Просмотр кода страницы Вселенная Фридмана

{{Космология}}
'''Вселе́нная Фри́дмана''' ('''метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера''') — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена [[Фридман, Александр Александрович|Александром Фридманом]] в [[1922]]. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае ''нестационарную'' Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.

== История открытия ==
Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922<ref name="a">Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes (О кривизне пространства), Z. Phys. 10 (1922) 377—386.</ref> и [[1924]] (для Вселенной с отрицательной кривизной)<ref name="b">Friedmann, A: Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes (О возможности Вселенной с постоянной отрицательной кривизной пространства), Z. Phys. 21 (1924) 326—332.</ref>. Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейном]] (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения ОТО так называемый [[космологическая постоянная|лямбда-член]]), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в [[1925]]) остались вначале незамеченными.

Нестационарность Вселенной была подтверждена открытием зависимости [[космологическое красное смещение|красного смещения]] галактик от расстояния ([[Эдвин Хаббл]], [[1929]]). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали [[Леметр, Жорж|Леметр]] (1927), [[Робертсон, Говард Перси|Робертсон]] и [[Уокер, Артур Джеффри|Уокер]] (1935), поэтому решение [[Уравнения Эйнштейна|полевых уравнений Эйнштейна]], описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.

Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.

В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и [[Динамическая метеорология|динамической метеорологии]].

Усвоение Фридманом ОТО было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с [[Фредерикс, Всеволод Константинович|Фредериксом]] он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.

Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.

В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая ОТО и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».

И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области ОТО стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.

По свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: ''«Фридман не раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят»''<ref name="c">{{статья |заглавие=Работы А. А. Фридмана по теории тяготения Эйнштейна |ссылка=http://ufn.ru/ufn63/ufn63_7/Russian/r637b.pdf |accessdate=2012-07-04 |издание=[[Успехи физических наук]] |том=LXXX |номер=3 |страницы=353—356 |язык=ru |тип=журнал |автор=[[Фок, Владимир Александрович|Фок В.А.]] |год=1963 |издательство=[[Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН|Российская академия наук]] }}</ref>.

Изначально, уравнения Фридмана использовали уравнения ОТО с нулевой космологической постоянной. И модели, основанные на них, безоговорочно доминировали (помимо короткого всплеска интереса к другим моделям в 1960-е гг.) вплоть до 1998 года<ref>О непопулярности моделей с космологической постоянной красноречиво говорит тот факт, что Вайнберг в своей книге «Космология и гравитация» (на русском языке издана в 1975 году) параграф о моделях с космологической постоянной относит в раздел вместе с наивными моделями и моделями стационарной Вселенной, отводя на описание 4 страницы из 675.</ref>.
В тот год вышли две работы, использовавшие в качестве индикаторов расстояния — сверхновые типа Ia. В них было убедительно показано, что на больших расстояниях [[Закон_Хаббла|закон Хаббла]]  нарушается и Вселенная расширяется ускоренно, что требует наличия [[Тёмная энергия|тёмной энергии]], известные свойства которой соответствуют Λ-члену.

Современная модель, так называемая [[Модель Лямбда-CDM|«модель ΛCDM»]], по-прежнему является моделью Фридмана, но уже с учётом как космологической постоянной, так и тёмной материи.

