Просмотр кода страницы Векторное произведение

[[Файл:Cross product vector.svg|thumb|right|250px|Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве.]]
'''Векторное произведение''' двух [[Вектор (геометрия)|векторов]] в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном]] [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] — вектор, [[Ортогональность|перпендикулярный]] обоим исходным векторам, [[Модуль вектора|длина]] которого равна [[Площадь|площади]] [[Параллелограмм|параллелограмма]], образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой{{переход|#Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве}}. Векторное произведение [[Коллинеарность|коллинеарных]] векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — [[нулевой вектор]]) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать [[ориентация|ориентацию]] пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо [[Система координат|системы координат]]. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]] отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами [[Коммутативность|коммутативности]] и [[Ассоциативность (математика)|ассоциативности]]. Оно является [[Антикоммутативность|антикоммутативным]] и, в отличие от [[Скалярное произведение векторов|скалярного произведения векторов]], результат является опять вектором.

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — [[Модуль вектора|модуль]] векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы [[Коллинеарность|коллинеарны]].

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, [[момент импульса]] и [[сила Лоренца]] математически записываются в виде векторного произведения.

== История ==

Векторное произведение было введено [[Гамильтон, Уильям Роуан|У.{{nbsp}}Гамильтоном]] в [[1846 год в науке|1846 году]]<ref>{{книга|автор=Crowe M. J.|заглавие=A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System|год=1994|издательство=Courier Dover Publications|страниц=270|страницы=32|isbn=0486679101|ссылка=https://books.google.lt/books?id=y5-S5dmVqGIC&pg=PA32}}</ref> одновременно со [[скалярное произведение|скалярным произведением]] в связи с [[кватернион]]ами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю<ref>{{статья|автор=Hamilton W. R.|заглавие=On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra|издание=Philosophical Magazine. 3rd Series|год=1846|место=London|том=29|страницы=30|ссылка=https://archive.org/details/londonedinburghp29lond}}</ref>.

== Определение ==
'''Векторным произведением''' вектора <math>\vec{a}</math> на вектор <math>\vec{b}</math> в трёхмерном евклидовом пространстве называется вектор <math>\vec{c}</math>, удовлетворяющий следующим требованиям:
* длина вектора <math>\vec{c}</math> равна произведению длин векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> на [[Тригонометрические функции|синус]] [[угол|угла]] между ними (т.е. площади параллелограмма, образованного векторами <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>);
* вектор <math>\vec{c}</math> [[ортогональность|ортогонален]] каждому из векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>;
* вектор <math>\vec{c}</math> направлен так, что тройка векторов <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> является правой{{переход|#Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве}}.
Обозначения:
: <math> \vec{c} 
= 
[ \vec{a} \vec{b} ] 
= 
[ \vec{a},\; \vec{b} ] 
= 
\vec{a} \times \vec{b}
=
\vec{a}\wedge\vec{b}.</math>

=== Замечания ===
В качестве определения можно использовать описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой (или левой) [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]].

Также в качестве исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

== Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве ==
[[Файл:Right hand rule cross product.svg|right|thumb|250px|Нахождение направления векторного произведения с помощью [[Правило правой руки|правила правой руки]].]]
Рассмотрим [[Кортеж (математика)|упорядоченную тройку]] [[Компланарность|некомпланарных]] ([[Линейная независимость|линейно независимых]]) векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> в трёхмерном евклидовом пространстве. В [[ориентация|ориентированном]] пространстве такая тройка векторов будет либо «правой», либо «левой».

=== Геометрическое определение ===
Совместим начала векторов в одной точке. Упорядоченная тройка [[компланарность|некомпланарных]] векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> в трёхмерном пространстве называется '''правой''', если с конца вектора <math>\vec{c}</math> кратчайший поворот от вектора <math>\vec{a}</math> к вектору <math>\vec{b}</math> виден наблюдателю [[против часовой стрелки]]. И наоборот, если кратчайший поворот виден [[По часовой стрелке и против часовой стрелки|по часовой стрелке]], то тройка называется '''левой'''.

=== Определение с помощью руки ===
Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и берётся название. На рисунке тройка векторов <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math>, <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> является '''правой'''.

