const},\quad s = \text{const},</math>
где <math>w</math> — [[Энтальпия#Удельная энтальпия|энтальпия единицы массы]], <math>\varphi</math> — гравитационный потенциал (равный <math>gz</math> для однородной силы тяжести), <math>s</math> — [[энтропия]] единицы массы.  
{{Hider|
  title = Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений |
  content =
1. [[Уравнение Эйлера]] для ''стационарного'' (<math>\partial \vec v/\partial t = 0 </math>) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести{{sfn|''Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.'' Гидродинамика|2001|loc=Уравнение (2.4)}} имеет вид
: <math> (\vec v\cdot\nabla) \vec v = -\frac1{\rho} \nabla p +\vec g,</math>
где ускорение силы тяжести можно выразить через [[гравитационный потенциал]] <math>\vec g=-\nabla\varphi </math> (для однородного поля <math> \varphi = gh </math>), точка между векторами в круглых скобках означает их [[скалярное произведение]]. 

2. [[Скалярное произведение]] этого уравнения на единичный вектор <math>\vec{l}=\frac{\vec{v}}{v},</math> касательный к линии тока даёт
: <math> \frac\partial{\partial l}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi\right)=-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial l},</math>
так как произведение [[градиент]]а на единичный вектор [[Градиент#Связь с производной по направлению|даёт производную по направлению]] <math>\frac\partial{\partial l}. </math>

3.  Термодинамическое [[дифференциал (математика)|дифференциальное]] соотношение 
: <math>\mathrm{d}w = \frac1\rho \mathrm{d}p + T \mathrm{d}s,</math>
где <math> w </math> —  [[Энтальпия#Удельная энтальпия|энтальпии единицы массы]], <math>T</math> — температура и <math>s</math> — [[энтропия]] единицы массы, даёт
: <math> \frac{\partial w}{\partial l}= \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial l}+T\frac{\partial s}{\partial l},\quad </math> так что <math> \frac{\partial}{\partial l} \left( \frac{v^2}{2} + w + \varphi \right) = T\frac{\partial s}{\partial l}. </math>
В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию{{sfn|''Седов Л. И.'' Механика сплошной среды|1970|loc=Глава VII. §2. Функция давления}} (<math>\partial s/\partial l = 0</math>), поэтому вдоль линии тока:
: <math>s = \text{const},\quad \frac{v^2}{2} + w + \varphi = \text{const}.</math>
 <!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}
Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбин. При этом могут использоваться так называемые [[диаграмма Молье|диаграммы Молье]], представляющих удельную энтальпию (по оси  [[ордината|ординат]]) как функцию удельной энтропии (по оси [[абсцисса|абсцисс]]) и например давления (или температуры) в виде семейства [[изобарный процесс|изобар]] ([[изотермический процесс|изотерм]]). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежат на некоторой ''вертикальной'' линии (<math>s = \text{const}</math>). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующего начальному и конечному давлению теплоносителя, равен половине изменения квадрата скорости{{sfn|''Поль Р. В.'', Механика, акустика и учение о теплоте|2013|с=446}}.

== Обобщения интеграла Бернулли ==
Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится{{sfn|''Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.'' Гидродинамика|2001|loc=§85}}. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх [[адиабата Гюгонио|соотношений Гюгонио]], наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны. 