== Метрика Фридмана — Робертсона — Уокера ==
{|  class="wikitable" style="float:right; margin-left:10px;"
!colspan="1"|Вид [[Символы Кристоффеля|символов Кристоффеля]]
|-
|<math> \begin{array}{ccc}
\Gamma_{ij}^0 = a\dot a \tilde{g}_{ij} & \Gamma_{0j}^i = \frac{\dot a}{a}\delta_{ij} & \Gamma^i_{jl} = \tilde{\Gamma}^i_{jl} = k\tilde{g}_{jl}x^i
\end{array}
</math>
|-
!colspan="1"|Производные выражения от символов Кристоффеля
|-
|<math> \begin{array}{ccc}
\frac{\partial \Gamma_{ij}^0 }{\partial t} = \tilde{g}_{ij} \frac{d}{dt}(\dot a a), & \Gamma_{ik}^0\Gamma_{j0}^k = \tilde{g}_{ij}\dot{a}^2, & \Gamma_{ij}^0\Gamma_{0l}^l =  3\tilde{g}_{ij}\dot{a}^2, \\
\frac{\partial \Gamma_{i0}^i }{\partial t} = 3 \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot a}{a}\right) , & \Gamma_{0j}^i\Gamma_{i0}^j = 3\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2
\end{array}
</math>
|}
Геометрия однородной изотропной Вселенной — это геометрия однородного и изотропного трёхмерного многообразия. Метрикой таких многообразий является метрика Фридмана — Робертсона — Уокера (FWT)<ref name="zasopostnov_rubakov_vainberg">
* {{книга
 |автор    = А. В. Засов., К. А. Постнов.
 |заглавие = Общая астрофизика
 |место    = Фрязино
 |издательство  = Век 2
 |год  = 2006
 |страницы = 421—432
 |страниц  = 496
 |isbn = 5-85099-169-7
}}
* {{книга
 |автор    = Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков.
 |страницы    = 45—80
 |заглавие = Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.
 |место    = Москва
 |издательство  = ЛКИ
 |год  = 2008
 |страниц  = 552
 |isbn = 978-5-382-00657-4
 }}
* {{книга
 |автор    = Стивен Вайнберг.
 |страницы    = 21—81
 |заглавие = Космология
 |место    = Москва
 |издательство  = УРСС
 |год  = 2013
 |страниц  = 608
 |isbn = 978-5-453-00040-1
  }}
</ref>:
: <math>ds^2 = dt^2 - a^2(t)d\chi^2,</math>
где {{math|'''χ'''}} — так называемое сопутствующие расстояние или конформное, не зависящее от времени, в отличие от масштабного фактора {{math| '''a'''}}, {{math|'''t'''}} — время в единицах скорости света, {{math|'''s'''}} — [[Интервал (теория относительности)|интервал]].
: {{Формулы|Метрика Фридмана-Робетсона-Уокера}}
{{Скрытый
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = left
 |Заголовок = Замечание
 |Содержание =
Существуют всего три типа трёхмерных многообразий: трёхмерная сфера, трёхмерная гиперсфера и трёхмерная плоскость.
*Метрика на трёхмерной плоскости даётся простым выражением:
::<math> ds^2 = (dx)^2 </math>
*Чтоб задать метрику трёхмерной сферы необходимо ввести 4-мерное евклидово пространство:
::<math> ds^2 = (dx_0)^2+(dx)^2 </math>
:и добавить уравнение сферы:
::<math> a^2 = (x_0)^2+x^2 </math>
*Гиперсферическая метрика уже определяется в 4-мерном [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]]:
::<math> ds^2 = -(dx_0)^2+( dx )^2 </math>
:И точно так же, как для сферы, нужно добавить уравнение гиперболоида:
::<math> a^2 = (x_0)^2-x^2 </math>
FWT метрика не что иное, как сведение всех вариантов воедино и приложение к пространству-времени.
}}
Или в тензорной записи:
: <math>ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu,</math>
где компоненты метрического тензора равны:
: <math> \begin{array}{ccc} g_{ij} = a^2(t)\left(\delta_{ij} + k \frac{x^i x^j}{1-kr^2}\right), & g_{i0} = 0, &g_{00} = -1 \end{array}, </math>
где <math>i, j</math> пробегают значения 1…3, <math>r^2 = (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2</math>, а <math>x^0</math> — временная координата.

