Просмотр кода страницы Геометрия Лобачевского

[[Файл:Euclidian and non euclidian geometry.png|thumb|300px|right|(1) евклидова геометрия;<br>(2) [[геометрия Римана]];<br>(3) геометрия Лобачевского]]
'''Геометрия [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевского]]''' (или '''гиперболическая геометрия''') — одна из [[Неевклидова геометрия|неевклидовых геометрий]], геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная [[евклидова геометрия]], за исключением [[аксиома о параллельных|аксиомы о параллельных прямых]], которая заменяется её [[отрицание]]м.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом:
{{начало цитаты}}
На [[Плоскость (математика)|плоскости]] через [[Точка (геометрия)|точку]], не лежащую на данной [[Прямая|прямой]], можно провести одну и только одну прямую, [[Параллельные прямые|параллельную]] данной.
{{конец цитаты}}

В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома:
{{начало цитаты}}
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
{{конец цитаты}}

Аксиома Лобачевского является точным отрицанием аксиомы Евклида (при выполнении всех остальных аксиом), так как случай, когда через точку, не лежащую на данной прямой, не проходят ни одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её, исключается в силу остальных аксиом (аксиомы [[абсолютная геометрия|абсолютной геометрии]]).
Так, например, [[сферическая геометрия]] и [[геометрия Римана]], в которых любые две прямые пересекаются, и следовательно, не выполнена ни аксиома о параллельных Евклида, ни аксиома Лобачевского, не
совместимы с абсолютной геометрией.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике.
Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевский]] показал возможность геометрии, отличной от [[евклидова геометрия|евклидовой]], что знаменовало новую эпоху в развитии [[Геометрия|геометрии]], математики и науки вообще.

== История ==

=== Попытки доказательства пятого постулата ===
Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил [[Пятый постулат Евклида|V постулат Евклида]] — аксиома, эквивалентная аксиоме о [[Параллельные прямые|параллельных]].
Он входил в список постулатов в [[Начала Евклида|«Началах» Евклида]].
Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.

Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные.
* Древнегреческие математики [[Птолемей]] ([[II век|II в.]]) и [[Прокл Диадох|Прокл]] ([[V век|V в.]]) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными).
* [[Ибн аль-Хайсам]] из Ирака (конец [[X век|X]] — начало [[XI век|XI]] вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию).
* Иранские математики [[Омар Хайям]] (2-я половина [[XI век|XI]] — начало [[XII век|XII]] вв.) и [[ат-Туси, Насир ад-Дин|Насир ад-Дин ат-Туси]] ([[XIII век|XIII в.]]) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения).
* Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в [[Прованс]]е (Франция) [[Бен Гершом, Леви|Герсонид]] (он же Леви бен Гершом, [[XIV век]]). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании [[прямоугольник]]а<ref>{{книга|автор = Розенфельд Б.&nbsp;А.||заглавие = Доказательства пятого постулата Евклида средневековых математиков Хасана ибн ал-Хайсама и Льва Герсонида |место = М.|издательство = ИМИ|год = 1958|том = XI|страницы = 733—742 }}</ref>.
* Немецкий математик [[Клавиус, Христофор|Клавиус]] (1574)<ref>''Clavius C.'' Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.</ref>.
* Итальянские математики
** [[Катальди, Пьетро Антонио|Катальди]] (впервые в [[1603 год]]у напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных).
** [[Борелли, Джованни Альфонсо|Борелли]] (1658)<ref>''Borelli G. A.'' Euclidus Restitutus. — Pisa, 1658.</ref>.
* Английский математик [[Валлис, Джон|Валлис]] (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).
* Французский математик [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).
При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили (явно или неявно) некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.

Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:
* итальянский математик [[Саккери, Джироламо|Саккери]] ([[1733]]) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),
* немецкий математик [[Иоганн Генрих Ламберт|Ламберт]] (около [[1766]], опубликовано в [[1786]]) ([[Четырёхугольник Ламберта|проведя исследования]], он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).