=== Алгебраическое определение ===
Существует также аналитический способ определения правой и левой тройки векторов, который требует задания в рассматриваемом пространстве '''правой''' или '''левой''' системы координат, причём [[Аффинная система координат|не обязательно прямоугольной и ортонормированной]].

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора <math>\vec{a}</math>, второй — вектора <math>\vec{b}</math>, третьей — вектора <math>\vec{c}</math>. Затем, в зависимости от [[Sgn|знака]] [[Определитель|определителя]] этой матрицы, можно сделать следующие выводы:
* Если определитель положителен, то тройка векторов '''имеет ту же ориентацию, что и система координат'''.
* Если определитель отрицателен, то тройка векторов '''имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат'''.
* Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

=== Замечания ===
Определения «правой» и «левой» тройки векторов зависят от [[Ориентация|ориентации]] пространства, но не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо [[Система координат|системы координат]], как и не требует этого определение самого векторного произведения. При этом ''формулы'' выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов будут отличаться знаком в правой и левой [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]].

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются '''одинаково ориентированными'''.

При заданной ориентации пространства система координат называется '''правой''' ('''левой'''), если тройка из векторов с координатами <math>
(1, 0, 0)
</math>, <math>
(0, 1, 0)
</math>, <math>
(0, 0, 1)
</math> является правой (левой).

Геометрическое определение и определение с помощью руки сами ''задают'' ориентацию пространства. Алгебраическое определение задаёт способ разбить тройки некомпланарных векторов на два [[Отношение эквивалентности|класса]] одинаково ориентированных векторов, но оно не задаёт ориентацию пространства, а ''использует'' уже заданную — ту, на основании которой данная система координат считается правой или левой. При этом, если ориентация системы координат неизвестна, можно сравнивать знак определителя со знаком определителя другой тройки некомпланарных векторов, ориентация которой известна — если знаки совпадают, то тройки одинаково ориентированы, если знаки противоположны — тройки ориентированы противоположно.

== Свойства ==

=== Геометрические свойства векторного произведения ===
[[Файл:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|250px|Рисунок{{nbsp}}1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения.]]
[[Файл:Parallelpiped volume.svg|thumb|250px|Рисунок{{nbsp}}2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора {{math|'''c'''}} на {{math|'''a''' × '''b'''}} и вектора {{math|'''a'''}} на {{math|'''b''' × '''c'''}}, первым шагом является нахождение скалярных произведений.]]
* Необходимым и достаточным условием [[коллинеарность|коллинеарности]] двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
* Модуль векторного произведения <math>[\vec{a},\;\vec{b}]</math> равняется площади <math>S</math> [[параллелограмм]]а, построенного на приведённых к общему началу векторах <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> (см. Рисунок{{nbsp}}1)
* Если <math>\vec{e}</math> — [[единичный вектор]], ортогональный векторам <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> и выбранный так, что тройка <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}</math> — правая, а <math>S</math> — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
: <math>
  [ \vec{a},\; \vec{b}] = S\cdot \vec{e}. </math>
* Если <math>\vec{c}</math> — какой-нибудь вектор, <math>\pi</math> — любая плоскость, содержащая этот вектор, <math>\vec{e}</math> — единичный вектор, лежащий в плоскости <math>\pi</math> и ортогональный к <math>\vec{c}</math>, <math>\vec{g}</math> — единичный вектор, ортогональный к плоскости <math>\pi</math> и направленный так, что тройка векторов <math>\vec{e},\vec{c},\vec{g}</math> является правой, то для любого лежащего в плоскости <math>\pi</math> вектора <math>\vec{a}</math> справедлива формула
: <math>
  [\vec{a},\; \vec{c}] = \mathrm{Pr}_{\vec{e}}\vec{a}\cdot |\vec{c}|\cdot \vec{g}.
  </math>
* При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах '''a''', '''b''' и '''c''' (см. Рисунок{{nbsp}}2). Такое произведение трех векторов называется [[Смешанное произведение|смешанным]].
: <math>V = |\langle \vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle|.</math>
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
: <math>V =\langle[\vec{a},\; \vec{b}],\; \vec{c}\rangle = \langle\vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle.</math>

Величина векторного произведения зависит от [[синус (функция)|синуса]] угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов так же, как и [[скалярное произведение]] может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух [[Единичный вектор|единичных векторов]] равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