== Основные уравнения ==
Если же выражение для метрики подставить в уравнения ОТО для идеальной жидкости, то получим следующую систему уравнений:
{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Название</center>
! width="%25"| <center>[[СИ]]</center>
! width="%25"| <center>[[Естественная система единиц]]</center>
|-
! Уравнение энергии
|
: <math> \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G\rho}{3}-\left(\frac{kc^2}{a^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}</math>
|
: <math> \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G\rho}{3}-\left(\frac{k}{a^2}\right)+\frac{\Lambda}{3}</math>
|-
! Уравнение движения
|
: <math>\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho +\frac{3P}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
|
: <math>\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho +3p\right) + \frac{\Lambda}{3}</math>
|-
! Уравнение неразрывности
|
: <math>\frac{d\rho}{dt} =-3H\left(\rho +\frac{P}{c^2}\right)</math>
|
: <math>\frac{d\rho}{dt} =-3H\left(\rho +p\right)</math>
|}
<div style="float:right;margin-left:10px;width:700px;">
{{Скрытый
 |Рамка = 1px dashed #aa0000
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = center
 |Заголовок = Вывод уравнений движения и энергии<ref>{{книга
 |автор    = Стивен Вайнберг.
 |страницы    = 57-59
 |заглавие = Космология
 |место    = Москва
 |издательство  = УРСС
 |год  = 2013
 |страниц  = 608
 |isbn = 978-5-453-00040-1
  }}
</ref>
 |Фон_заголовка = #ccccff
 |Содержание =
Запишем полевые уравнения Эйнштейна в следующей форме:
:<math> R_{\mu\nu} = -8\pi G S_{\mu\nu} </math>, 
где {{math|R{{sub|μν}}}} - тензор Риччи:
:<math> R_{\mu\nu} = \frac{\partial\Gamma_{\lambda\mu}^{\lambda}}{\partial x^{\nu}} -\frac{\partial\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}}{\partial x^{\lambda}} + \Gamma_{\mu\sigma}^{\lambda}\Gamma_{\nu\lambda}^{\sigma} - \Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\Gamma_{\lambda\sigma}^{\sigma}  </math>,
a {{math|S{{sub|μν}}}} записывается в терминах энергии импульса:
:<math> S_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T_{~\lambda}^{\lambda} </math>
Т.к. в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера все афинные связности с двумя или тремя временными индексами обнуляются, то
:<math> R_{ij} = \frac{ \partial \Gamma_{ki}^{k} } {\partial x^j } - \left[  \frac{ \partial \Gamma_{ij}^{k} } {\partial x^k } +\frac{ \partial \Gamma_{ij}^{0} } {\partial t } \right] + \Gamma_{ik}^0 \Gamma _{j0}^k  + \Gamma_{i0}^k \Gamma _{jk}^0 + \Gamma_{ik}^l \Gamma _{jl}^k - ( \Gamma_{ij}^k \Gamma _{kl}^l  + \Gamma_{ij}^0 \Gamma _{0l}^l ) </math>, 
:<math> R_{00} = \frac{ \partial \Gamma_{i0}^{i} }{ \partial t } +  \Gamma_{0j}^{i} \Gamma_{0i}^j </math> 
Подставим в ненулевые компоненты тензора Риччи выражения для символов Кристофеля:
:<math>R_{ij} = \tilde{R}_{ij} - 2 \dot a \tilde{g}_{ij} - a \ddot a \tilde{g}_{ij}</math>
:<math>R_{00} = 3 \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot a}{a}\right) + 3\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = 3\frac{\ddot a}{a} </math>,
где <math>\tilde{R}_{ij}</math> - чисто пространственный тензор Риччи:
:<math> \tilde{R}_{ij} = \frac{\partial\Gamma_{ki}^k}{\partial x^j} - \frac{\partial\Gamma_{ji}^k}{\partial x^k} + \Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k - \Gamma_{ij}^l\Gamma_{kl}^k </math>
Из всех тех же соотношений для выбранной метрики:
:<math> \Gamma_{ij}^k = k x^k\tilde{g}_{ij} </math>
Тогда, в точке {{math|x{{=}}0}} чисто пространственный тензор Риччи равен:
:<math> \tilde{R}_{ij} = k\delta_{ij} -3 k\delta_{ij} = -2 k\delta_{ij} </math>
Но в точке {{math|x{{=}}0}} метрика это просто {{math|δ{{sub|ij}}}}, т.е. в начале координат имеется следующее соотношение двух три-тензоров:
:<math> \tilde{R}_{ij} = -2 k\tilde{g}_{ij} </math>
И в силу однородности метрики Фридмана-Робетсона-Уокера это соотношение справедливо при любом преобразовании координат, т.е. соотношение выполняется во всех точках пространства, тогда можно записать:
:<math> R_{ij} = (-2 k - 2 \dot a  - a \ddot a) \tilde{g}_{ij} </math>
Компоненты тензора энергии-импульса в нашей метрике будут следующими:
:<math>\begin{array}{ccc}
T_{00} = \rho, & T_{i0} = 0, & T_{ij} = a^2p\tilde{g}_{ij} 
\end{array}</math>
Тогда:
:<math>S_{ij} = T_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{g}_{ij}a^2(T_{~k}^k + T_{~0}^0) = a^2p\tilde{g}_{ij}-\frac{1}{2}a^2\tilde{g}_{ij}(3p-\rho) = \frac{1}{2}(\rho -p)a^2\tilde{g}_{ij}</math>,
:<math> S_{00} = T_{00} + \frac{1}{2}(T^k_{~k} + T_{~0}^0 ) = \rho + \frac{1}{2}(3p-\rho) = \frac{1}{2}(3p + \rho) </math>
:<math>S_{i0}=0</math>
После подстановки уравнения Эйнштейна примут вид:
:<math> - \frac{2k}{a^2}-\frac{2 \dot a^2}{a^2} - \frac{\ddot a}{a} = -4 \pi G ( \rho - p ) </math>
:<math>\frac{3 \ddot a}{a}=-4 \pi G(3 p + \rho)</math>
Для перехода к уравнениям с Λ-членом необходимо произвести подстановку:
:<math>\rho\rightarrow\rho +\frac{\Lambda}{8\pi G}</math>
:<math>p\rightarrow p-\frac{\Lambda}{8 \pi G}</math>
И после элементарных преобразований приходим к итоговому виду.
|}}

