Просмотр кода страницы Дзета-функция Римана

{{перенаправление|Дзета-функция|Дзета-функции}}
{{другие значения термина|Функция Римана}}
[[Файл:Zeta function graph.png|thumb|right|300 px|График дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности.]]
'''Дзе́та-фу́нкция Ри́мана''' — функция <math>\displaystyle \zeta(s)</math> комплексного переменного <math>s = \sigma + i t</math>, при <math>\sigma > 1 </math> определяемая с помощью [[ряд Дирихле|ряда Дирихле]]:

: <math>\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,</math>

: где <math>\displaystyle s \in \mathbb{C}</math>.

В комплексной полуплоскости <math>\left\{ s \in \mathbb{C} \mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\}</math> этот [[Ряд (математика)|ряд]] [[Сходимость ряда|сходится]], является [[аналитическая функция|аналитической функцией]] от <math>s</math> и допускает [[аналитическое продолжение]] на всю [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]], за исключением особой точки <math>s = 1</math>.

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в [[Аналитическая теория чисел|аналитической теории чисел]], имеет приложения в [[Теоретическая физика|теоретической физике]], [[Статистика|статистике]], [[Теория вероятностей|теории вероятностей]].

В частности, если будет доказана или опровергнута [[Задачи тысячелетия|до сих пор]] ни доказанная, ни опровергнутая [[гипотеза Римана]] о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости <math>\operatorname{Re}\, s = 1/2</math>, то многие важные теоремы о [[Простое число|простых числах]], опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

[[Файл:Zeta.svg|thumb|300px|Дзета-функция Римана для вещественных ''s'' > 1.]]

== Тождество Эйлера ==
В области <math>\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\} </math> также верно представление в виде [[Бесконечное произведение|бесконечного произведения]] ('''''тождество Эйлера''''')
: <math>\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}</math> ,
где произведение берётся по всем простым числам <math>\displaystyle p</math>.
{{Hider|
  title = Доказательство |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
[[Файл:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif|frame|right|[[Решето Эратосфена]] для поиска простых чисел используется в этом доказательстве.]]
Идея [[Математическое доказательство|доказательства]] использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] вывел формулу. Есть свойство [[Решето Эратосфена|решета Эратосфена]], из которого мы можем извлечь пользу:

:<math>\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \ldots </math>

:<math>\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+ \ldots </math>

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

:<math>\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \ldots </math>

Повторяем для следующего:

:<math>\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+ \ldots </math>

Опять вычитаем, получаем:

:<math>\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+ \ldots </math>

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

:<math> \ldots \left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 </math>

Поделим обе стороны на всё, кроме <math>\zeta(s)</math>, получим:

:<math> \zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{11^s}\right) \ldots } </math>

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым ''p'':

:<math>\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}</math>

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда <math>  \quad \Re(s)>1 </math>, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости [[Ряд Дирихле|ряда Дирихле]] для <math>\zeta(s)</math>.
}}

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

== Свойства ==
[[Файл:Complex zeta.jpg|thumb|right|300 px|Дзета-функции Римана в комплексной плоскости]]
* Если взять асимптотическое разложение при <math>{N\rightarrow +\infty}</math> частичных сумм вида
*: <math>\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} = \zeta(s) + \frac{1}{1-s}N^{1-s} + \frac{1}{2}N^{-s} - \frac{5}{12}sN^{-1-s} + \dots</math>,
справедливую для <math>{\rm Re}\, s>1</math>, она же останется верной и для всех <math>s</math>, кроме тех, для которых <math>2-s\in {\mathbb N}</math>. Из этого можно получить следующие формулы для <math>\zeta(s)</math>:
# <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>0</math>, кроме <math>s=1</math>;
# <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>-1</math>, кроме <math>s=1</math> или <math>0</math>;
# <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s} + \frac{5}{12}sN^{-1-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>-2</math>, кроме <math>s=1</math>, <math>0</math> или <math>-1</math> и т. д.

* Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
*: <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — [[число Бернулли]].
: В частности, <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\ \  \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\ \ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}</math><br>
* Кроме того, получено значение <math>\zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2}</math>, где <math>\psi</math> — [[полигамма-функция]];
* Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются [[иррациональное число|иррациональными]] и даже [[трансцендентное число|трансцендентными]], но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность [[постоянная Апери|числа ζ(3)]] ([[Апери, Роже|Роже Апери]], 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное<ref>{{статья |автор=Зудилин В. В.|заглавие=Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках |издание=[[УМН]] |год=2001 |том=56 |номер=2(338) |страницы=215–216 |ссылка=http://www.mathnet.ru/rm389}}</ref>.
* При <math>\operatorname{Re}\,s> 1</math>
**<math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \mu(n)</math> — [[функция Мёбиуса]]
** <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \lambda(n)</math> — [[функция Лиувиля]]
** <math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \tau(n)</math> — [[число делителей]] числа <math>\displaystyle n</math>
** <math>\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s}</math>
** <math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \nu(n)</math> — число простых делителей числа <math>\displaystyle n</math>
** <math>\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s}</math>
** <math>\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tau(n))^2}{n^s}</math>
**<math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\nu(n)+1}{n^{s}}</math>
* <math>\displaystyle \zeta(s)</math> имеет в точке <math>\displaystyle s=1</math> простой полюс с [[Вычет (комплексный анализ)|вычетом]], равным 1.
* Дзета-функция при <math>\displaystyle s\ne 0, s\ne 1</math> удовлетворяет уравнению:
*: <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)</math>,
:: где <math>\displaystyle \Gamma(z)</math> — [[гамма-функция Эйлера]]. Это уравнение называется ''функциональным уравнением Римана'', хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал<ref>{{статья |автор=Благушин Я. В.|заглавие=История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве |издание=Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН |год=2018 |ссылка=http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?&presentid=19339&option_lang=rus}}</ref>.
* Для функции
*: <math>\xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)</math>,
: введённой Риманом для исследования <math>\displaystyle \zeta(s)</math> и называемой ''кси-функцией Римана'', это уравнение принимает вид:
:: <math>\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s)</math>.

=== Нули дзета-функции ===
{{main|Гипотеза Римана}}

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости <math>\operatorname{Re}\,s < 0</math> функция <math>\zeta(s)</math> имеет лишь простые [[нуль функции|нули]] в отрицательных чётных точках: <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math>. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, <math>\zeta(s) \neq 0</math> при вещественных <math>s \in (0,1)</math>. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math> и лежат в полосе <math>0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1</math>, которая называется '''критической полосой'''. Согласно [[Гипотеза Римана|гипотезе Римана]], они все находятся на '''критической прямой''' <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math>.

== Обобщения ==
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием [[дзета-функции]] и являются её обобщениями. Например:

* '''[[Дзета-функция Гурвица]]''':
*: <math>\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},</math>
: которая совпадает с дзета-функцией Римана при ''q'' = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

* '''[[Полилогарифм]]''':
*: <math>\mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},</math>
: который совпадает с дзета-функцией Римана при ''z'' = 1.

* '''[[Дзета-функция Лерха]]''':
*: <math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},</math>
: которая совпадает с дзета-функцией Римана при ''z'' = 1 и ''q'' = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

* '''[[Квантовй аналог Дзета-функции|Квантовый аналог]]''' (''q''-аналог).

== Аналогичные конструкции ==
В теории гауссовых [[Интеграл по траекториям|интегралов по траекториям]] возникает задача регуляризации [[Детерминант (математика)|детерминантов]]. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора{{sfn|Тахтаджян|2011|c=348}}. Пусть <math>A</math> — неотрицательно определённый [[самосопряжённый оператор]], имеющий чисто дискретный спектр <math>\mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}</math>. Причём существует [[вещественное число]] <math>\alpha > 0</math>, такое, что оператор <math>(I + A)^{- \alpha}</math> имеет [[След оператора|след]]. Тогда дзета-функция <math>\zeta_A(s)</math> оператора <math>A</math> определяется для произвольного [[комплексные числа|комплексного числа]] <math>s</math>, лежащего в полуплоскости <math>\mathrm{Re} s > \alpha</math>, может быть задана сходящимся рядом
: <math>\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}</math>
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки <math>s = 0</math>, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора <math>A</math> в соответствии с формулой
: <math>\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.</math>

== История ==
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году [[Эйлер, Леонард|Эйлером]], который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась [[Дирихле]] и, особенно успешно, [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёвым]] при изучении закона распределения простых чисел.
Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Римана]] (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Дербишир, Джон.|издательство=Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2
  |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике }}.
* {{книга |автор = {{nobr|Тахтаджян Л. А.}} |заглавие = Квантовая механика для математиков |ответственный = Перевод с английского к. ф.-м. н. {{nobr|С. А. Славнов}} |место = {{М.}}-Ижевск |издание = Изд. 2-е |издательство  = НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований |год = 2011 |страниц = 496 |isbn = 978-5-93972-900-0 |ref = Тахтаджян}}
* {{книга |автор=Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш|издательство=Наука|год=1977|страниц=342|isbn=|заглавие=Специальные функции. Формулы, графики, таблицы}}.

== Ссылки ==
* {{MathWorld|RiemannZetaFunction|Riemann Zeta Function|author=Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein}}

[[Категория:Дзета- и L-функции]]