Наконец, стало возникать понимание того, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:
* немецкие математики [[Швейкарт, Фердинанд Карл|Швейкарт]] ([[1818]]) и [[Тауринус, Франц-Адольф|Тауринус]] ([[1825]]).

=== Создание неевклидовой геометрии ===
Лобачевский в работе «О началах геометрии» ([[1829]]), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова.

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл [[Бойяи, Янош|Янош Бойяи]], а [[Гаусс, Карл Фридрих|Карл Фридрих Гаусс]] пришёл к таким выводам ещё раньше.
Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям<ref><cite>
Обычно говорят, что он боялся быть непонятым.
Действительно, в одном письме, где затрагивается вопрос о [[Аксиома параллельности Евклида|пятом постулате]] и неевклидовой геометрии, Гаусс пишет: «бойтесь крика [[Беотия|беотийцев]]» <…>
Возможно, однако, другое объяснение молчания Гаусса: он один из немногих понимал, что, как бы много интересных теорем неевклидовой геометрии ни было выведено, это еще ничего не доказывает — всегда теоретически остается возможность, что в качестве дальнейших следствий будет получено противоречивое утверждение.
А может быть, Гаусс понимал (или чувствовал), что в то время (первая половина XIX в.) еще не найдены математические понятия, позволяющие точно поставить и решить этот вопрос.</cite> // [[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл.&nbsp;XII, пар.&nbsp;2, — Физматлит, Москва, 2009.</ref>.
Например, в письме [[1846 год]]а астроному [[Шумахер, Генрих Христиан|Г. Х. Шумахеру]] Гаусс так отозвался о работе Лобачевского:

<blockquote>
Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет её «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с [[1792]] г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.<ref>Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956, С.119—120.</ref>
</blockquote>

В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии.
Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений.
Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели).

=== Утверждение геометрии Лобачевского ===
Лобачевский умер в [[1856 год]]у.
Спустя несколько лет была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам Лобачевского.
Появляются переводы их на французский и итальянский языки, комментарии видных геометров.
Публикуется и труд [[Бойяи, Янош|Бойяи]].

В [[1868 год]]у выходит статья [[Бельтрами, Эудженио|Бельтрами]] об интерпретациях геометрии Лобачевского.
Бельтрами определил метрику плоскости Лобачевского и доказал, что она имеет всюду постоянную отрицательную кривизну.<ref>Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.</ref>
Такая поверхность тогда уже была известна — это [[псевдосфера]] [[Миндинг]]а.
Бельтрами сделал вывод, что локально плоскость Лобачевского изометрична участку псевдосферы (см. ниже).
В этой же статье, Бельтрами также приводит две модели, которые теперь называются [[модель Клейна]] и [[модель Пуанкаре]].

В этих работах Бельтрами дал прозрачное геометрическое доказательство непротиворечивости новой геометрии, точнее того что геометрия Лобачевского противоречива тогда и только тогда когда противоречива геометрия Евклида.
Лобачевский также располагал таким доказательством, но оно было сложнее, в одну сторону модель Евклидовой плоскости в геометрии Лобачевского, оно строилось с помощью модели как и у Бельтрами,<ref>Lobachevsky, N. I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie
der Parallellinien. Berlin: F. Fincke, 1840; 30</ref>
в другую сторону шло аналитически.

[[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]] посвящает геометрии Лобачевского специальный семинар в [[Берлинский университет имени Гумбольдта|Берлинском университете]] ([[1870]]).
[[Казанское физико-математическое общество]] организует издание полного собрания сочинений Лобачевского, а в [[1893 год]]у столетие русского математика отмечается в международном масштабе.

== Модели ==
Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.

Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель.
Он также заметил, что [[орисфера]] в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель.
Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Бельтрами и других.

=== Псевдосфера ===
[[Файл:PseudoSphere.svg|thumb|200px|right|Псевдосфера]]
Итальянский математик [[Бельтрами, Эудженио|Э. Бельтрами]] в [[1868 год]]у заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет [[псевдосфера]].
Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии ([[геодезическая|геодезические]]) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере.
При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.

Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

=== Проективная модель ===
{{Основная статья|Проективная модель}}
[[Файл:Klein model.svg|thumb|250px|right|Через точку ''Р'' проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» ''а'']]
Mодель плоскости Лобачевского, впервые предложенная Бельтрами.

Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга.
«Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды.
Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями.
Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского.
Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах.
Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку <math>P</math>, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, <math>b</math>, <math>b'</math>).

В этой модели расстояние между точками <math>A</math> и <math>B</math> на хорде <math>NM</math> определяется через [[двойное отношение]]
: <math>\ln\left(\frac{AN}{AM}\frac{BM}{BN}\right)</math>

Во внешней абсолюта, реализуется геометрия [[Пространство анти-де Ситтера|пространства анти-де Ситтера]].

=== Конформно-евклидова модель, модель Пуанкаре ===
{{Основная статья|Конформно-евклидова модель}}
[[Файл:Poincare model.svg|thumb|250px|right|[[Конформно-евклидова модель]]]]

Другая модель плоскости Лобачевского, предложенная Бельтрами.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями [[Инверсия (геометрия)|инверсий]] относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

=== Модель на гиперболоиде в пространстве Минковского ===
В пространстве сигнатуры (+ + -) рассмотрим двуполостный гиперболоид <math>x^2 + y^2  - t^2 = -1</math>. Выберем верхнюю из полостей t>0. Это модель плоскость Лобачевского, её «прямые» — это сечения гиперболоида плоскостями, проходящими через начало координат.

Эта модель тесно связана с моделью Кэли-Клейна и моделью Пуанкаре.

См. также [[:en:Hyperbolic geometry#The hyperboloid model|The hyperboloid model]].

{{TODO}}

=== Поверхность постоянной отрицательной кривизны ===
Другое аналитическое определение геометрии Лобачевского состоит в том, что геометрия Лобачевского определяется как [[Риманова геометрия|геометрия риманова пространства]] постоянной отрицательной кривизны.
Это определение было фактически дано ещё в [[1854 год]]у [[Риман, Бернхард|Риманом]] и включало модель геометрии Лобачевского как геометрии на поверхностях постоянной кривизны.
Однако Риман не связал прямо своих построений с геометрией Лобачевского, а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в [[1868 год]]у).

Примером такой поверхности является [[Псевдоевклидово пространство#Окружности и сферы|сфера мнимого радиуса]]
: <math>(\vec{x}, \vec{x} ) = -1</math>,
: <math>x^2 + y^2  - z^2 = -1</math>
в [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]]. См. раздел [[Геометрия Лобачевского#Модель на гиперболоиде|Модель на гиперболоиде]].

== Содержание геометрии Лобачевского ==
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида.
Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.
Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий;
они образуют так называемую [[абсолютная геометрия|абсолютную геометрию]], к которой относятся, например, признаки равенства треугольников.
Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала [[Аналитическая геометрия|аналитической]] и [[Дифференциальная геометрия|дифференциальной]] геометрии.

[[Файл:Hyperbolic.svg|thumb|<center>Угол параллельности</center>]]
Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

Через точку ''P'', не лежащую на данной прямой ''R'' (см. рисунок), проходит бесконечно много прямых, не пересекающих ''R'' и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние ''x'', ''y'', которые и называются ''асимптотически параллельными'' (иногда просто параллельными) прямой ''R'', а остальные — ''ультрапараллельными''.