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений [[Ньютоновская жидкость|вязкой жидкости]] (например, для плоскопараллельных течений<ref>{{статья|автор=Голубкин В. Н., Сизых Г. Б.|заглавие=О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости|издание=Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа|тип=журнал|год=1987|номер=3|страницы=176–178|doi=10.1007/BF01051932}}</ref>), в [[Магнитная гидродинамика|магнитной гидродинамике]]<ref>{{книга|автор=[[Куликовский, Андрей Геннадиевич|Куликовский А. Г.]], [[Любимов, Григорий Александрович|Любимов Г. А.]]|заглавие=Магнитная гидродинамика|место={{М}}|издательство=[[Физматлит]]|год=1962|страниц=248|страницы=54}}</ref>, [[Ферромагнитная жидкость|феррогидродинамике]]<ref>{{книга|автор=Розенцвейг Р.|заглавие=Феррогидродинамика|ответственный=Пер. с англ. под ред. В. В. Гогосова|место={{М}}|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1989|страниц=359|страницы=136|isbn=5-03-000997-3}}</ref>. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света <math>c</math>, интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных{{sfn|''Зубарев Д. Н.'', Релятивистская термодинамика|1994}} удельной энтальпии и удельной энтропии{{sfn|''Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.'' Гидродинамика|2001|loc=Уравнение (134.11)}}.