{{Скрытый
 |Рамка = 1px dashed #aa0000
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = center
 |Заголовок = Вывод уравнения неразрывности<ref>{{книга
 |автор    = Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков.
 |страницы    = 63
 |заглавие = Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.
 |место    = Москва
 |издательство  = ЛКИ
 |год  = 2008
 |страниц  = 552
 |isbn = 978-5-382-00657-4
 }}</ref>
 |Фон_заголовка = #ccccff
 |Содержание =
Уравнение неразрывности следует из условия ковариантного сохранения тензора энергии-импульса:
:<math> \nabla_{\nu} T^{\nu\mu} = 0 </math>
Полагая здесь {{math|ν{{=}}0}}:
:<math> \nabla_{\nu} T^{\nu \mu} \equiv \partial_{\nu} T^{\nu 0} + \Gamma_{\nu \sigma}^{\nu} T^{\sigma 0} + \Gamma_{\nu\sigma}^0 T^{\nu \sigma} = 0 </math>
Явно запишем ненулевые компоненты тензора энергии-импульса:
:<math>\begin{array}{ccc}
T^{00} = \rho, & T^{ij} = \frac{1}{a^2}p\tilde{g}^{ij}, & T_{ij} = a^2p\tilde{g}_{ij} 
\end{array}</math>
подставив эти значения и воспользовавшись выражениями для символов кристофеля в FWT-метрике придем к конечному виду уравнения.
|}}
</div>

где {{math|'''Λ'''}} — [[космологическая постоянная]], {{math|'''''ρ'''''}} — средняя плотность Вселенной, {{math|'''''P'''''}}, {{math|'''''p'''''}} — давление, выраженная в Си и естественной системы единиц соответственно, {{math|'''''с'''''}} — скорость света. 

Приведенная система уравнений допускает множество решений, в зависимости от выбранных параметров. На самом деле значение параметров фиксированы только на текущий момент и с течением времени эволюционируют, поэтому эволюцию расширения описывает совокупность решений.<ref name="zasopostnov_rubakov_vainberg"/>

== Объяснение закона Хаббла ==
Допустим есть источник, расположенный в сопутствующей системе на расстоянии {{math|'''''r''<sub>1</sub>'''}} от наблюдателя. Приемная аппаратура наблюдателя регистрирует фазу приходящей волны. Рассмотрим два интервала времени {{math|'''''δt''<sub>1</sub>'''}} и {{math|'''''δt''<sub>2</sub>'''}} между точками с одной и той же фазой<ref name="zasopostnov_rubakov_vainberg"/>:
: <math> \frac{\delta t_1}{\delta t_0} =\frac{\nu_0}{\nu_1} \equiv 1+z</math>
С другой стороны для световой волны в принятой метрике выполняется равенство:
: <math> dt = \pm a(t)\frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}</math>
Проинтегрировав это уравнение получим:
: <math> \int\limits_{t_0}^{t_1}  \frac{dt}{a(t)} = \int\limits_0^{r_c} \frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}</math>
Учитывая что в сопутствующих координатах {{Прояснить2|непонятный текст = {{math|'''''r'''''}}|комментарий = Расстояние, которое зависит от времени в ССО, или Радиальное расстояние, которое не зависит от времени в ССО?}} не зависит от времени, и малость длины волны относительно радиуса кривизны Вселенной, получим соотношение:
: <math> \frac{\delta t_1}{a(t_1)} =\frac{\delta t_0}{a(t_0)} </math>
Если теперь его подставить в первоначальное соотношение:
: <math> 1+z = \frac{a(t_0)}{a(t_1)}</math>
Разложим {{math|'''''a'''''('''''t''''')}} в [[ряд Тейлора]] с центром в точке {{math|'''''a'''''('''''t''{{sub|1}}''')}} и учтем члены только первого порядка:
: <math>a(t) = a(t_1)+\dot a (t_1)(t-t_1)</math>
После приведения членов и домножения на {{math|c}}:
: <math> cz = \frac{\dot a (t_1)}{a(t_1)} c(t - t_1) = HD</math>
Соответственно, константа Хаббла:
: <math> H = \frac{\dot a (t_1)}{a(t_1)} </math>