Угол <math>\theta</math> между перпендикуляром ''PB'' из ''P'' на ''R'' и каждой из асимптотически параллельных (называемый ''углом параллельности'') по мере удаления точки ''P'' от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно).
Параллель ''x'' с одной стороны (а ''y'' с противоположной) асимптотически приближается к ''а'', а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии ''PB = a'' (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для [[угол параллельности|угла параллельности]] ''П(a)''<ref>''Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.)'' Математика XIX века. М.: Наука, том II, с. 62.</ref>:
: <math>\theta = \Pi(a) = 2 \operatorname{arctg}~e^{-\frac{a}{q}}</math>
Здесь ''q'' — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.
Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они ультрапараллельны, то есть бесконечно расходятся в обе стороны от него.
К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

Сумма углов всякого треугольника меньше <math>\pi</math> и может быть сколь угодно близкой к нулю (разница между 180° и суммой углов треугольника ABC в геометрии Лобачевского положительна — её называют дефектом этого треугольника).
Это непосредственно видно на модели Пуанкаре.
Разность <math>\delta = \pi-(\alpha + \beta + \gamma)</math>, где <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> — углы треугольника, пропорциональна его площади:
: <math>S = q^2 \cdot \delta</math>
Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: <math> \pi q^2 </math>.

Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая [[эквидистанта|эквидистантой]], или ''гиперциклом''.

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая ''предельной окружностью'', или [[орицикл]]ом.

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или [[орисфера]]; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия.
Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее.
В частности, в геометрии Лобачевского число <math>\pi</math> не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии.
Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия.
Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от <math>\pi</math>; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от <math>2\pi</math>, и т. п.
Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии.
Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.

=== Заполнение плоскости и пространства правильными политопами ===
{{Основная статья|Список правильных многомерных многогранников и соединений}}
[[Файл:Uniform tiling 73-t2.png|thumb|right|200px|Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками ({3;7})]]
Плоскость Лобачевского может быть замощена не только правильными [[Равносторонний треугольник|треугольниками]], [[квадрат]]ами и [[Правильный шестиугольник|шестиугольниками]], но и любыми другими [[Правильный многоугольник|правильными многоугольниками]].
При этом в одной вершине паркета должно сходиться не менее 7 треугольников, 5 квадратов, 4 пяти- или шестиугольников, или 3 многоугольников с числом сторон более 6.
То есть число различных замощений бесконечно и с помощью [[символ Шлефли|символа Шлефли]] <math>\left\{ N,M \right\}</math> (в одной вершине сходится ''M'' штук ''N''-угольников) все замощения плоскости Лобачевского можно записать так:
* {3, 7}, {3, 8}, …, то есть {3, ''M''}, где ''M''≥7;
* {4, 5}, {4, 6}, …, то есть {4, ''M''}, где ''M''≥5;
* {5, 4}, {5, 5}, …, то есть {5, ''M''}, где ''M''≥4;
* {6, 4}, {6, 5}, …, то есть {6, ''M''}, где ''M''≥4;
* {N, M}, где ''N''≥7, ''M''≥3.
Каждое замощение <math>\left\{ N,M \right\}</math> требует строго определённого размера единичного ''N''-угольника, в частности, его площадь должна равняться:
: <math>S_{ \left\{ N;M \right\} } = q^2 \pi \left( N - 2 - 2\frac{N}{M} \right)</math>

[[Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|thumb|right|200px|Заполнение пространства Лобачевского правильными прямоугольными додекаэдрами ({5,3,4})]]
В отличие от обычного пространства (трёхмерного евклидова пространства), которое можно заполнить правильными многогранниками только одним способом (по 8 [[куб]]ов в вершине, или по четыре в ребре {4,3,4}), [[Список правильных многомерных многогранников и соединений#Замощения гиперболического трёхмерного пространства|трёхмерное пространство Лобачевского можно замостить правильными многогранниками]], как и на плоскости, бесконечным количеством способов.
С помощью [[символ Шлефли|символа Шлефли]] <math>\left\{ N, M, P\right\}</math> (в одной вершине сходится ''M'' штук ''N''-угольников, а в каждом ребре сходится по ''P'' многогранников) все замощения можно записать так:{{нет АИ|14|12|2014}}
* {3,3,6}, {3,3,7}, …, то есть {3,3,''P''}, где ''P''≥6;
* {4,3,5}, {4,3,6}, …, то есть {4,3,''P''}, где ''P''≥5;
* {3,4,4}, {3,4,5}, …, то есть {3,4,''P''}, где ''P''≥4;
* {5,3,4}, {5,3,5}, …. То есть {5,3,''P''}, где ''P''≥4;
* {3,5,3}, {3,5,4}, …, то есть {3,5,''P''}, где ''P''≥3.
Многогранники таких разбиений могут иметь бесконечный объём, за исключением конечного числа разбиений пространства на правильные многогранники с конечным объёмом:
* {3,5,3} (по три икосаэдра в ребре)
* {4,3,5} (по пять кубов в ребре)
* {5,3,4} (по четыре додекаэдра в ребре)
* {5,3,5} (по пять додекаэдров в ребре)
Кроме этого, существует 11 способов заполнить пространство Лобачевского правильными мозаичными орисферами ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, {4,4,3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,6,3}).{{нет АИ|14|12|2014}}

