Просмотр кода страницы Асимметричное отношение

'''Асимметри́чное отноше́ние''' в  [[Математика|математике]] — [[бинарное отношение]] <math>R</math> на некотором [[Множество|множестве]] <math>X,</math> обладающее для любых <math>a, b</math> из <math>X</math> следующим свойством «невзаимности»<ref>{{Citation|title=A Logical Approach to Discrete Math|year=1993|last=Gries|last1=Gries|last2=Schneider|first1=David|first=David|first2=Fred B.|page=[https://books.google.com/books?id=ZWTDQ6H6gsUC&pg=PA273 273]|publisher=Springer-Verlag}}.</ref>: если <math>a</math> связано данным отношением с <math>b,</math> то <math>b</math> не связано с <math>a</math>. Формальная запись:
: <math>\forall a, b  \in X(a R b \Rightarrow \lnot(b R a))</math>

Примером может служить [[Неравенство|отношение «меньше»]] между [[Вещественное число|вещественными числами]]: если <math>x < y</math>, то невозможно, чтобы одновременно <math>y < x</math>. Напротив, отношение «меньше или равно» не является асимметричным, так как в случае <math>x=y</math> верны оба неравенства: <math>x \leqslant y; \ y \leqslant x.</math> Другой пример: отношение «быть родителем».

Из определения вытекает, что для непустого асимметричного отношения <math>R</math> ситуация <math>a R a</math> невозможна ни для какого элемента <math>a.</math> Такие отношения называют ''[[Антирефлексивное отношение|антирефлексивными]]'' (в другой терминологии, ''иррефлексивными'').

Антиподом асимметричного является [[симметричное отношение]], для которого отношение всегда взаимно: если <math>a R b,</math> то <math>b R a.</math> Единственное бинарное отношение, одновременно симметричное и асимметричное — это [[Бинарное отношение|пустое отношение]].

Не следует путать асимметричное и [[Антисимметричное отношение|антисимметричное]] отношение — последнее не исключает возможности <math>a R b</math> и  <math>b R a</math> одновременно, если <math>a=b.</math> Упомянутое выше отношение «меньше или равно» антисимметрично, но не асимметрично. Общее правило<ref>{{Citation|title=Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography |year=2002 |last=Nievergelt|last1=Nievergelt|first1=Yves|first=Yves|page=[https://books.google.com/books?id=_H_nJdagqL8C&pg=PA158 158]|publisher=Springer-Verlag}}.</ref>:
{{рамка}}
Бинарное отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и при этом антирефлексивно.
|}

== Свойства ==
* Если отношение <math>R</math> асимметрично, то его {{нп5|Обращённое отношение|обращение||Converse relation}} и сужение также асимметричны. Например, ограничение вещественного отношения «меньше» на [[целые числа]] асимметрично, таково же и его обращение — отношение «больше».
* [[Транзитивность|Транзитивное отношение]] асимметрично тогда и только тогда, когда оно [[Антирефлексивное отношение|антирефлексивно]]<ref>{{Cite book|year=2007|last=Flaška|last1=Flaška|first=V.|first1=V.|last2=Ježek|first2=J.|last3=Kepka|first3=T.|last4=Kortelainen|first4=J.|title=Transitive Closures of Binary Relations I|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf|location=Prague|publisher=School of Mathematics - Physics Charles University|page=1}} {{Wayback|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf |date=20131102214049 }} Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".</ref>. В самом деле, <math>a R b</math> и <math>b R a</math> в силу транзитивности влечёт <math>a R a,</math> откуда видно, что «взаимные отношения» невозможны.
**Следствие: отношение является транзитивным и асимметричным тогда и только тогда, когда это [[Частично упорядоченное множество|строгий частичный порядок]].
* Не все асимметричные отношения представляют строгий частичный порядок. Пример: отношение типа «[[камень, ножницы, бумага]]» является асимметричным, но не транзитивным (даже «антитранзитивным»):
** если <math>x</math> одолевает <math>y</math>, то <math>y</math> не одолевает <math>x;</math>
** если <math>x</math> одолевает <math>y</math> и <math>y</math> одолевает <math>z,</math> то <math>x</math> не одолевает <math>z</math> .
* Асимметричное отношение не обязано быть {{нп5|Полное отношение|полным||Connex relation}}, то есть нет гарантии, что для любой пары элементов <math>x, y</math> имеет место <math>x R y</math> или <math>y R x.</math> Например, отношение «быть собственным [[подмножество]]м» асимметрично, однако не все подмножества <math>X</math> связаны им в ту или иную сторону.

== Применение ==
См., например, [[Аксиоматика Тарского (вещественные числа)|аксиоматику Тарского для вещественных чисел]] – в ней одна из аксиом требует асимметричности отношения «''меньше''».

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор= Алескеров Ф. Т., Хабина Э. Л., Шварц Д. А. |ref=Алескеров, Хабина
  |заглавие=Бинарные отношения, графы и коллективные решения |место={{М.}} |год=2006
  |издательство  = Учебники Высшей школы экономики |страниц= 300 }}

== Ссылки ==
* [https://study.com/academy/lesson/difference-between-asymmetric-antisymmetric-relation.html Difference Between Asymmetric & Antisymmetric Relation]

{{ВС}}

[[Категория:Математические отношения]]