Просмотр кода страницы Весьма избыточное число

[[Файл:Highly abundant number Cuisenaire rods 8.png|thumb|Суммы делителей в виде палочек Кюизенера<ref>Палочки Кюизенера — это счётные палочки для начальных классов школы, предназначенные для обучения счёту и понимания деления. Палочки имеют различную длину и раскрашены в различные цвета. Палочки были придуманы бельгийским школьным учителем Георгом Кюизенером.</ref> первых шести высокоизбыточных чисел]]

'''Весьма избыточное число''' или '''высокоизбыточное число''' — это [[натуральное число]], сумма делителей которого (включая само число) больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.

Высокоизбыточные числа и некоторые подобные классы чисел ввёл Пиллай{{sfn|Pillai|1943}}, а раннюю работу на эту тему сделали Алаоглу и Эрдёш{{sfn|Alaoglu, Erdős|1944}}. Алаоглу и Эрдёш перечислили все высокоизбыточные числа вплоть до 10<sup>4</sup> и показали, что число высокоизбыточных чисел, меньших ''N'', по меньшей мере пропорционально log<sup>2</sup> ''N''.

== Формальное определение и примеры ==

Формально, натуральное число ''n'' называется весьма избыточным тогда и только тогда, когда для всех натуральных чисел ''m'' &lt; ''n''

:<math>\sigma(n) > \sigma(m)</math>,

где σ означает [[Функция делителей|функцию «сумма делителей»]]. Несколько первых высокоизбыточных чисел
:[[1 (число)|1]], [[2 (число)|2]], [[3 (число)|3]], [[4 (число)|4]], [[6 (число)|6]], [[8 (число)|8]], [[10 (число)|10]], [[12 (число)|12]], [[16 (число)|16]], [[18 (число)|18]], [[20 (число)|20]], [[24 (число)|24]], [[30 (число)|30]], [[36 (число)|36]], [[42 (число)|42]], [[48 (число)|48]], [[60 (число)|60]], ... ({{OEIS|id=A002093}}).

Например, 5 не высокоизбыточно, поскольку σ(5) = 5+1 = 6 меньше, чем σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, в то время как 8 высокоизбыточно, поскольку σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше, чем все предыдущие значения σ.

Кроме чисел 1 и 3, других высокоизбыточных нечётных чисел нет<ref>См. статью  Алаоглу и Эрдёша {{harv|Alaoglu, Erdős|1944}}, p.&nbsp;466. Алаоглу и Эрдёш высказывают более сильное утверждение, что все высокоизбыточные числа, превосходящие 210, делятся на 4, но это утверждение ошибочно — 630 является высокоизбыточным, но на 4 не делится. (Фактически, только это число 630 и является [[контрпример]]ом, все большие высокоизбыточные числа делятся на 12.)</ref>

== Связь с другими множествами чисел ==

Хотя первые восемь [[факториал]]ов являются высокоизбыточными, таковыми будут не все факториалы. Например,
:&sigma;(9!) = &sigma;(362880) = 1481040,
но существует меньшее число с большей суммой делителей,
:&sigma;(360360) = 1572480,
так что 9! не высокоизбыточно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все {{не переведено 5|Суперизбыточное число|суперизбыточные числа||superabundant number}} являются высокоизбыточными, и поставили вопрос, существует ли бесконечное число высокоизбыточных чисел, не являющихся суперизбыточными. На этот вопрос утвердительно ответил Жан-Луис Николас{{sfn|Nicolas|1969}}.

Вопреки терминологии, не все высокоизбыточные числа являются [[Избыточные числа|избыточными]]. В частности, ни одно из семи первых высокоизбыточных чисел не является избыточным.

7200 является наибольшим [[Полнократное число|полнократным числом]], являющимся одновременно высокоизбыточным, все большие высокоизбыточные числа имеют простой множитель, делящий число только однократно. По той же причине 7200 является наибольшим высокоизбыточным числом с нечётной суммой делителей{{sfn|Alaoglu, Erdős|1944|с=464–466}}.

==Примечания==
{{примечания|2}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{статья
|автор=[[Алаоглу, Леонидас|Leonidas Alaoglu]], [[Эрдёш, Пал|Paul Erdős]]
|заглавие=On highly composite and similar numbers
|издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
|том=56
|год=1944
|страницы=448–469
|mr=0011087 
|doi=10.2307/1990319
|выпуск=3
|jstor=1990319
|ссылка=http://combinatorica.hu/~p_erdos/1944-03.pdf
|ref= Alaoglu, Erdős
}}
*{{статья
|автор=Jean-Louis Nicolas
|заглавие=Ordre maximal d'un élément du groupe ''S<sub>n</sub>'' des permutations et "highly composite numbers"
|издание=Bull. Soc. Math. France
|том=97
|год=1969
|страницы=129–191
|mr=0254130 
|ссылка=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__129_0
|ref= Nicolas
}}
*{{статья
|автор=Subbayya Sivasankaranarayana Pillai
|заглавие=Highly abundant numbers
|издание=Bull. Calcutta Math. Soc.
|том=35
|год=1943
|страницы=141–156
|mr=0010560
|ref= Pillai
}}
{{refend}}

{{Числа по характеристикам делимости}}
{{Классы натуральных чисел}}
[[Категория:Целочисленные последовательности]]
{{rq|checktranslate|style}}