== Приложения ==
* Лобачевский был уверен, что наше реальное пространство евклидово. В противном случае [[годичный параллакс]] любой звезды был бы больше некоторой величины, зависящей только от кривизны пространства. Используя вычисленные в то время параллаксы некоторых звёзд (которые оказались сильно неточными), Лобачевский оценил, что сумма углов треугольника со сторонами примерно равными [[Астрономическая единица|радиусу земной орбиты]] отличается от 180° не более чем на  0,00037″ (впоследствии [[Котельников, Александр Петрович|А. П. Котельников]] показал, что в этом месте у Лобачевского была ошибка на два порядка или опечатка: его данные показывают, что это разница не может быть более 0,0000037″). Согласно Лобачевскому, эти расчёты показывают, что евклидова геометрия достаточно точно описывает физическое пространство<ref>{{Статья |автор=Larisa I. Brylevskaya |заглавие=Lobachevsky's Geometry and Research of Geometry of the Universe |ссылка=https://www.semanticscholar.org/paper/Lobachevsky%27s-Geometry-and-Research-of-Geometry-of-Brylevskaya/351c58ec60d7597f4a300f51015fd8c9883a6b24 |язык=en |издание=Publications of the Astronomical Observatory of Belgrade |год=2008 |номер=85 |страницы=129-134}}</ref>.  
* Сам Лобачевский применял свою теорию к вычислению определённых [[Интегральное исчисление|интегралов]], интерпретируя их как выражения для длины, площади или объёма фигур в его геометрии.<ref>{{книга|автор=Каган В. Ф.|заглавие=Лобачевский|место=М.-Л.|издательство=Изд-во Академии наук СССР|год=1948|страницы=238-242}}</ref>
* В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию [[Автоморфная функция|автоморфных функций]]. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]], который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».<ref name="БСЭ">{{БСЭ3|Лобачевского геометрия}}</ref><ref>{{статья|автор=C. S. Yogananda.|заглавие=Poincaré and the theory of automorphic functions|ссылка=http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/05/02/0026-0031.pdf|издание=Resonance|год=2000|том=5|выпуск=2|страницы=26-31}}</ref>
* Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой [[специальная теория относительности|специальной (частной) теории относительности]]. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
:: <math>x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2</math>
: при делении на <math>t^2</math>, то есть для скорости света, даёт
:: <math>v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = c^2</math>
: — уравнение сферы в пространстве с координатами <math>v_x</math>, <math>v_y</math>, <math>v_z</math> — составляющими скорости по осям ''х'', ''у'', ''z'' (в «пространстве скоростей»). [[Преобразования Лоренца]] сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса ''с'', то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.<ref name="БСЭ" />
* При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство [[теорема о бабочке|теоремы о бабочке]] в евклидовой геометрии.{{нет АИ|19|06|2014}}