== Комментарии ==
{{Примечания|group=K}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Бэтчелор Дж.|заглавие=Введение в динамику жидкости|ответственный=Пер. с англ. под ред. [[Степанов, Георгий Юрьевич|Г. Ю. Степанова]]|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Betchelor1973ru.djvu|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1973|страниц=760|ref=''Бэтчелор Дж.'' Введение в динамику жидкости}}
* {{книга|автор=Вишневецкий С. Л.|часть=Бернулли уравнение|ссылка часть=http://www.physicum.narod.ru/vol_1/187.pdf|страницы=187|заглавие=Физическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|ссылка=http://femto.com.ua/index1.html|место={{М}}|год=1988|isbn=|том=1: Ааронова-Бома эффект — Длинные линии|издательство= [[Советская энциклопедия]]|страниц=704|ref=''Вишневецкий С. Л.'' Бернулли уравнение}}
* {{книга|автор=[[Гольдштейн, Роберт Вениаминович|Гольдштейн Р. В.]], Городцов В. А.|заглавие=Механика сплошных сред. Часть 1|место={{М}}|издательство=[[Физматлит]]|год=2000|страниц=256|isbn=5-02-015555-1|ref=''Гольдштейн Р. В., Городцов В. А.'' Механика сплошных сред}}
* {{книга|автор =[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев, Д. Н.]]|часть=Релятивистская термодинамика|ссылка часть=http://www.physicum.narod.ru/vol_4/333.pdf|заглавие=Физическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|ссылка=http://femto.com.ua/index1.html|место={{М}}|год=1994|том=4: Пойнтинга-Робертсона эффект — Стримеры|издательство=[[Большая российская энциклопедия]]|страниц=704|isbn=5-85270-087-8|страницы =333—334|ref =''Зубарев Д. Н.'', Релятивистская термодинамика}}
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика|2001|ref=''Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.'' Гидродинамика }}
* {{книга|автор=[[Лойцянский, Лев Герасимович|Лойцянский Л. Г.]]|заглавие=Механика жидкости и газа|место={{М}}|издательство=Дрофа|год=2003|страниц=842|isbn=5-7107-6327-6|ref=''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа}}
* {{книга|автор=Милн-Томсон Л. М.|заглавие=Теоретическая гидродинамика|место={{М}}|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1964|страниц=656|ref=''Милн-Томсон Л. М.'' Теоретическая гидродинамика}}
* {{статья|ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/mikhailov.djvu|автор=Михайлов Г. К. |заглавие=Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII)|издание=Известия Академии наук, серия Механика жидкости и газа|тип=журнал|страницы=7–25|год=1999|выпуск=6|ref=''Михайлов Г. К.''}}
* {{книга|автор=|часть=Напор|ссылка часть=http://www.physicum.narod.ru/vol_3/242.pdf|заглавие=Физическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|ссылка=http://femto.com.ua/index1.html|место={{М}}|год=1992|том= 3: Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема|издательство=[[Большая российская энциклопедия]]|страницы=242|страниц=672|isbn=5-85270-019-3|ref=Напор}}
* {{книга|заглавие=Механика, акустика и учение о теплоте
|автор=	Поль Р. В. 
|издательство=Рипол Классик
|ссылка=https://books.google.com/books?id=zon_AgAAQBAJ&pg=PA446&lpg=PA446&dq=диаграммы+молье&source=bl&ots=Tu8iJhdGMf&sig=wkEKOQo4BWwVz9BVeSI2Gcc8ukU&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwj94tSUp7DfAhXI7IMKHTAuAAw4ChDoATAJegQICRAB#v=onepage&q=диаграммы%20молье&f=false
|год=2013
|isbn=5458431251, 9785458431255
|страниц=490
|ref=''Поль Р. В.'', Механика, акустика и учение о теплоте}}
* {{книга|автор=[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]]|заглавие=Механика сплошной среды|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov_MSS_t2_1970ru.djvu|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1970|том=2|страниц=568|ref=''Седов Л. И.'' Механика сплошной среды}}
* {{Книга:Сивухин Д.В.: Механика|1989|ref=''Сивухин Д. В.'' Механика}}
* {{книга|автор=Титьенс О., [[Прандтль, Людвиг|Прандтль Л.]]|заглавие=Гидро- и аэромеханика|место={{М}}-{{Л}}|издательство=[[ГТТИ]]|год=1933|том=1|страниц=224|ref=''Титьенс О., Прандтль Л.'' Гидро- и аэромеханика}}
* {{книга|автор=Трусделл К.|заглавие=Очерки по истории механики|ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/truesdell.djvu|место={{М}} — Ижевск|издательство=Институт компьютерных исследований|год=2002|страниц=316|isbn=5-93972-192-3|ref=''Трусделл К.'' Очерки по истории механики}}
* {{книга|автор=Фабер Т. Е.|заглавие=Гидроаэродинамика|ответственный=Пер. с англ. под ред. А. А. Павельева|ссылка=|место={{М}}|издательство=Постмаркет|год=2001|страниц=560|isbn=5-901095-04-9|ref=''Фабер Т. Е.'' Гидроаэродинамика}}
* {{книга|автор=[[Чёрный, Горимир Горимирович|Чёрный Г. Г.]]|заглавие=Газовая динамика|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1988|страниц=424|isbn=5-02-013814-2|ref=''Чёрный Г. Г.'' Газовая динамика}}
* {{книга|часть=§182. Закон Бернулли|ссылка=http://mat.net.ua/mat/biblioteka-fizika/Landzberg-fizika-t1-mehanika-teplota.pdf|заглавие=Элементарный учебник физики|том=1. Механика. Теплота. Молекулярная физика|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1985|ответственный=Под ред. [[Ландсберг, Григорий Самуилович|Г. С. Ландсберга]]|ref=''Ландсберг Г. С.'' Закон Бернулли}}
*{{книга|автор=Darrigol O.|заглавие=Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl|место=Oxford|издательство=Oxford University Press|год=2005|страниц=356|isbn=978-0-19-856843-8|ref=''Darrigol O.'' A history of hydrodynamics}}
*{{статья|автор=Euler L.|заглавие=Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides|ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/euler-1755-continuation.djvu|издание=Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres|место=Berlin|год=1755 (1757)|том=11|страницы=316-361|ref=''Euler L.'' Continuation des recherches}}
* {{книга|автор=Truesdell, Clifford Ambrose|часть=Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12|заглавие=Leonardi Euleri. Opera Omnia|серия=II|том=12|страницы=I—CXXV|издательство=Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae|место=Lausanne|год=1954|ref=''Truesdell C. A.'' Rational Fluid Mechanics, 1687–1765}}

== Ссылки ==
* [http://gidropraktikum.narod.ru/equations-of-hydrodynamics.htm#bernoulli-equation Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли]

{{ВС}}
[[Категория:Физические законы|Бернулли]]
[[Категория:Гидравлика]]
[[Категория:Гидроаэромеханика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Бернулли]]
{{Добротная статья|Физика}}