Просмотр кода страницы Дзета-функция Хассе — Вейля

'''Дзета-функция Хассе-Вейля''' - аналог [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]], который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.

== Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функция ==

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к [[алгебраическое многообразие|алгебраическому многообразию]] <math>V</math> , определенному над [[Поле алгебраических чисел|полем алгебраических чисел]] <math>K</math>, является одним двух наиболее важных типов [[L-функция|L-функций]]. Такие ''L''-функции называются '''глобальными''', поскольку они определяются как [[произведение Эйлера]]  [[локальная дзета-функция|локальных дзета-функций]]. Они образуют один из двух основных классов глобальных ''L''-функций, а другой - ''L''-функции, связанные с [[автоморфные представления|автоморфными представлениями]]. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной ''L''-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое - из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением [[Гипотеза Таниямы — Симуры — Вейля|гипотезы Таниямы-Симуры]], самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в [[теория чисел|теории чисел]].

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью ''до конечного числа множителей его эйлерового произведения'' относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений [[Гельмут Хассе|Хассе]] и [[Андре Вейль|Вейля]], мотивированными случаем, когда <math>V</math> - это единственная точка, а дзета функция Римана.

Взяв случай <math>K=\mathbb{Q}</math> и <math>V</math> - [[собая точка|неособое]] [[проективное многообразие]], мы можем для [[почти все|почти всех]] [[простое число|простых чисел]] <math>p</math> рассмотреть редукцию <math>V</math> по модулю <math>p</math>, то есть алгебраическое многообразие <math>V_p</math> над [[Конечное поле|конечным полем]] <math>\mathbb{F}_p</math>. Для почти всех <math>p</math> <math>V_p</math> будет неособым. Мы определяем <math> Z_{V/\mathbb{Q}}(s) </math>как [[ряд Дирихле]] [[комплексное число|комплексной переменной]] <math>s</math>, который является [[бесконечным произведением]] по всем простым числам локальных дзета-функций <math> \zeta_{V, p} (p^{-s}) </math>. Тогда <math>Z(s)</math>, согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на [[рациональная функция|рациональную функцию]] от в конечного числа аргументов вида <math>p^{-s}</math>.

Так как эта неопределенность относительно безвредна и имеет [[мероморфное продолжение]] всюду, то существует смысл, в котором свойства <math>Z(s)</math> существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма [[функциональное уравнение (L-функция)|функционального уравнения]] для <math>Z(s)</math>, определенно будет зависеть от '''пропущенных''' множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию [[Этальные когомологии|этальных когомологий]]; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в [[Ветвление идеала (математика)| теории ветвления]], простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория ''кондуктора''). Это проявляется в теории эталей в [[критерий Огга-Нерона-Шафаревича]] для [[хорошей редукции]], а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах <math>p</math>, для которых [[представление Галуа]] <math>\rho</math> на этальной когомологии группы  <math>V</math> является ''неразветвленным''. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах [[характеристический многочлен матрицы|характеристического многочлена]] <math> \rho (\operatorname {Frob} (p)), </math> где <math>\operatorname{Frob}(p)</math> - [[Эндоморфизм Фробениуса|эндоморфизм Фробениуса]] для <math>p</math>. Что происходит при разветвленном <math>p</math>, так это то, что <math>\rho</math> нетривиально в [[группа инерции|группе инерции]] <math>I(p)</math>. Для таких простых определение должно быть '''исправлено''', взяв наибольшее частное от представления <math>\rho</math>, на котором группа инерции действует [[тривиальное представление|тривиальным представлением]]. С этим уточнением определение <math>Z(s)</math> может быть успешно модернизировано с '''почти всех''' <math>p</math> до '''всех''' <math>p</math>, участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны [[Серр, Жан-Пьер| Серром]] и [[Делинь, Пьер|Делинем]] в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

== Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чисел ==

Пусть <math>E</math> - [[Эллиптическая кривая| эллиптическая кривая]] над <math>\mathbb{Q}</math> c [[Кондуктор абелева многообразия | кондуктором]] <math>N</math>, а <math>p</math> - произвольное простое число. Тогда <math>E</math> имеет хорошую редукцию при всех <math>p</math>, не делящих <math>N</math>, имеет [[полустабильная эллиптическая кривая | мультипликативную редукцию]] в случае, если <math>p</math> делит <math>N</math>, но <math>p^2</math> не делит <math>N</math>, и имеет [[аддитивную редукцию]] в прочих случаях (т. е. если <math>p^2</math> делит <math>N</math>). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от <math>E</math> принимает вид

: <math> Z_ {E/ \mathbb Q} (s) = \frac {\zeta (s) \zeta (s-1)} {L (s, E)}. \, </math>

Здесь <math>\zeta(s)</math> - обычная дзета-функция Римана, а <math>L(s,E)</math> называется ''L'' - функцией <math>E/\mathbb{Q}</math>, которая имеет вид 

:<math>L(s,E)=\prod\limits_pL_p(s,E)^{-1}\,</math>

где для данного <math>p</math>,

: <math> L_p (s, E) = \begin{cases}
(1-a_pp^{- s} + p^{1-2s}), & \text { если } p \nmid N \\
(1-a_pp^{- s}), & \text { если } p \mid N \text { и } p^2 \nmid N \\
1, & \text { если } p^2 \mid N
\end {cases} </math>

где, в случае хорошего редукции <math>a_p=p+1-\text{число точек в }E\bmod p</math>, а в случае мультипликативной редукции <math>a_p=\pm 1</math> в зависимости от того, разделен ли <math>E</math> или нерасщепленной мультипликативной редукцией в <math>p</math>.

== Гипотеза Хассе-Вейля ==

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна [[аналитическое продолжение|аналитически продолжаться]] на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из [[теорема о модулярности|теоремы модулярности]].

== См. также ==

* [[Арифметическая дзета-функция]]

== Литература ==
* {{книга
|подзаголовок
|заглавие=Введение в эллиптические кривые и модулярные формы
|оригинал=Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
|ссылка=
|автор= Коблиц Н.
|год=2000
|место=Новокузнецк
|издательство=ИО НФМИ
|страницы=99
|страниц=312
|isbn= 5-8032-3325-0
|ref= Коблиц
}}
* {{книга
|подзаголовок
|заглавие=Введение в программу Ленглендса
|оригинал=An Introduction to the Langlands Program
|ссылка=Сб. работ под редакцией Дж.Берштайна и Ст.Гелбарта
|год=2008
|место=Москва, Ижевск
|издательство=НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика"
|страницы=118
|страниц=368
|isbn= 978-5-93972-697-9
|ref=
}}

{{L-функции}}

{{math-stub}}

[[Категория: Алгебраическая геометрия]]
[[Категория: Аналитическая теория чисел]]
[[Категория: Дзета- и L-функции]]