Просмотр кода страницы Базис

{{другие значения}}
'''Ба́зис''' ({{lang-grc|βασις}} «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор [[Вектор (алгебра)|векторов]] в [[Векторное пространство|векторном пространстве]], такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде [[линейная комбинация|линейной комбинации]] векторов из этого набора. Векторы базиса называются ''базисными векторами''.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:
* '''[[Базис Гамеля|Базис Га́меля]]''' ({{lang-en|Hamel basis}}), в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации; применяется в основном в абстрактной алгебре.{{переход|#Базис Гамеля|1}}
* '''[[Базис Шаудера|Базис Ша́удера]]''', в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в [[Сумма ряда|ряды]]; применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для [[гильбертово пространство|гильбертова пространства]].{{переход|#Базис Шаудера|1}}

В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.

== Происхождение термина ==
У [[Евклид]]а и других [[Математика в Древней Греции|древнегреческих математиков]] слово «базис» (βασις, в значении ''основание'') обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] в статье [[1885 год в науке|1885 года]].

== Базис на плоскости и в трёхмерном пространстве ==
[[Файл:Basis graph (no label).svg|thumb|right|300px|<small>Базис на плоскости. Базисные векторы изображены голубым и оранжевым цветом, зелёный вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые [[Коэффициент|коэффициенты]] (зелёный = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой [[Линейная комбинация|линейной комбинацией]] и, таким образом, [[линейная зависимость|линейно зависим]] от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.</small>]]
Любой декартовой [[Система координат|системе координат]] на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси.
Это относится и к прямоугольным [[декартовы координаты|декартовым координатам]] (тогда соответствующий базис называется [[ортогональный базис|ортогональным]]), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину ([[норма вектора|норму]]) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется [[ортонормированный базис|ортонормированным]].

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

=== Обозначения ===
Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:
: <math>\vec e_1, \vec e_2</math>
или
: <math>\vec e_x, \vec e_y</math>
— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

[[Файл:Cartesian coordinate system handedness.svg|thumb|right|300px|<small>Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (''левая'' (на рисунке слева) и ''правая'' (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются  исходящими из общего начала).</small>]]
: <math>\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3</math>
или
: <math>\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z</math>
— трёхмерного пространства.
Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение
: <math>\vec i, \vec j, \vec k.</math>

Представление какого-то конкретного (любого) вектора <math>\vec a</math> пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например
: <math>\vec a = a_x\vec e_x + a_y\vec e_y + a_z\vec e_z</math>
или
: <math>\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3</math>
или, употребляя знак суммы <math>\Sigma</math>:
: <math>\vec a = \sum_{i=1}^3 a_i\vec e_i</math>
называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты <math>(a_x,a_y,a_z)</math> называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора <math>\vec a</math> в базисе <math>\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z.</math>
(Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).
== Виды базисов ==
=== Базис Гамеля ===
'''Базис Га́меля''' — множество [[Вектор (алгебра)|векторов]] в [[линейное пространство|линейном пространстве]], таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их '''конечной''' [[линейная комбинация|линейной комбинации]] (''полнота'' базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является [[линейная независимость]] векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует [[Аксиома выбора|аксиому выбора]]):

'''Лемма.''' Пусть <math>S_1</math> — полная, а <math>S_2</math> — линейно независимая система векторов. Тогда система <math>S_1</math> содержит набор векторов, дополняющий <math>S_2</math> до базиса пространства <math>V</math>.

Следствием этой леммы являются утверждения:
# Каждое линейное пространство обладает базисом.
# Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
# Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве [[Мощность множества|равномощны]], так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется ''размерностью пространства'' (обозначается <math>\dim V</math>). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется ''[[конечномерное пространство|конечномерным]]'', в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

==== Примеры ====
* Векторы <math>e_1, e_2,\dots,e_n</math> пространства <math>\R^n</math> образуют базис тогда и только тогда, когда [[определитель]] матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: <math>\det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0</math>.
* В [[Кольцо многочленов|пространстве всех многочленов над полем]] один из базисов составляют степенные функции: <math>1, x, x^2,\dots,x^n,\dots</math>.
* Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

==== Базис Гамеля и разрывная линейная функция ====
Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>. Пусть <math>\{r_\alpha\}</math> — базис Гамеля множества действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> над полем рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Тогда для каждого <math>x = k_{\alpha_1} r_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} r_{\alpha_n}</math> (<math>k_i \in \mathbb{Q}</math>) положим <math>f(x) = k_{\alpha_1} f_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} f_{\alpha_n}</math>, где  <math>f_{\alpha_n} = f(r_{\alpha_n})</math> произвольные вещественные числа, например, рациональные (в этом случае функция <math>f(x)</math> принимает лишь рациональные значения и тем самым гарантированно не является линейной функцией <math>f(x) = c \cdot x</math>). Такая функция <math>f(x)</math> аддитивна, то есть удовлетворяет [[Функциональное уравнение Коши|функциональному уравнению Коши]] <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>. Однако в общем случае, когда <math>f_{\alpha_n} \neq c \cdot r_{\alpha_n}</math>, она отличается от линейной функции <math>f(x) = c \cdot x</math> и в силу этого является [[Непрерывная функция|разрывной]] в любой точке, а также не сохраняет знак, не [[:en:Bounded function|ограничена]] ни сверху, ни снизу, не [[Монотонная функция|монотонна]], не [[Интеграл|интегрируема]] и не [[Измеримая функция|измерима]] на любом сколь угодно малом интервале, заполняя своими значениями на этом интервале плотным образом всю числовую ось <math>\left( -\infty, +\infty \right)</math>. 

