Просмотр кода страницы Гиперсовершенное число

'''Гиперсовершенное число''' — ''k''-гиперсовершенное число для некоторого целого ''k''. ''k''-гиперсовершенное число — [[натуральное число]] ''n'', для которого верно 

<math>n=1 + k\cdot \left ( \sigma\left ( n \right ) -n-1\right )</math>

где ''σ''(''n'') — это [[функция делителей]] (то есть сумма всех положительных делителей числа). 

Гиперсовершенные числа — обобщение [[Совершенное число|совершенных чисел]], которые являются 1-гиперсовершенными.

Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в [[Энциклопедия целочисленных последовательностей|OEIS]]), с соответствующими значениями ''k'' 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).

== Список гиперсовершенных чисел ==
Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.
{| class="wikitable"
!''k''
!OEIS
!Некоторые известные числа
|-
|1
|{{OEIS2C|A000396}}
|6, 28, 496, 8128, 33550336, …
|-
|2
|{{OEIS2C|A007593}}
|21, 2133, 19521, 176661, 129127041, …
|-
|3
|
|325, …
|-
|4
|
|1950625, 1220640625, …
|-
|6
|{{OEIS2C|A028499}}
|301, 16513, 60110701, 1977225901, …
|-
|10
|
|159841, …
|-
|11
|
|10693, …
|-
|12
|{{OEIS2C|A028500}}
|697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, …
|-
|18
|{{OEIS2C|A028501}}
|1333, 1909, 2469601, 893748277, …
|-
|19
|
|51301, …
|-
|30
|
|3901, 28600321, …
|-
|31
|
|214273, …
|-
|35
|
|306181, …
|-
|40
|
|115788961, …
|-
|48
|
|26977, 9560844577, …
|-
|59
|
|1433701, …
|-
|60
|
|24601, …
|-
|66
|
|296341, …
|-
|75
|
|2924101, …
|-
|78
|
|486877, …
|-
|91
|
|5199013, …
|-
|100
|
|10509080401, …
|-
|108
|
|275833, …
|-
|126
|
|12161963773, …
|-
|132
|
|96361, 130153, 495529, …
|-
|136
|
|156276648817, …
|-
|138
|
|46727970517, 51886178401, …
|-
|140
|
|1118457481, …
|-
|168
|
|250321, …
|-
|174
|
|7744461466717, …
|-
|180
|
|12211188308281, …
|-
|190
|
|1167773821, …
|-
|192
|
|163201, 137008036993, …
|-
|198
|
|1564317613, …
|-
|206
|
|626946794653, 54114833564509, …
|-
|222
|
|348231627849277, …
|-
|228
|
|391854937, 102744892633, 3710434289467, …
|-
|252
|
|389593, 1218260233, …
|-
|276
|
|72315968283289, …
|-
|282
|
|8898807853477, …
|-
|296
|
|444574821937, …
|-
|342
|
|542413, 26199602893, …
|-
|348
|
|66239465233897, …
|-
|350
|
|140460782701, …
|-
|360
|
|23911458481, …
|-
|366
|
|808861, …
|-
|372
|
|2469439417, …
|-
|396
|
|8432772615433, …
|-
|402
|
|8942902453, 813535908179653, …
|-
|408
|
|1238906223697, …
|-
|414
|
|8062678298557, …
|-
|430
|
|124528653669661, …
|-
|438
|
|6287557453, …
|-
|480
|
|1324790832961, …
|-
|522
|
|723378252872773, 106049331638192773, …
|-
|546
|
|211125067071829, …
|-
|570
|
|1345711391461, 5810517340434661, …
|-
|660
|
|13786783637881, …
|-
|672
|
|142718568339485377, …
|-
|684
|
|154643791177, …
|-
|774
|
|8695993590900027, …
|-
|810
|
|5646270598021, …
|-
|814
|
|31571188513, …
|-
|816
|
|31571188513, …
|-
|820
|
|1119337766869561, …
|-
|968
|
|52335185632753, …
|-
|972
|
|289085338292617, …
|-
|978
|
|60246544949557, …
|-
|1050
|
|64169172901, …
|-
|1410
|
|80293806421, …
|-
|2772
|{{OEIS2C|A028502}}
|95295817, 124035913, …
|-
|3918
|
|61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, …
|-
|9222
|
|404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, …
|-
|9828
|
|432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, …
|-
|14280
|
|848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, …
|-
|23730
|
|2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, …
|-
|31752
|{{OEIS2C|A034916}}
|4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, …
|-
|55848
|
|15166641361, 44783952721, 67623550801, …
|-
|67782
|
|18407557741, 18444431149, 34939858669, …
|-
|92568
|
|50611924273, 64781493169, 84213367729, …
|-
|100932
|
|50969246953, 53192980777, 82145123113, …
|}
Можно доказать, что если ''k'' > 1 это [[Нечётное число|нечетное]] [[целое число]], а ''p'' = (3''k'' + 1) / 2 и ''q'' = 3''k'' + 4 — [[Простое число|простые числа]], тогда ''p''²''q'' ''k''-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.

Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что <math>q = p^i -p+1</math> — простое, <math>n=p^{i-1 }\cdot q</math> является k-гиперсовершенным.

В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:
{| class="wikitable"
!''k''
!OEIS
!Значения ''i''
|-
|16
|{{OEIS2C|A034922}}
|11, 21, 127, 149, 469, …
|-
|22
|
|17, 61, 445, …
|-
|28
|
|33, 89, 101, …
|-
|36
|
|67, 95, 341, …
|-
|42
|{{OEIS2C|A034923}}
|4, 6, 42, 64, 65, …
|-
|46
|{{OEIS2C|A034924}}
|5, 11, 13, 53, 115, …
|-
|52
|
|21, 173, …
|-
|58
|
|11, 117, …
|-
|72
|
|21, 49, …
|-
|88
|{{OEIS2C|A034925}}
|9, 41, 51, 109, 483, …
|-
|96
|
|6, 11, 34, …
|-
|100
|{{OEIS2C|A034926}}
|3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …
|}

== Гипердефицитность ==
Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.

'''Определение''' (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как
    δ<sub>k</sub>(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)
Число n называется '''k-гипернедостаточным, если''' δ<sub>k</sub>(n) > 0.

Заметим, что при k = 1 получается δ<sub>1</sub>(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением [[Недостаточные числа|недостаточного числа]].

'''Лемма''': число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δ<sub>k</sub>(n) = 0.

'''Лемма''': число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δ<sub>k-j</sub>(n) = -δ<sub>k + j</sub>(n) для хотя бы одного j>0.

== Ссылки ==
{{примечания}}
* {{cite book|editor1-last=Sándor|editor1-first=József|editor2-last=Mitrinović|editor2-first=Dragoslav S.|editor3-last=Crstici|editor3-first=Borislav|title=Handbook of number theory I|location=Dordrecht|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=2006|isbn=1-4020-4215-9|zbl=1151.11300|page=114}}

== Дальнейшее чтение ==

=== Статьи ===
* {{citation|last1=Minoli|first1=Daniel|first2=Robert|last2=Bear|title=Hyperperfect numbers|journal=Pi Mu Epsilon Journal|volume=6|number=3|date=Fall 1975|pages=153–157}}.
* {{citation|last1=Minoli|first1=Daniel|title=Sufficient forms for generalized perfect numbers|journal=Annales de la Faculté des Sciences [[University of Kinshasa|UNAZA]]|volume=4|number=2|date=Dec 1978|pages=277–302}}.
* {{citation|last1=Minoli|first1=Daniel|title=Structural issues for hyperperfect numbers|journal=Fibonacci Quarterly|date=Feb 1981|volume=19|number=1|pages=6–14}}.
* {{citation|last1=Minoli|first1=Daniel|title=Issues in non-linear hyperperfect numbers|journal=Mathematics of Computation|volume=34|number=150|date=April 1980|pages=639–645|doi=10.2307/2006107}}.
* {{citation|last1=Minoli|first1=Daniel|title=New results for hyperperfect numbers|journal=Abstracts of the American Mathematical Society|date=October 1980|volume=1|number=6|pages=561}}.
* {{citation|last1=Minoli|first1=Daniel|first2=W.|last2=Nakamine|title=Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms|journal=[[International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing]]|year=1980}}.
* {{citation|first=Judson S.|last=McCranie|title=A study of hyperperfect numbers|journal=Journal of Integer Sequences|volume=3|year=2000|url=http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html|archivedate=2004-04-05|df=|access-date=2017-07-29}} {{Wayback|url=http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html |date=20040405175234 }}.
* {{citation|title=Hyperperfect numbers with three different prime factors|first=Herman J.J.|last=te Riele|authorlink=Herman te Riele|journal=Math. Comp.|volume=36|year=1981|pages=297–298|mr=595066|zbl=0452.10005|doi=10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9}}.
* {{citation|last=te Riele|first=Herman J.J.|authorlink=Herman te Riele|title=Rules for constructing hyperperfect numbers|zbl=0531.10005|journal=Fibonacci Q.|volume=22|pages=50–60|year=1984}}.

=== Книги ===
* Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, {{ISBN|0-07-140615-8}} (p. 114—134)

== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/HyperperfectNumber.html MathWorld: Hyperperfect number]
* [https://web.archive.org/web/20081205065046/http://j.mccranie.home.comcast.net/ A long list of hyperperfect numbers under Data]

{{Классы натуральных чисел}}

[[Категория:Целочисленные последовательности]]