Просмотр кода страницы Естественное преобразование

В [[теория категорий|теории категорий]] '''есте́ственное преобразова́ние''' предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении [[категория функторов|категории функторов]]. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.

== Определение ==

Пусть <math>F</math> и <math>G</math> — ковариантные [[Функтор (математика)|функторы]] из категории <math>C</math> в <math>D</math>. Тогда '''естественное преобразование''' сопоставляет каждому объекту <math>X</math> категории <math>C</math> морфизм <math>\eta_X\colon F(X) \to G(X)</math> в категории <math>D</math>, называемый '''компонентой''' <math>\eta</math> в <math>X</math>, так, что для любого морфизма <math>f\colon X \to Y</math> диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов <math>C</math> и <math>D</math> определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

[[Файл:Natural transformation.svg|175px]]

Если η — естественное преобразование функтора ''F'' в функтор ''G'', мы пишем η : ''F'' → ''G''. Также об этом говорят, что семейство морфизмов η<sub>''X''</sub> : ''F''(''X'') → ''G''(''X'') '''естественно по ''X'''''.

Если для каждого ''X'' в ''C'' морфизм η<sub>''X''</sub> является изоморфизмом в ''D'', то η называют '''естественным изоморфизмом''' (или, иногда, '''естественной эквивалентностью''' или '''изоморфизмом функторов''').

'''Инфраестественное преобразование''' η из ''F'' в ''G'' — это просто семейство морфизмов η<sub>''X''</sub>: ''F''(''X'') → ''G''(''X''). '''Натуралайзер''' η, nat(η), — это самая большая [[подкатегория]] ''C'', содержащая те объекты ''C'', в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : ''F'' → ''G'' и ε : ''G'' → ''H'' — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : ''F'' → ''H''. Это делается покомпонентно: (εη)<sub>''X''</sub> = ε<sub>''X''</sub>η<sub>''X''</sub>. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать [[категория функторов|категорию функторов]].

== Примеры ==

=== Пример естественного преобразования ===
Примером естественного преобразования может служить [[определитель]]. В самом деле пусть <math>R</math> — коммутативное [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], тогда квадратные [[Матрица (математика)|матрицы]] порядка <math>n</math> над <math>R</math> образуют [[моноид]] по умножению, а <math>R'</math> — мультипликативный моноид самого кольца <math>R</math>. Пусть <math>\mathbf{Mat}_n(R)</math> будет функтором, переводящим кольцо <math>R</math> в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца <math>R</math> (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение <math>\mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R))</math> будет естественным преобразованием между функтором <math>\mathbf{Mat}_n(R)</math> и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу <math>R</math> его мультипликативный моноид (оба функтора из категории <math>\mathbf{CRing}</math> коммутативных колец в категорию моноидов <math>\mathbf{Mon}</math>).

=== Пример «неестественного» преобразования ===
Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть <math>V</math> — ''n''-мерное векторное пространство над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb F</math>. <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — его базис, <math>e^1,e^2,\dots,e^n</math> — базис сопряжённого пространства [[функционал]]ов <math>D(V)</math>, такой что
: <math>e^i(e_j) = \delta^i_j</math>

где <math>\delta^i_j</math> — [[Дельта Кронекера|символ Кронекера]]. Все ''n''-мерные пространства изоморфны. Положим
: <math>k(e_i)=e^i</math>

и распространим <math>k</math> линейно на всё пространство <math>V</math>. <math>k</math> отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор <math>I</math> в контравариантный функтор <math>D</math>, отображающий векторное пространство в [[сопряжённое пространство]] функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы <math>f</math> (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор <math>D</math> ковариантным функтором <math>D'</math> (где <math>D'(V) = D(V)</math>, <math>D'(f) = D(f^{-1})</math>). Преобразование <math>k\colon V \to D(V)</math> не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть ''V'' одномерно и изоморфизм <math>f\colon V\to V</math> является умножением на 2:
: <math>f(e_1) = 2 e_1</math>

Тогда <math>D'(f)(k(e_1)) = {1 \over 2}e^1</math>, в то время как <math>k(f(e_1)) = 2 e^1</math>, то есть [[диаграмма]] некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — <math>k</math> определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство <math>D(D(V))</math>, то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм
<math>h\colon V \to D(D(V))</math> (а именно <math>h(x)(f) = f(x)</math> для любого <math>x\in V</math> и функционала <math>f\in D(V)</math>). В данном случае изоморфизм <math>h</math> определяет естественное преобразование тождественного функтора <math>I</math> в функтор <math>D^2</math>.

=== Полиморфные функции ===
Другой важнейший пример естественных преобразований — [[Полиморфная функция|полиморфные функции]] (имеется в виду [[Параметрический полиморфизм | параметрический полиморфизм]]). Примером такого преобразования является функция ''reverse :: forall a . [a] -> [a]'', переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverse<sub>T</sub> :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: ''forall f :: a -> b : map f . reverse<sub>a</sub> = reverse<sub>b</sub> . map f''.
Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие [[Теорема Рейнольдса|теоремы Рейнольдса]].

== Литература ==

* ''Дольд А.'' Лекции по алгебраической топологии — {{М}}: Мир, 1976.
* ''Маклейн С.'' Гомология — {{М}}: Мир, 1966.
* ''Маклейн С.'' Категории для работающего математика — {{М}}: Физматлит, 2004.
* [http://ttic.uchicago.edu/~dreyer/course/papers/wadler.pdf Wadler, Philip — Theorems for free!]

[[Категория:Теория категорий]]