== Следствия ==

=== Определение кривизны пространства. Понятие критической плотности ===
Подставив в уравнение энергии, записанного для текущего момента, выражение для постоянной Хаббла({{math|''H<sub>0</sub>''}}), приведем его к виду:
: <math>1 = \Omega_m +\Omega_k +\Omega_{\Lambda}</math>,
где <math>\Omega_m = \frac{\rho}{\rho_{cr}}</math>, <math>\Omega_{\Lambda} = \frac{8\pi G \Lambda c^2}{\rho_{cr}}</math>, <math>\rho_{cr} = \frac{3H_0^2}{8\pi G}</math>, <math>\Omega_k = - \frac{kc^2}{a^2H^2}, </math>
<br />плотность вещества и темной энергии, отнесенная к критической, сама критическая плотность и вклад кривизны пространства соответственно.  Если переписать уравнение следующим образом

: <math> \Omega_k =  1- (\Omega_m + \Omega_{\Lambda}) = 1 - \left(\frac{\rho+\rho_{\Lambda}}{\rho_{cr}} \right)</math>,

то станет очевидно, что:
:<math>k =
\begin{cases}
 -1, &\rho+\rho_{\Lambda} < \rho_{cr}  \\
 0, &\rho+\rho_{\Lambda} = \rho_{cr}  \\
1, &\rho+\rho_{\Lambda} > \rho_{cr} 
\end{cases}
</math>

=== Эволюция плотности вещества. Уравнение состояния ===
{| class="wikitable" style="float:right;margin-left:10px;"
|-
! Стадия !! Эволюция <br/> масштабного  фактора !! Параметр Хаббла
|-
| Инфляционная || <math>a\propto e^{Ht}</math> || <math>H^2=\frac{8\pi}{3}\frac{\rho_{vac}}{M^2_{pl}}</math>
|-
|Радиационное доминирование<br />{{math|p{{=}}ρ/3}}|| <math>a\propto t^{\frac{1}{2}}</math> || <math>H=\frac{1}{2t}</math>
|-
| Пылевая стадия<br />{{math|p{{=}}0}} || <math>a\propto t^{\frac{2}{3}}</math> || <math>H=\frac{2}{3t}</math>
|-
| <math>\Lambda</math>-доминирование<br />{{math|p{{=}}-ρ}} || <math>a\propto e^{Ht}</math> ||  <math>H^2=\frac{8\pi}{3}G\rho_{\Lambda}</math>
|}
Подставив в уравнение неразрывности [[уравнение состояния]] в виде
: <math> p =\omega\rho </math>(1)
Получим его решение:
: <math> p \propto a^{-3 - 3\omega}  \Rightarrow \rho \propto a^{-3 - 3\omega} </math>
Для разных случаев эта зависимость выглядит по-разному:

'''Случай холодного вещества''' (например пыль) {{math|p {{=}} 0}}
: <math>\rho \propto a^{-3}</math>
'''Случай горячего вещества''' (например излучение) {{math|p {{=}} ρ/3}}
: <math> \rho \propto a^{-4}</math>
'''Случай энергии вакуума''' <math> p = -\rho</math>

: <math> \rho = const</math>

Благодаря этому, влиянием {{math|Ω<sub>k</sub>}} на ранних этапах можно пренебречь, то есть считать Вселенную плоской (так как {{math|k{{=}}0}}. Одновременно, разная зависимость плотности компонентов от масштабного фактора позволяет выделить различные эпохи, когда расширение определяется только тем или иным компонентом, представленных в таблице.

Также стоить отметить, что если ввести некую квинтэссенцию из плотности темной энергии и плотности барионной и принять, что оно подчиняется выражению (1), то пограничным значением является
: <math>\omega_0 = - \frac{1}{3} </math>
При превышении этого параметра расширение замедляется, при меньшем — ускоряется.

=== Динамика расширения ===
'''Λ < 0''' 

Если значение космологической постоянной отрицательно, то действуют только силы притяжения и более никаких. Правая часть уравнения энергии будет неотрицательной только при конечных значениях R. Это означает, что при некотором значении R<sub>c</sub> Вселенная начнет сжиматься при любом значении k и вне зависимости от вида уравнения состояния<ref name="cosmology"/>.

'''Λ = 0'''

В случае, если космологическая постоянная равна нулю, то эволюция целиком и полностью зависит от начальной плотности вещества<ref name="zasopostnov_rubakov_vainberg"/>:

<math>\left(\frac{da}{dt}\right)^2=G\frac{8\pi\rho_0 a_0^3}{3a} -a_0^2H_0\left(\rho_0 - \frac{3H_0^2}{8\pi G}\right).</math>

Если <math>\rho_0 =\rho_{cr} </math>, то расширение продолжается бесконечно долго, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Если плотность больше критической, то расширение Вселенной тормозится и сменяется сжатием. Если меньше, то расширение идёт неограниченно долго с ненулевым пределом H.