=== Алгебраические свойства векторного произведения ===
Далее <math> [\vec{a},\;\vec{b}] </math> и <math> \langle\vec{a},\;\vec{b}\rangle </math> обозначают соответственно векторное и [[скалярное произведение]] векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>.
{| class="wikitable" style="text-align: left; text-valign: top; margin:2px 2px 2px 2px;"
! style="text-align: left; background-color: #eef; line-height:18px;" | '''Представление'''
| style="text-align: left; background-color: #eef; line-height:18px;" | '''Описание'''
|-
|<math> [\vec{a},\;\vec{b}] =-[\vec{b},\vec{a}] </math>
|[[Антикоммутативность]].
|-
|<math> [\alpha\cdot \vec{a},\;\vec{b}] 
= 
[\vec{a},\; \alpha\cdot \vec {b} ] 
= 
\alpha\cdot [ \vec{a},\; \vec{b}] </math>
|[[Ассоциативность (математика)|Ассоциативность]] умножения на скаляр.
|-
|<math> [  \vec{a} + \vec{b} ,\; \vec c] = [ \vec a,\; \vec c ]+[ \vec b,\; \vec c] </math>
|[[Дистрибутивность]] по сложению.
|-
|<math> [ [ \vec a,\; \vec b ],\; \vec c ] + [ [ \vec b,\; \vec c ],\; \vec a ] + [[\vec c, \vec a ],\; \vec b ]= \vec 0 </math>
|[[Тождество Якоби]].
|-
|<math> [ \vec a,\; \vec a ] =\vec 0 </math>
|
|-
|<math> [ \vec a,\; [\vec b,\; \vec c ] ]
=
\vec b \cdot\langle\vec a,\; \vec c\rangle 
- 
\vec c \cdot\langle\vec a,\; \vec b\rangle</math>
|Формула «БАЦ минус ЦАБ», [[Двойное векторное произведение|тождество Лагранжа]].
|-
|<math> |[\vec a, \, \vec b]|^2 + \langle\vec a, \, \vec b\rangle^2 = |\vec a|^2 \cdot|\vec b|^2</math>
|Частный случай мультипликативности нормы [[кватернион]]ов.
|-
|<math>\langle[\vec a, \, \vec b], \, \vec c\rangle = \langle\vec a, \, [\vec b, \, \vec c]\rangle</math>
|Значение этого выражения называют [[Смешанное произведение векторов|смешанным произведением векторов]] <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>.
|}

== Выражение в координатах ==

=== В правом ортонормированном базисе ===
Если два вектора <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math> представлены в правом [[ортонормированный базис|ортонормированном базисе]] координатами

: <math> \vec a = (a_x,\; a_y,\; a_z), </math>
: <math>\vec b = (b_x,\; b_y,\; b_z), </math>

то их векторное произведение имеет координаты

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).
</math>

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический [[определитель]]:

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
</math>

где <math>
\mathbf i = (1, 0, 0)
</math>, <math>
\mathbf j = (0, 1, 0)
</math>, <math>
\mathbf k = (0, 0, 1)
</math>, или
: <math>
[ \vec a,\; \vec b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,
</math>
где <math>\varepsilon_{i j k}</math> — [[символ Леви-Чивиты]].

=== В левом ортонормированном базисе ===
Если базис левый ортонормированный, то векторное произведение в координатах имеет вид

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y).
</math>

Для запоминания, аналогично:

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
</math>

или
: <math>
[ \vec a,\; \vec b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k}\cdot  a_j\cdot  b_k.
</math>

Формулы для левой системы координат можно получить из формул правой системы координат, записав те же векторы <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math> во вспомогательной правой системе координат (<math>\mathbf i' = \mathbf i, \mathbf j' = \mathbf j, \mathbf k' = - \mathbf k</math>):

: <math>
[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i' & \mathbf j' & \mathbf k' \\ a'_x & a'_y & a'_z \\ b'_x & b'_y & b'_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & -\mathbf k \\ a_x & a_y & -a_z \\ b_x & b_y & -b_z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.
</math>

=== В произвольной аффинной системе координат ===
Векторное произведение в произвольной [[Аффинная система координат|аффинной системе координат]] <math>O\vec e_1 \vec e_2 \vec e_3</math> имеет координаты

