Просмотр кода страницы Дискретное преобразование Абеля

{{Значения|Преобразование Абеля}}
'''Дискретным преобразованием А́беля''' называют следующее тождество:

<center><math>\sum\limits_{k=m}^n a_k b_k = a_nB_n - a_mB_{m-1} - \sum\limits_{k=m}^{n-1}(a_{k+1} - a_k)B_k </math>,</center>

где <math>n \geqslant m \geqslant 1</math>, <math>(a_k),(b_k),(B_k)</math> — последовательности <math>(k \in \mathbb{N})</math>, при этом <math>B_k = b_{m} + b_{m+1} + \ldots + b_{m+k-1}</math> и <math>B_0=0</math>. Это преобразование было названо в честь [[Норвегия|норвежского]] математика [[Абель, Нильс Хенрик|Нильса Хенрика Абеля]]. В [[Математический анализ|математическом анализе]] оно используется при доказательстве [[признак сходимости Дирихле|признака сходимости Дирихле]].

Преобразование Абеля является дискретным аналогом [[интегрирование по частям|интегрирования по частям]] и иногда называется '''суммированием по частям'''.

== Доказательство ==
Имеем

<math>\sum_{k=m}^n a_kb_k=\sum_{k=m}^n a_k(B_k-B_{k-1})=\sum_{k=m}^n a_kB_k-\sum_{k=m}^n a_kB_{k-1}=
\sum_{k=m}^n a_kB_k-\sum_{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_k=</math><math>=a_nB_n-a_mB_{m-1}-\sum_{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k</math>

что и требовалось доказать.

[[Категория:Дискретные преобразования]]