'''Λ > 0'''

Если Λ>0 и k≤0, то Вселенная монотонно расширяется, но в отличие от случая с Λ=0 при больших значениях R скорость расширения растёт<ref name="cosmology">
{{книга
 |автор    = Майкл Роуэн-Робинсон.
 |заглавие = Космология
 |оригинал = Cosmology
 |ответственный = Перевод с английского Н.А. Зубченко. Под научной редакцией П.К. Силаева
 |место    = М.-Ижевск
 |издательство  = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»
 |год  = 2008
 |страницы = 96-102
 |страниц  = 256
 |isbn = 976-5-93972-659-7
}}
</ref>:

<math>R\propto exp[(\Lambda/3)^{1/2}t].</math>

При k=1 выделенным значением является <math>\Lambda_c=4\pi G\rho</math>. В этом случае существует такое значение R, при котором <math>R'=0</math> и <matH>R''=0</math>, то есть Вселенная статична.

При Λ>Λ<sub>c</sub> скорость расширения убывает до какого-то момента, а потом начинает неограниченно возрастать. Если Λ незначительно превышает Λ<sub>c</sub>, то на протяжении некоторого времени скорость расширения остаётся практически неизменной.

В случае Λ<Λ<sub>c</sub> всё зависит от начального значения R, с которого началось расширения. В зависимости от этого значения Вселенная либо будет расширяться до какого-то размера, а потом сожмется, либо будет неограниченно расширяться.

== ΛCDM ==
{{main| Модель Лямбда-CDM}}
{|class="wikitable" style="float:right; margin-left:10px;"
!colspan="3"|Космологические параметры по данным WMAP и Planck
|-
! ||WMAP<ref>{{cite web|author=Jarosik, N., et.al. (WMAP Collaboration)|title=Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Sky Maps, Systematic Errors, and Basic Results|url=http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/basic_results/wmap_7yr_basic_results.pdf|format=PDF|publisher=nasa.gov|accessdate=2010-12-04|archiveurl=https://www.webcitation.org/69y3K699i?url=http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/basic_results/wmap_7yr_basic_results.pdf|archivedate=2012-08-16}} (from NASA’s [http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/map_bibliography.cfm WMAP Documents] page)</ref>||Planck<ref name="Planck">{{статья|автор=Planck Collaboration|заглавие=Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters|arxiv=1303.5076}}</ref>
|-
| [[Возраст Вселенной]] {{math|t<sub>0</sub>}}, млрд лет || 13,75±0,13 ||13,81±0,06
|-
| [[Постоянная Хаббла]] {{math|H<sub>0</sub>}}, (км/с)/Мпк||71,0±2,5|| 67,4±1,4
|-
|Плотность барионной материи {{math|Ω<sub>b</sub>h{{sup|2}}}} || 0,0226±0,0006 ||0,0221±0,0003
|-
|Плотность тёмной материи {{math|Ω<sub>с</sub>h{{sup|2}}}} || 0,111±0,006 || 0,120±0,003
|-
|Общая плотность {{math|Ω<sub>t</sub>}} || 1,08{{sub sup|-0,07|+0,09}} || 1,0±0,02
|-
|Плотность барионной материи {{math|Ω<sub>b</sub>}}|| 0,045±0,003 ||
|-
|Плотность тёмной энергии {{math|Ω<sub>Λ</sub>}} || 0,73±0,03|| 0,69±0,02
|-
|Плотность тёмной материи {{math|Ω<sub>c</sub>}}|| 0,22±0,03 ||
|}
ΛCDM — это современная модель расширения, являющаяся моделью Фридмана, включающая в себя помимо барионной материи, темную материю и темную энергию

=== Возраст Вселенной ===
{{main|Возраст Вселенной}}

==== Теоретическое описание ====
Время с начала расширения, называемая также возрастом Вселенной<ref>[http://www.astronet.ru/db/msg/1162151 Астронет > Вселенная<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref> определяется следующим образом:
<div style="float:right;margin-left:10px;width:500px;">
{{Скрытый
 |Рамка = 1px dashed #aa0000
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = center
 |Заголовок =Вывод
 |Фон_заголовка = #ccccff
 |Содержание = С учетом эволюции плотности{{переход|#Эволюция плотности вещества. Уравнение состояния|blue}} запишем общую плотность в следующем виде:
:<math>\rho = \rho_c\left( \Omega_{\Lambda} +\Omega_k \left( \frac{a_0}{a}\right)^{2} +\Omega_m \left(\frac{a_0}{a}x\right)^{3}+ \Omega_l\left(\frac{a_0}{a}\right)^{4}  \right)</math>
Подставив это в уравнение энергии, получим искомое выражение
|}}
</div>
: {{Формулы|Возраст Вселенной}}
Наблюдательные подтверждения сводятся к подтверждению самой модели расширения с одной стороны и предсказываемой ею моменты начала различных эпох, а с другой, чтоб возраст самых старых объектов не превышал получающийся из модели расширения возраст всей Вселенной.