=== Базис Шаудера ===
{{перевести|en|Schauder basis}}
Система векторов <math>\{e_n\}</math> [[Топологическое векторное пространство|топологического векторного пространства]] <math>L</math> называется '''базисом Шаудера''' (в честь [[Шаудер, Юлиуш|Шаудера]]), если каждый элемент <math>f \in L</math> разлагается в ''единственный'', сходящийся к <math>f</math> [[Сумма ряда|ряд]] по <math>\{e_n\}</math>:
: <math>f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,</math>
где <math>f_i</math> — числа, называемые коэффициентами разложения вектора <math>f</math> по базису <math>\{e_n\}</math>.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для [[Топологическое векторное пространство|топологических векторных пространств]] (допускается разложение в [[сходящийся ряд]]), для первого часто используют термин ''линейный базис'', оставляя термин ''базис'' для [[Ряд Тейлора|разложений в ряды]]. Мощность линейного базиса называют также ''линейной размерностью''. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное [[Гильбертово пространство]] не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, [[Ортогональный базис|ортонормированные базисы]]. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций <math>\{1,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\pi nx), \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\}</math> является базисом Шаудера в пространстве <math>L^2[0,1]</math>. В более общих [[Банахово пространство|банаховых пространствах]] понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

==== Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций <math>C[a,b]</math> ====
<math>C[a,b]</math> — [[банахово пространство]] с нормой <math>\|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|</math>. Для разложений в [[ряд Фурье|ряды Фурье]] и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве <math>L^2[a,b]</math>, но не в <math>C[a,b]</math>. Шаудер сконструировал базис Шаудера <math>\{e_n\}</math> для <math>C[a,b]</math>. Пусть <math>\{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\}</math> — плотное счетное множество точек на <math>[a,b]</math>, <math>x_0=a</math>, <math>x_1=b</math>, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка <math>[a,b]</math>, упорядоченными произвольным образом. Положим: <math>e_0=1</math>, <math>e_1=(x-a)/(b-a)</math> — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию <math>e_n(x)</math> так, чтобы <math>e_n(x_i)=0</math> при <math>i=0,1,\dots,n-1</math> и <math>e_n(x_n)=1</math>. Точки <math>x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1}</math> разбивают <math>[a,b]</math> на <math>n-1</math> отрезок. Точка <math>x_n</math> лежит строго внутри одного из них. Пусть это <math>I_n=[x_j,x_k]</math> для каких-то <math>j, k \in \{0,\dots,n-1\}</math> (порядок нумерации чисел <math>x_0, x_1, x_2,\dots</math> не соответствует их величине).

[[Файл:ShauderBasis.png|thumb|250px|Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение <math>L_{5}(x)</math>. Красным цветом на графике выделен участок, на котором <math>L_{5}</math> отличается от <math>L_{4} </math> (синяя ломаная).]]
Положим:
: <math>e_n(x)=0</math> вне отрезка <math>I_n=[x_j,x_k],</math>
: <math>e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j}</math> при <math>x \in [x_j,x_n],</math>
: <math>e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n}</math> при <math>x \in [x_n,x_k].</math>
Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции <math>f(x) \in C[a,b]</math> по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений <math>f(x_i)</math>. Частичная сумма первых <math>n+1</math> членов ряда
: <math>L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,</math>
является в данном случае ''кусочно-линейной аппроксимацией'' <math>f(x)</math> с узлами в точках
<math>x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}</math>; формула для коэффициентов <math>f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a)</math> (см. Рис.)

==== Проблема базиса ====
Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом [[Сепарабельное пространство|сепарабельном]] банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

== Применение в кристаллографии ==
В [[вектор (математика)|векторной]] алгебре с помощью [[векторное произведение|векторного произведения]] и [[смешанное произведение|смешанного произведения]] определяется понятие ''взаимного базиса'' к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами<ref>{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}
</ref>{{rp|212-214}}. В [[кристаллография|кристаллографии]] взаимный базис называется ''кристаллографическим определением базиса'', на основе которого определяется [[обратная решётка]].

== См. также ==
{{Навигация|Викисловарь=базис}}
* [[Репер (геометрия)|Репер]] — близкое понятие.
* [[Ортогональный базис]] — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением ([[Гильбертово пространство]]).
* [[Базис Грёбнера]]
* [[Базис Рисса]]
* [[Конечномерное пространство]]
* [[Флаг (математика)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Кутателадзе С. С., ''[http://www.emis.de/monographs/Kutateladze/FA/fa.pdf Основы функционального анализа]''. — 4 изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — XII+354 c.

{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Функциональный анализ]]