== Интересные факты ==
Широко распространено заблуждение (отражённое, в частности, в нематематической литературе и фольклоре), что в геометрии Лобачевского «параллельные прямые пересекаются»<ref>[http://elementy.ru/lib/430915 Параллельные прямые — в мифологии, реальности и математике] ''[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]]'' Апология математики, глава 8.</ref>
<ref><cite>Открытие геометрии Лобачевского оказало большое влияние на развитие математики и на осмысление взаимоотношения математики и внешнего мира.
Обсуждения, возникшие в результате этого, видимо, повлияли и на взгляды многих гуманитариев.
К сожалению, здесь они скорее закрепились в виде художественного образа: противопоставление «земной» — евклидовой геометрии и выдуманной учеными-математиками «заумной» — неевклидовой.
Причем разница между этими двумя геометриями состоит будто бы в том, что в первой, всем понятной, параллельные линии не пересекаются, а во второй, обычному уму трудно постижимой, они пересекаются. </cite> // [[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл.&nbsp;XII, стр.&nbsp;426, — Физматлит, Москва, 2009.</ref>.
Это не соответствует действительности.
Во-первых, параллельные прямые не могут пересекаться (ни в одной геометрии) по определению [[Параллельность|параллельности]].
Во-вторых, в геометрии Лобачевского как раз можно провести через точку, не лежащую на данной прямой, бесконечно много прямых, не пересекающихся с ней.

== См. также ==
{{Кол|3}}
* [[Геометрия Римана]]
* [[Орисфера]]
* [[Орицикл]]
* [[Пространство Минковского]]
* [[Пятый постулат]]
* [[Сферическая геометрия]]
{{Конец кол}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==

=== Труды основоположников ===
* {{книга |автор=Н. И. Лобачевский |заглавие=«Геометрические исследования по теории параллельных линий» |год=1941 |ссылка=http://imwerden.de/cat/modules.php?name=books&pa=showbook&pid=1681}}
* Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956.

=== Современная литература ===
* ''Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю.'' Геометрия, — Наука, Москва, 1990.
* ''Александров П. С.'' Что такое неэвклидова геометрия, — УРСС, Москва, 2007.
* ''Делоне Б. Н.'' Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, — Гостехиздат, Москва, 1956.
* {{книга |автор=Иовлев Н. Н. |заглавие=Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского
  |издательство=Гиз. |место=М.-Л. |год=1930 |страницы=67 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/iovlev.htm}}
* {{книга |автор=Кадомцев С. Б. |заглавие= Геометрия Лобачевского и физика |издание=Изд. 3-е
  |издательство=Книжный дом «ЛИБРОКОМ» |место=М. |год=2009 |страниц=72 }}
* {{статья |автор=Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Попов А. Г. |заглавие=«Геометрия Лобачевского: открытие и путь в современность» |издание=[[Природа (журнал)|Природа]] |номер=7 |год=1993 |страницы=19—27}}
* [http://www.mathnet.ru/links/3d7cdfa7ab702e21ded11b7891fd3042/intg135.pdf ''С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Д. Д. Соколов''. Некоторые вопросы геометрии Лобачевского, связанные с физикой]. — Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 13, ВИНИТИ, М., 1982, 157—188.
* {{книга |автор=Клейн Ф. |заглавие=«Неевклидова геометрия» |издательство=ОНТИ |место=М.-Л. |год=1936 |страницы=356 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neeuclid.htm}}
* {{статья |автор=Попов А. Г. |заглавие=Псевдосферические поверхности |издание=[[Соросовский образовательный журнал]]  |издательство=ISSEP |год=2004 |том=8 |номер=2 |страницы=119-127 |ссылка=http://window.edu.ru/window/catalog?p_rid=20725}}
* [http://www.studfiles.ru/preview/3068587/ ''А. Г. Попов''. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики].
* {{статья |автор=Розенфельд Б. А. |заглавие=Интерпретации геометрии Лобачевского
| издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=9 |издательство=ГИТТЛ
| место=М. |год=1956 |страницы=169-208 }}
* {{статья |автор=Смогоржевский А. С. |заглавие=«О геометрии Лобачевского» |издание=[[Популярные лекции по математике]] |том=23 |издательство=Гостехиздат |год=1958 |страницы=68 |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/plm/v23.djvu}}
* ''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://prepod.nspu.ru/file.php/115/Osnovanija_geometrii/geom_Lobachevskii.pdf Геометрия Лобачевского]{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}

[[Категория:Геометрия Лобачевского]]
[[Категория:Основания геометрии]]