Просмотр кода страницы Гауссова функция

{{о|гауссовой функции в общей форме|её частном случае — функции плотности нормального распределения, также называемой гауссовой —|Нормальное распределение}}
'''Гауссова функция''' (''гауссиан'', ''гауссиана'', ''функция Гаусса'') — [[вещественная функция]], описываемая следующей формулой:
: <math>g\left(x\right) = a e^{ -\frac{(x-b)^2}{2c^2} }</math>,
где параметры <math>a, b, c</math> — произвольные вещественные числа. Введена [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссом]] в [[1809 год в науке|1809 году]] как функция плотности [[Нормальное распределение|нормального распределения]], и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через [[среднеквадратичное отклонение]] <math>\sigma</math> и [[математическое ожидание]] <math>\mu</math>:
: <math>a = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>, <math>b = \mu</math>, <math>c = \sigma </math>,
[[Файл:Normal distribution pdf.png|мини|Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания <math>\mu</math> и среднеквадратичного отклонения <math>\sigma</math>]]
График гауссовой функции при <math>a>0</math> и <math>c \neq 0</math> — [[колокол]]ообразная кривая, параметр <math>a</math> определяет максимальную высоту графика — пик колокола, <math>b</math> отвечает от сдвига пика от нуля (при <math>b=0</math> — пик в нуле), а <math>c</math> влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции{{Переход|#Многомерные обобщения}}. Кроме применений в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]], [[Статистика|статистике]] и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение{{Переход|#Применения}} в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

== Свойства ==
Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из [[Экспоненциальная функция|экспоненциальной функции]] и [[Вогнутая функция|вогнутой]] [[Квадратичная функция|квадратичной функции]], [[логарифм]] гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр <math>c</math> связан с [[Полуширина|полушириной]] колокола графика следующим образом:
: <math>w = 2 \sqrt{2 \ln 2}\ c \approx 2{,}35482 \cdot c</math>.

Гауссова функция может быть выражена через полуширину <math>w</math> колокола графика следующим образом:
: <math>g(x) = a e^{- \frac{4 \ln (2) (x-b)^2 }{ w^2} }</math>.

[[Точка перегиба|Перегибы]] <math>g(x)</math> — две точки, в которых <math>x = b \pm c</math>.

Гауссова функция [[Аналитическая функция|аналитична]], в пределе к обеим [[Бесконечность|бесконечностям]] стремится к нулю:
: <math>\lim_{x\to\pm\infty}g(x) = 0</math>.

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является [[Элементарная функция|элементарной]], однако её [[первообразная]] неэлементарна;
интеграл гауссовой функции:
: <math>\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>
— это (с точностью до постоянного множителя) — [[функция ошибок]], являющаяся [[Спецфункции|спецфункцией]].
При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — [[постоянная|константа]]{{Sfn|Кампос|2014|p=1—2}}:
: <math>\int_{-\infty}^\infty a e^{- { (x-b)^2 \over 2 c^2 } }\,dx=ac\cdot\sqrt{2\pi}</math>.

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:
: <math>a = \frac{1}{c\sqrt{2\pi}}</math>,
и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения [[Случайная переменная|случайной переменной]] с математическим ожиданием <math>\mu = b</math> и [[Дисперсия случайной величины|дисперсией]] <math>\sigma^2 = c^2</math>.

[[Произведение (математика)|Произведение]] гауссиан — гауссова функция; [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]] двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр <math>c</math> свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: <math>c^2 = c_1^2 + c_2^2</math>. Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

== Многомерные обобщения ==
[[Файл:Gaussian 2d.svg|мини|Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
<br> <math>A = 1</math>,
<br> <math>(x_0, y_0) = (0, 0)</math>,
<br> <math>a = c = 1/2</math>,
<br> <math>b = 0</math>]]
Пример двумерного варианта гауссовой функции:
: <math>g(x,y) = A \cdot e^{\left(- \left(\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma_x^2} + \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma_y^2} \right)\right)}</math>,

здесь <math>A</math> задаёт высоту колокола, <math>(x_0, y_0)</math> определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а <math>(\sigma_x, \sigma_y)</math> отвечают за размах колокола. [[Объём]] под такой поверхностью:
: <math>V = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)\,dx \,dy=2 \pi A \sigma_x \sigma_y</math>
В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:
: <math>g(x,y) = A \exp\left(- \left(a(x - x_0)^2 + 2b(x-x_0)(y-y_0) + c(y-y_0)^2 \right)\right)</math>,
где матрица:
: <math>\left[\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}\right] </math>

[[Положительно определённая матрица|положительно определена]].