<math>[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} [ \vec e_2,\; \vec e_3 ] &  [ \vec e_3,\; \vec e_1 ] & [ \vec e_1,\; \vec e_2 ] \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.</math>

== Вариации и обобщения ==

=== Кватернионы ===
Координаты векторного произведения в правом ортонормированном базисе можно также записать в [[кватернион]]ной форме, поэтому буквы <math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math>, <math>\mathbf k</math> — стандартные обозначения для ортов в <math>\R^3</math>: они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между <math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math> и <math>\mathbf k</math> соответствуют правилам умножения для кватернионов <math>i</math>, <math>j</math> и <math>k</math>. Если представить вектор <math>(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> как кватернион <math>a_1 i+a_2 j+a_3 k</math>, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. [[Скалярное произведение]] этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

=== Преобразование к матричной форме ===
Векторное произведение двух векторов в координатах в правом ортонормированном базисе можно записать как произведение [[Кососимметрическая матрица|кососимметрической матрицы]] и вектора:

: <math>[\vec{a},\; \vec{b}] = [\vec{a}]_{\times} \vec{b} = \begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,a_2\\ \,\,a_3&0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix},</math>

: <math>[\vec{b},\; \vec{a}] = \vec{b}^T [\vec{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}b_1&b_2&b_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&\,0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix},</math>

где

: <math>[\vec{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&0&\!-a_1\\\!-a_2&\,\,a_1&\,\,0\end{bmatrix}.</math>

Пусть <math>\vec{a}</math> равен векторному произведению:

: <math>\vec{a} = [\vec{c},\; \vec{d}],</math>

тогда

: <math>[\vec{a}]_{\times} = (\vec{c}\vec{d}^T)^T - \vec{c}\vec{d}^T.</math>

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя [[псевдовектор]]ы ([[угловая скорость]], [[Электромагнитная индукция|индукция]] и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь <math>n(n-1)/2</math> независимых компонент в <math>n</math>-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в {{iw|Эпиполярная геометрия|эпиполярной геометрии|en|epipolar geometry}}).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

: <math> [\vec{a}]_{\times} \, \vec{a} = \vec{0} </math> и <math> \vec{a}^{T} \, [\vec{a}]_{\times} = \vec{0}, </math>

а так как <math> [\vec{a}]_{\times} </math> кососимметрична, то

: <math> \vec{b}^{T} \, [\vec{a}]_{\times} \, \vec{b} = 0. </math>

В такой форме записи легко доказывается [[Двойное векторное произведение|тождество Лагранжа]] (правило «БАЦ минус ЦАБ»).

=== Распространение на матрицы ===
В трёхмерном случае можно определить в координатах в произвольном базисе векторное произведение [[матрица (математика)|матриц]] и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше [[Изоморфизм (математика)|изоморфизм]] и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу <math>A</math> как столбец векторов, тогда

: <math>\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \times \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \times \vec b \\\vec a_2 \times \vec b \\\vec a_3 \times \vec b \end{bmatrix},</math>

: <math>\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \cdot \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \cdot \vec b \\\vec a_2 \cdot \vec b \\\vec a_3 \cdot \vec b \end{bmatrix}.</math>

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить <math>A</math> как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот.
Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (<math>A</math> — матрица, <math>\vec x</math>, <math>\vec y</math> — векторы):

: <math>A \cdot (\vec x \times \vec y) = (A \times \vec x) \cdot \vec y,</math>

: <math>A \times (\vec x \times \vec y) = \vec x (A \cdot \vec y)- \vec y (A \cdot \vec x).</math>

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

: <math>\vec x \times \vec y = E \cdot (\vec x \times \vec y) = (E \times \vec x)\cdot \vec y,</math>

<math>E</math> — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, [[теорема Стокса]] в <math>\R^3</math> примет вид:

: <math> \int\limits_{\Sigma}\operatorname{rot}\, \mathbf{A^T} \, \mathbf{d\Sigma} = \int\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{A}\cdot\, d \mathbf{r}, </math>

где [[ротор (математика)|ротор]] матрицы <math>A</math> вычисляется как векторное произведение матрицы <math>A</math> на [[Оператор набла|оператор Гамильтона]] слева (базис считается правым ортонормированным). В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