==== Данные наблюдений ====
Не существует прямых измерений возраста Вселенной, все они измеряются косвенно. Все методы можно разделить на две категории<ref>{{cite web|title=COSMOLOGY, COSMOCHRONOLOGY|author=Donald D. Clayton|url=http://ned.ipac.caltech.edu/level5/ESSAYS/Clayton/clayton.html}}</ref>:
#Определение возраста на основе моделей эволюции у самых старых объектов: старых шаровых скоплений и белых карликов. 
#:В первом случае метод основан на факте, что звезды в шаровом скоплении все одного возраста, опираясь на теорию [[звёздная эволюция|звёздной эволюции]], строятся изохроны на диаграмме «цвет — звёздная величина», то есть кривые равного возраста для звёзд различной массы. Сопоставляя их с наблюдаемым распределением звёзд в скоплении, можно определить его возраст.
#:Метод имеет ряд своих трудностей. Пытаясь их решить, разные команды, в разное время получали разные возраста для самых старых скоплений, от ~8 млрд лет<ref>{{статья|ссылка=http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?arXiv:astro-ph/9704150|заглавие=Ages of Globular Clusters from HIPPARCOS Parallaxes of Local Subdwarfs|автор=Gratton Raffaele G., Fusi Pecci Flavio, Carretta Eugenio и др|издательство=Astrophysical Journal|год=1997}}</ref>, до ~ 25 млрд лет<ref>{{статья|ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/1987PASP...99.1153P|автор=Peterson Charles J.|заглавие=Ages of globular clusters|издательство=Astronomical Society of the Pacific|год=1987}}</ref>.
#:Белые карлики имеют приблизительно одинаковую массу звёзд-предшественниц, а значит — и приблизительно одинаковую зависимость температуры от времени. Определив по спектру белого карлика его абсолютную звёздную величину на данный момент и зная зависимость время—светимость при остывании, можно определить возраст карлика<ref name="HSTWD">{{статья|ссылка=http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?arXiv:astro-ph/9507109|автор=Harvey B. Richer et al.|заглавие=Hubble Space Telescope Observations of White Dwarfs in the Globular Cluster M4|год=1995|издательство=Astrophysical Journal Letters}}</ref>
#:Однако данный подход связан как с большими техническими трудностями, — белые карлики крайне слабые объекты, — необходимо крайне чувствительные инструменты, чтоб их наблюдать. Первым и пока единственным телескопом, на котором возможно решение данной задачи является космический [[Хаббл (телескоп)|телескоп им. Хаббла]]. Возраст самого старого скопления по данным группы, работавшей с ним: <math>12,7\pm0,7</math> млрд лет<ref name="HSTWD"/>, однако, результат оспаривается. Оппоненты указывают, что не были учтены дополнительные источники ошибок, их оценка <math>12,4^{+1,8}_{-1,5}</math> млрд лет<ref>{{статья|ссылка=http://arxiv.org/abs/0806.4456|заглавие=White Dwarfs in Globular Clusters|автор=Moehler S, Bono G.|год=2008}}</ref>.
# Ядерный метод. В его основе лежит тот факт, что разные изотопы имеют разный период полураспада. Определяя текущие концентрации различных изотопов у первичного вещества можно определить возраст элементов в неё входящих. 
#:Так у звезды CS31082-001, принадлежащей звёздному населению типа II, были обнаружены линии и измерены концентрации тория и урана в атмосфере. Эти два элемента имеют различный период полураспада, поэтому со временем их соотношение меняется, и если как-то оценить первоначальное соотношение обильностей, то можно определить возраст звезды. Оценить можно двояким способом: из теории r-процессов, подтверждённой как лабораторными измерениями, так и наблюдениями Солнца; или можно пересечь кривую изменения концентраций за счёт распада и кривую изменения содержания тория и урана в атмосферах молодых звёзд за счёт химической эволюции Галактики. Оба метода дали схожие результаты: 15,5±3,2<ref>{{статья|ссылка=http://adsabs.harvard.edu/abs/2002ApJ...579..626S|заглавие=Thorium and Uranium Chronometers Applied to CS 31082-001|автор=Schatz Hendrik, Toenjes Ralf, Pfeiffer Bernd|издательство=The Astrophysical Journal|год=2002}}</ref> млрд лет получены первым способом, <math>14{,}5^{-2{,}8}_{+2{,}2}</math><ref>{{статья|ссылка=http://www.lpi.usra.edu/meetings/lpsc2005/pdf/1126.pdf|заглавие=URANIUM-THORIUM COSMOCHRONOLOGY|автор=N. Dauphas|год=2005}}</ref> млрд лет — вторым.