Вариант гауссовой функции в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве:
: <math>g(x) = \exp(-x^TAx)</math>,
где <math>x= (x_1,\dots,x_n)</math> — вектор-столбец из <math>n</math> компонентов, <math>A</math> — [[положительно определённая матрица]] размера <math>n\times n</math>, и <math>x^T</math> — операция [[Транспонированная матрица|транспонирования]] над <math>x</math>.

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством <math>\R^n</math>:
: <math> \int_{\R^n} \exp(-x^TAx) \, dx = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}</math>.

Возможно определить <math>n</math>-мерный вариант и со сдвигом:
: <math>g(x) = \exp(-x^TAx+s^Tx)</math>,
где <math>s= (s_1,\dots,s_n)</math> — вектор сдвига, а матрица <math>A</math> — симметричная (<math>A^T=A</math>) и положительно определённая.

== Супергауссова функция ==
'''''Супергауссова функция''''' — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень <math>P</math>:
: <math>sg(x) = A \exp\left(-\left(\frac{(x-x_o)^2}{2\sigma_x^2}\right)^P\right)</math>,
получившая применение для описания свойств [[Гауссов пучок|гауссовых пучков]]<ref>{{статья | автор = A. Parent, M. Morin, P. Lavigne | заглавие = Propagation of super-Gaussian field distributions | издание = Optical and quantum electronics | vol = 24 | номер = 9 | год = 1992 | pages= S1071—S1079}}</ref>. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам <math>P_x</math> и <math>P_y</math><ref>{{Cite web|url=http://www.aor.com/anonymous/pub/commands.pdf|title=GLAD optical software commands manual, Entry on GAUSSIAN command|last=|first=|date=2016-12-15|website=Applied Optics Research|publisher=|access-date=}}</ref>:
: <math>sg(x,y) = A \exp\left(- \left(\frac{(x-x_o)^2}{2\sigma_x^2}\right)^{P_x} - \left(\frac{(y-y_o)^2}{2\sigma_y^2} \right)^{P_y}\right)</math>.

== Применения ==
Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и [[Многомерное нормальное распределение|многомерного нормального распределения]]. Самостоятельное значение функция имеет для ряда [[Уравнения математической физики|уравнений математической физики]], в частности, гауссианы являются [[Функция Грина|функциями Грина]] для [[Уравнение диффузии|уравнения гомогенной и изотропной диффузии]] (соответственно, и для [[Уравнение теплопроводности|уравнения теплопроводности]]), и {{iw|преобразование Вейерштрасса||en|Weierstrass transform}} — операция свёртки [[Обобщённая функция|обобщённой функции]], выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является [[Волновая функция|волновой функцией]] {{iw|основное состояние|основного состояния|en|ground state}} [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]].

В [[Вычислительная химия|вычислительной химии]] для определения [[Молекулярная орбиталь|молекулярных орбиталей]] используются так называемые {{iw|гауссова орбиталь|гауссовы орбитали|en|Gaussian orbital}} — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как {{iw|дискретное гауссово ядро||en|discrete Gaussian kernel}}) используются в [[Цифровая обработка сигналов|цифровой обработке сигналов]], [[Обработка изображений|обработке изображений]], синтезе звука<ref>{{Книга | автор = C. R. Popa | ссылка = https://books.google.com/books?id=1o-4BAAAQBAJ&pg=PA59&dq=gaussian+function | заглавие = Current-mode Analog Nonlinear Function Synthesizer Structures | издательство = Springer Switzerland | год = 2013 | страницы = 59 | страниц = 198 | isbn = 983-3-319-01035-9}}</ref>; в частности, через гауссианы определяются [[гауссов фильтр]] и {{iw|гауссово размытие||en|gaussian blur}}. В определении отдельных видов [[Искусственная нейронная сеть|искусственных нейронных сетей]] также участвуют гауссовы функции.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = L. M. B. C. Campos | заглавие = Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces | часть = 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions | место = Boca Raton | издательство = CRC Press | год = 2014 | страниц = 823 | isbn = 978-1-4200-7115-3 | ref = Кампос}}

== Ссылки ==
* {{mathworld|title=Gaussian Fuinction|urlname=GaussianFunction}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath045/kmath045.htm Integrating The Bell Curve] / MathPages{{ref-en}}

[[Категория:Элементарные функции]]