: <math> \int\limits_{\Sigma}\operatorname{grad}\, u \times \, \mathbf{d\Sigma} = \int\limits_{\partial\Sigma} u\, d \mathbf{r}, </math>

: <math> \int\limits_{\Sigma} \left[ \mathbf{d\Sigma}; \left[ \nabla; \mathbf a \right] \right] = \int\limits_{\partial\Sigma} \mathbf a \times d \mathbf{r}. </math>

=== Размерности, не равные трём ===
Пусть <math>n</math> — [[Размерность векторного пространства|размерность]] пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>, можно ввести только для размерностей 3 и{{nbsp}}[[Векторное произведение в семимерном пространстве|7]].

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора <math>(n-1)</math> векторов-сомножителей. Вполне аналогично [[Смешанное произведение векторов|смешанному произведению]], естественно обобщаемому в <math>n</math>-мерном пространстве на операцию с <math>n</math> сомножителями. Используя [[символ Леви-Чивиты]] <math>\varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \ldots i_n}</math> с <math>n</math> индексами, можно явно записать такое <math>(n-1)</math>-валентное векторное произведение как
: <math>
 P_i(\mathbf{a,\;b,\;c,\;\ldots}) = \sum_{j,\;k,\;m,\;\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} a_j b_k c_m \ldots =\det(\begin{pmatrix}\mathbf{e_1}\\ \vdots \\\mathbf{e_n}\end{pmatrix}\mathbf{,a,b,c,\ldots}) \cdot \mathbf{e_i},
</math>

<math>
\mathbf P(\mathbf{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}}) = \det(\begin{pmatrix}\mathbf{e_1}\\ \vdots \\\mathbf{e_n}\end{pmatrix}\mathbf{,a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}}) = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{e_1}&\mathbf{e_2}&\cdots  & \mathbf{e_n}  \\
a_{1_1}        &a_{1_2}        &\cdots & a_{1_n}\\
a_{2_1}        &a_{2_2}        &\cdots  & a_{2_n}\\
\vdots        &\vdots      &\ddots  & \vdots\\
a_{n-1_1}        &a_{n-1_2}        &\cdots  & a_{n-1_n}
\end{vmatrix}.
</math>

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности <math>n-1</math>.

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при <math>n \neq 3</math> не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести [[бивектор]], компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:
: <math>\ P_{ij}(\mathbf{a,b}) = a_i b_j - a_j b_i</math>.

Эта конструкция называется [[Внешняя алгебра#Элементарное определение внешнего произведения|внешним произведением]].

Для двумерного случая операция
: <math>\ P(\mathbf{a,b}) = a_1 b_2 - a_2 b_1</math>.
называется [[псевдоскалярное произведение|псевдоскалярным произведением]], так как получающееся пространство одномерно и результат есть [[псевдоскаляр]]. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

== Алгебра Ли векторов ==
Векторное произведение вводит на <math>\mathbb{R}^{3}</math> структуру [[Алгебра Ли|алгебры Ли]] (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и [[тождество Якоби|тождеству Якоби]]). Эта структура соответствует отождествлению <math>\R^3</math> с касательной алгеброй Ли <math>so(3)</math> к группе Ли <math>SO(3)</math> ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

== См. также ==
'''Произведения векторов'''
* [[Псевдоскалярное произведение]] (только на плоскости!)
* [[Скалярное произведение векторов]]
* [[Смешанное произведение|Смешанное (скалярно-векторное) произведение векторов]] (только в <math>\mathbb{R}^{3}</math>)
* [[Двойное векторное произведение|Двойное (векторно-векторное) произведение векторов]] (только в <math>\mathbb{R}^{3}</math>)
* [[Векторное произведение в семимерном пространстве]]
'''Другое'''
* [[Ротор (математика)|Ротор]]
* [[Дивергенция]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
*# ''Кочин Н.Е.'' Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 Многомерное векторное произведение]
* [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vektornoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач]
* {{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=37bZluYOgY8|title=Правое и левое вращение|description=Физические демонстрации|author=В. И. Гервидс|date=10.03.2011|publisher=[[НИЯУ МИФИ]]|format=flash|accessdate=2011-05-03}}

{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Аналитическая геометрия]]
[[Категория:Векторный анализ]]
[[Категория:Билинейные операторы]]