=== Виды расстояний. ===
[[Файл:CosmoDistanceMeasures z to 1e4.png|thumb|400px|Сравнение кривых для различных видов расстояний]]

==== Теоретическое описание ====
В космологии на больших расстояниях непосредственно измеряемых величин всего три - [[звездная величина]], характеризующая блеск, угловой размер и красное смещение. Поэтому, для сравнения с наблюдениями вводятся две зависимости:
*Угловой размер от красного смещения, называемого угловым расстоянием:
<div style="float:right;margin-left:10px;width:400px;">
{{Скрытый
 |Рамка = 1px dashed #aa0000
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = center
 |Заголовок =Вывод
 |Фон_заголовка = #ccccff
 |Содержание = По определению:
:<math>d_a= \frac{D}{\delta\theta}</math>
{{math|'''D'''}} - собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения, {{math|Δ'''θ'''}} - видимый угловой размер.
Рассмотрим метрику в сферических координатах:
:<math>ds^2 = dt^2 - a^2(t_1)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\Omega^2 \right)</math>
Размер объекта много меньше расстояния до него, поэтому:
:<math> ds^2 = -a^2(t_1)r^2d\Omega^2</math>.
Вследствие малости углового размера {{math|'''dΩ'''}} можно принять равным {{math|Δ'''θ'''}}. Перейдя в метрику текущего момента времени получим конечное выражение
|}}
</div>
:<math> d_a = \frac{a(t_0)\chi}{1+z}</math>
*Блеск от красного смещения - называемого фотометрическим расстоянием:
<div style="float:right;margin-left:10px;width:400px;">
{{Скрытый
 |Рамка = 1px dashed #aa0000
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = center
 |Заголовок =Вывод
 |Фон_заголовка = #ccccff
 |Содержание = По определению:
:<math>d_l= \sqrt{\frac{L}{4\pi F}}</math>
Поток излучения от некоторого источника уменьшается из-за геометрического фактора (<math>4\pi (a(t)\chi)^2</math>), вторым фактором является уменьшение длины фотона в <math> (1+z)</math> раз и третий фактор - уменьшения частоты прихода отдельных фотонов из-за растяжения времени, также в <math> (1+z)</math> раз. В итоге получаем для интегрального потока:
:<math>F = \frac{L}{4\pi (a(t)\chi)^2(1+z)^2}</math> 
После чего путём простых преобразований получаем исходный вид
|}}
</div>
:<math>d_l = (1+z)^2d_a</math>

Также в научно-популярной литературе можно встретить еще три вида расстояний: расстояние между объектами на текущей момент, расстояние между объектами на момент испускания принятого нами света и расстояние, которое прошел свет.

==== Данные наблюдений ====
{{also|Шкала расстояний}}
{{заготовка раздела}}
Для измерения фотометрического расстояния необходим источник известной светимости, так называемая ''стандартная свеча''. Для космологических масштабов в качестве таковой берутся [[Сверхновая звезда|сверхновые типа Ia]]. Они возникают как следствие термоядерного взрыва белого карлика приблизившегося к пределу Чандрасекара.

=== Сфера Хаббла. Горизонт частиц. Горизонт событий ===
Также преимущественно в научно-популярной литературе используется термин "сфера Хаббла" - это сфера чей радиус равен расстоянию при котором скорость убегания равна скорости света.<ref>{{cite_web|url=http://www.astronet.ru/db/msg/1194830|author= Сергей Попов|title=Сверхсветовое разбегание галактик и горизонты Вселенной: путаница в тонкостях}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe |автор= TM Davis & CH Linewater |arxiv=astro-ph/0310808 |год=2003}}</ref>

== См. также ==
* [[Большой взрыв]]
* [[Леметр, Жорж|Жорж Леметр]]
* [[Решения уравнений Эйнштейна]]
* [[Уравнение вихря|Уравнение Фридмана (геофизическая гидродинамика)]]
* [[Уравнение Фридмана]]
* [[Фридман, Александр Александрович]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==

[[Категория:Общая теория относительности]]
[[Категория:Космология]]
[[Категория:Космологические модели]]
[[Категория:Именные законы и правила|Фридмана]]