Просмотр кода страницы Бином Ньютона

'''Бино́м Нью́то́на''' — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n</math>
где <math>{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k</math> — [[биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]], <math>n</math> — неотрицательное [[целое число]].

В таком виде эта формула была известна ещё [[История математики в Индии|индийским]] и [[Математика исламского средневековья|исламским]] математикам; [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное [[действительное число|действительное]] (или даже [[комплексное число|комплексное]]) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

== Доказательство ==
{{Доказ1|Докажем формулу бинома Ньютона [[Математическая индукция|индукцией]] по ''n'':

'''База индукции:''' <math>n=0</math>

: <math>(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0</math>

'''Шаг индукции:''' Пусть утверждение для <math>n</math> верно:

: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k} </math>

Тогда надо доказать утверждение для <math>n+1</math>:

: <math>(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} </math>

Начнём доказательство:

: <math>(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1}</math>

Извлечём из первой суммы слагаемое при <math>k = 0</math>

: <math> \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k </math>

Извлечём из второй суммы слагаемое при <math>k=n</math>

: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} = 
b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}</math>

Теперь сложим преобразованные суммы:

: <math>a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1}  b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k = </math>

: <math>=\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad 
\sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad 
\sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k=
\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} </math>

Что и требовалось доказать.
}}

== Обобщения ==
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции <math>(1+x)^r</math> в [[ряд Тейлора]]:
: <math>(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k</math>,
где ''r'' может быть [[Комплексное число|комплексным числом]] (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
: <math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}</math>

При этом ряд
: <math>(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...</math>.
сходится при <math>|z|\le 1</math>.

В частности, при <math>z=\frac{1}{m}</math> и <math>\alpha=x\cdot m</math> получается тождество
: <math>\left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.</math>

Переходя к пределу при <math>m\to\infty</math> и используя [[замечательные пределы|второй замечательный предел]] <math>\lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e</math>, выводим тождество
: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,</math>
которое именно таким образом было впервые получено [[Леонард Эйлер|Эйлером]].

=== Мультиномиальная теорема ===
{{main|Мультиномиальный коэффициент}}
Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
: <math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n =\sum\limits_{k_j \geqslant 0 \atop k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} \ldots x_m^{k_m},</math>
где <math>\textstyle \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}</math> — [[Мультиномиальный коэффициент|мультиномиальные коэффициенты]]. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам <math>k_j</math>, сумма которых равна ''n'' (то есть по всем [[композиция числа|композициям числа]] ''n'' длины ''m''). При использовании полинома Ньютона [[0^0|считается]], что выражения <math>x_j^0 = 1</math>, даже если <math>x_j = 0</math>.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по ''n'', либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При <math>m = 2</math>, выражая <math>k_2 = n - k_1</math>, получаем бином Ньютона.

=== Полные полиномы Белла ===
Пусть <math>B_n(a_s)= B_n(a_1,\dots,a_n)</math> и <math>B_0=1</math>
,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:
: <math>B_n({{a_s}+{b_s}})=\sum_{i+j=n} {n\choose i,\ j}{B_i}({a_s}) {B_j}({b_s}).</math>

== История ==
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и [[Треугольник Паскаля|треугольник]], позволяющий находить коэффициенты, изобрёл [[Паскаль, Блез|Блез Паскаль]], описавший её в [[XVII век]]е. 
Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику {{не переведено|:en:Yang Hui|Хуэй Ян|Яну Хуэю}}, жившему в [[XIII век]]е, 
а также [[Математика исламского средневековья|исламским математикам]] [[Ат-Туси, Насир ад-Дин|ат-Туси]] (XIII век) и [[ал-Каши]] (XV век).
В середине [[XVI век]]а 
[[Штифель, Михаэль|Михаэль Штифель]] описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

[[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] около [[1677 год]]а обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). 
Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], выводили всю теорию бесконечных рядов.

== В художественной литературе ==
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.<ref>{{статья |автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]] |заглавие=Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова |издание=[[Новое литературное обозрение]] |номер=24 |год=1997 |ссылка=https://web.archive.org/web/20110614225806/http://kolmogorov.pms.ru/uspensky-predvarenie.html}}</ref>

* В рассказе [[Конан Дойль, Артур|А. Конан Дойля]] «[[Последнее дело Холмса]]» Холмс говорит о математике [[Профессор Мориарти|профессоре Мориарти]]:
{{начало цитаты}}
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.
{{oq|en|[[:s:en:The Final Problem|The Final Problem]]
At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.}}
{{конец цитаты}}
* В романе «[[Мастер и Маргарита]]» [[Булгаков, Михаил Афанасьевич|М. А. Булгакова]]: 
::«подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
* Позже это же выражение ''«Подумаешь, бином Ньютона!»''. упомянуто в фильме «[[Сталкер (фильм)|Сталкер]]» [[Тарковский, Андрей Арсеньевич|А. А. Тарковского]].
* Роман [[Вильмонт, Екатерина Николаевна|Е. Н. Вильмонт]] получил название ''«Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!»''.

== См. также ==
* [[Формулы сокращённого умножения многочленов]] — наиболее частые частные случаи ''бинома Ньютона''
* [[Биномиальное распределение]]
* [[Биномиальный коэффициент]]
* [[Треугольник Паскаля]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Бином Ньютона}}

== Ссылки ==
* {{БСЭ3|заглавие=Ньютона бином}}

[[Категория:Многочлены]]